創(chuàng)意平板折疊桌設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

1、<p>　　創(chuàng)意平板折疊桌設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型</p><p>　　[摘 要]針對(duì)客戶對(duì)創(chuàng)意平板折疊桌高度、形狀的不同要求，并且在保證折疊桌穩(wěn)固性好、加工方便和用材最省的條件下，運(yùn)用最小二乘的非線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，確定創(chuàng)意折疊桌的加工參數(shù)。 </p><p>　　[關(guān)鍵詞]創(chuàng)意平板折疊桌 優(yōu)化設(shè)計(jì) 最小二乘的非線性規(guī)劃 lingo軟件 MATLAB </p><p&

2、gt;　　中圖分類號(hào)：TP391.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-914X（2015）34-0139-02 </p><p>　　引言：建立一個(gè)關(guān)于x軸和y軸（在桌面上建立坐標(biāo)軸）對(duì)稱的桌面邊緣曲線和由兩個(gè)空間曲面相交而成一般的桌腳邊緣線的基于最小二乘的非線性規(guī)劃的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。 </p><p><b>　　1 理論分析 </b></p>&l

3、t;p>　　假如客戶對(duì)折疊桌的要求是圓形，則根據(jù)圓的性質(zhì)運(yùn)用空間幾何坐標(biāo)即可求解參數(shù)；非圓形的折疊桌更一般化。對(duì)于非圓形的桌子，就存在木條究竟是順著桌面長(zhǎng)的方向還是順著寬的方向是一個(gè)選擇題，我們下面按照木條順著桌面寬的方向來(lái)建模和設(shè)計(jì)折疊桌。 </p><p>　　設(shè)所設(shè)計(jì)的折疊桌高為，桌面直徑（即桌面最長(zhǎng)）為，設(shè)。設(shè)桌面曲線為一封閉連續(xù)光滑曲線，并能以某一條直徑為y軸，在桌面底部該直徑中點(diǎn)處為原點(diǎn)建立的x

4、y平面上，假設(shè)在這個(gè)坐標(biāo)系上桌面邊緣曲線可表示為兩條單值曲線和，并設(shè)，。以垂直向下的射線為軸，使組成右手螺旋的空間直角坐標(biāo)系，刻度單位為1cm。這樣就得以建立空間直角坐標(biāo)系。這里還是只考慮長(zhǎng)方形面板材料，設(shè)其長(zhǎng)為（待確定的變量），寬為，厚度為，必須滿足。由于我們的折疊桌是木條順著寬的方向設(shè)計(jì)，從用材最省和加工方便看，取是最合適的。設(shè)，，則長(zhǎng)方形面板材料的長(zhǎng)應(yīng)滿足。 </p><p>　　設(shè)制作折疊桌的長(zhǎng)方形木條的

5、寬度為，且滿足成立或近似成立，其中為正整數(shù)，表示y軸上方和下方的木條數(shù)，也是y軸上方和下方的桌腿數(shù)。 </p><p>　　設(shè)y軸上方根木條桌腳線的數(shù)學(xué)方程是