4.伽利略變換

1、<p><b>　　4.伽利略變換</b></p><p>　　科學(xué)遵循的原則是,在充分必要的條件下越簡單越好.盧瑟福認(rèn)為“一個(gè)好的理論應(yīng)該連酒吧女郎都能看懂.”</p><p><b>　　1、慣性系：</b></p><p>　　力學(xué)的發(fā)展經(jīng)牛頓總結(jié)成動(dòng)力學(xué)三定律,牛頓三定律及其導(dǎo)出的各定理在伽利略變換下,對(duì)

2、所有慣性系都有相同形式.這一表述通常稱為力學(xué)相對(duì)性原理,伽利略變換不同慣性系的時(shí)空變換導(dǎo)出基于兩個(gè)基本假定：一是相對(duì)性原理,另一個(gè)是時(shí)間和尺長在不同慣性系是相同的.</p><p>　　慣性系族：相對(duì)作勻速運(yùn)動(dòng)的所有慣性系稱為慣性系族</p><p>　　設(shè)慣性系相對(duì)慣性系是同族慣性系,慣性系時(shí)空的均勻性決定了同一事件點(diǎn)在慣性系與中對(duì)應(yīng)坐標(biāo)矢與滿足如下線性關(guān)系：</p>&l

3、t;p><b>　　（1-1）</b></p><p><b>　?。?-2）</b></p><p><b>　　即 , </b></p><p>　　慣性系空間的各向同性要求同一個(gè)慣性系在空間轉(zhuǎn)動(dòng)下不變,也即慣性系的空間是Euclid空間,為了適當(dāng)簡化推導(dǎo)過程我們選擇在系的空間投影為

4、系的軸,同樣選擇在系的空間投影為系的軸,各自建立正交性的時(shí)空坐標(biāo),也即有</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　在（2-1）式兩邊同時(shí)點(diǎn)乘或,由時(shí)空標(biāo)架的正交性易得</p><p><b>　　,</b&

5、gt;</p><p><b>　　于是,；,</b></p><p><b>　　同理,</b></p><p><b>　　,；,</b></p><p><b>　　（3-1）</b></p><p><b>

6、;　　（3-2）</b></p><p>　　在（3-1）兩邊點(diǎn)乘或可得</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即,；,</b></p><p>　　在（3-2）兩邊點(diǎn)乘或可得</p><p><b>　　,</

7、b></p><p><b>　　,；,</b></p><p><b>　　綜上即有</b></p><p>　　即系到系的線性變換可分解為-到-的變換與-到-的變換.其中-到-的變換是Euclid空間的剛性轉(zhuǎn)動(dòng),于是可在系作旋轉(zhuǎn)使與同與對(duì)應(yīng)平行,即有：</p><p><b>　

8、?。?-1）</b></p><p><b>　　對(duì)應(yīng)的有,</b></p><p><b>　?。?-2）</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　有,,,,</b></p><

9、p><b>　　2、間隔的定義</b></p><p><b>　　3、間隔不變性</b></p><p>　　考慮兩無限接近的事件,則</p><p>　　i) 顯然a不可能是空間和時(shí)間的函數(shù),這是因?yàn)榭臻g和時(shí)間是均勻的,若a是空間和時(shí)間的函數(shù),則在同一坐標(biāo)系中,同樣兩個(gè)事件之間的間隔將是不確定的.</p&g

10、t;<p>　　ii) 因光的速度在空間各個(gè)方向一樣,故a與兩個(gè)參考系之間相對(duì)速度的方向無關(guān).</p><p><b>　　∴a=a(v)</b></p><p>　　常期以來,時(shí)間絕對(duì)性和桿長絕對(duì)性在人們認(rèn)識(shí)上是根深蒂固的,在物體運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速的牛頓力學(xué)范圍內(nèi),實(shí)驗(yàn)或觀測不會(huì)對(duì)這些觀念提出挑戰(zhàn).如果不是因?yàn)樵诮忉屌c光速有關(guān)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)生困難；如果不

11、是因?yàn)殡姶艌龇匠滩粷M足伽利略變換下的形式不變,人們是不會(huì)輕易放棄這些假定的.</p><p>　　如所周知,伽利略-牛頓力學(xué)的基本定律（稱為慣性定律）可以表述如下：一物體在離其他物體足夠遠(yuǎn)時(shí),一直保持靜止?fàn)顟B(tài)或保持勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài).這個(gè)定律不僅談到了物體的運(yùn)動(dòng),而且指出了不違反力學(xué)原理的、可在力學(xué)描述中加以應(yīng)用的參考物體或坐標(biāo)系.相對(duì)于人眼可見的恒星那樣的物體,慣性定律無疑是在相當(dāng)高的近似程度上能夠成立的.現(xiàn)在如

12、果我們使用一個(gè)與地球牢固地連接在一起的坐標(biāo)系,那么,相對(duì)于這一坐標(biāo)系,每一顆恒星在一個(gè)天文日當(dāng)中都要描畫一個(gè)具有莫大的半徑的圓,這個(gè)結(jié)果與慣性定律的陳述是相反的.因此,如果我們要遵循這個(gè)定律,我們就只能參照恒星在其中不作圓周運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系來考察物體的運(yùn)動(dòng).若一坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)使慣性定律對(duì)于該坐標(biāo)系而言是成立的,該坐標(biāo)系即稱為“伽利略坐標(biāo)系”.伽利略-牛頓力學(xué)諸定律只有對(duì)于伽利略坐標(biāo)系來說才能認(rèn)為是有效的.（摘自《淺說》第4節(jié)、伽利略坐標(biāo)系

13、的全文）</p><p>　　在物理學(xué)中幾乎沒有比真空中光的傳播定律更簡單的定律了,光在真空中沿直線以速度c=300,000公里／秒傳播.無論如何我們非常精確地知道,這個(gè)速度對(duì)于所有各色光線都是一樣的.因?yàn)槿绻皇沁@樣,則當(dāng)一顆恒星為其鄰近的黑暗星體所掩食時(shí),其各色光線的最小發(fā)射值就下會(huì)同時(shí)被看到.荷蘭天文學(xué)家德西特根據(jù)對(duì)雙星的觀察,也以相似的理由指出,光的傳播速度不能依賴于發(fā)光物體的運(yùn)動(dòng)速度.關(guān)于光的傳播速度與

14、其“在空間中”的方向有關(guān)的假定即就其本身而言也是難以成立的.總之,我們可以假定關(guān)于光（在真空中）的“速度= c”是恒定的這一簡單的定律已有充分的理由為學(xué)校里的兒童所確信.誰會(huì)想到這個(gè)簡單的定律競會(huì)使思想周密的物理學(xué)家陷入智力上的極大的困難呢？讓我們來看看這些困難是怎樣產(chǎn)生的.當(dāng)然我們必須參照一個(gè)坐標(biāo)系來描述光的傳播過程.我們?cè)俅芜x取我們的路基作為這種參考系.如果沿著路基發(fā)出一道光線,根據(jù)上面的論述我們可以看到,這道光線的前端將

15、相對(duì)于路基以速度c傳播,現(xiàn)在我們假定我們的車廂仍然以速度v在路軌上行駛,其方向與光線的方向同,不過車廂的速度當(dāng)然要比光的速度小得多.我們來研究一下這光線相對(duì)于車廂的傳播速度問題.顯然我</p><p>　　每一個(gè)運(yùn)動(dòng)著的三維坐標(biāo)系都有各自獨(dú)立的一個(gè)三維空間度量和一維時(shí)間度量,構(gòu)成四維度量.在同一個(gè)坐標(biāo)系里 ,能量的讀數(shù)是連續(xù)變化的.在相對(duì)運(yùn)動(dòng)著的不同坐標(biāo)系里 ,各自的四維度量應(yīng)該是不同的,這也是因?yàn)樵谙鄬?duì)運(yùn)動(dòng)著的

16、不同坐標(biāo)系里,能量的讀數(shù)是不同的緣故.然而坐標(biāo)系主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的概念,而能量是客觀存在的.為了保證坐標(biāo)系之間能量特征（包括動(dòng)能和勢(shì)能的差值等等）的連續(xù)性、一致性,坐標(biāo)系之間的度量必須建立相應(yīng)的變換關(guān)系.</p><p>　　伽里略的時(shí)空變換,是這樣來認(rèn)識(shí)兩個(gè)相對(duì)運(yùn)系統(tǒng)中,物質(zhì)運(yùn)動(dòng)變化的時(shí)空關(guān)系的.在慣性系統(tǒng)中,有兩個(gè)相對(duì)做勻速運(yùn)動(dòng)的物理系統(tǒng)Σ,和Σ.在t=t,=0時(shí),兩個(gè)系統(tǒng)重合.當(dāng)Σ,相對(duì)Σ以速度V向X方向運(yùn)動(dòng)

17、的同時(shí),從原點(diǎn)射出一光信號(hào),光在兩個(gè)系統(tǒng)中經(jīng)過時(shí)間t,和t到達(dá)同一點(diǎn)P.對(duì)于光從原點(diǎn)到P點(diǎn)這個(gè)同一事件,伽利略認(rèn)為時(shí)間是相等的,空間是變化了的,空間的變化用速度迭加來處理.</p><p>　　伽利略時(shí)空變換如下：</p><p>　?。?）式和（2）式,就是伽利略時(shí)空變換表達(dá)式,伽利略變換對(duì)于兩個(gè)空坐標(biāo)之間的時(shí)空關(guān)系的表述是正確的；伽利略變換,對(duì)于相對(duì)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中,物質(zhì)運(yùn)動(dòng)變化的時(shí)空關(guān)系就

18、不正確了.研究相對(duì)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)內(nèi)物質(zhì)運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律,必須用相對(duì)論的時(shí)空變換來處理,才能得到正確的結(jié)果.</p><p>　　薛定諤方程是伽利略變換群下的不變式——因此，這種量子力學(xué)是一種“古典量子力學(xué)”，它和“古典力學(xué)”有著相同的物理學(xué)根基——這就是“伽利略變換群”.然而，任何普適的古典的波動(dòng)方程或者量子的波動(dòng)力學(xué)方程，一律都不是伽利略變換群的不變式.狄拉克方程是洛倫茲變換群下的不變式——因此，這種量子力學(xué)是相對(duì)論量

19、子力學(xué)，量子電動(dòng)力學(xué)，量子場論.這一類的量子理論中所有的核心方程一律都是洛倫茲變換群下的絕對(duì)式.不論是古典電動(dòng)力學(xué)，還是相對(duì)論力學(xué)，它們的核心方程一律也是洛倫茲變換群下的不變式.伽利略變換群——是粒子類型的變換群.洛倫茲變換群——是波動(dòng)類型的變換群.</p><p>　　把薛定諤方程為核心的量子力學(xué)稱作是“粒子性的量子力學(xué)”，或則稱作為“伽利略量子力學(xué)”而把狄拉克方程為核心的量子力學(xué)稱作是“波定性的量子力學(xué)”，或

20、者稱作為“洛侖茲量子力學(xué)”.全部量子力學(xué)被嚴(yán)格區(qū)分成性質(zhì)對(duì)立的兩大系列——這種情形就和經(jīng)典力學(xué)一樣，也被嚴(yán)格區(qū)分成性質(zhì)對(duì)立的兩大系列：經(jīng)典粒子力學(xué)和經(jīng)典波動(dòng)力學(xué).所以，薛定諤方程為核心的“伽利略量子力學(xué)”和狄拉克方程為核心的“洛侖茲量子力學(xué)”是完全不同類型的量子力學(xué)，絕對(duì)不可以混淆這兩大類量子力學(xué)之間存在的深刻的物理差別，更不可以將二者混為一談！薛定諤方程所描述的量子的波函數(shù)是“粒子類型的波函數(shù)”；而狄拉克方程所描述的量子的波函數(shù)則是“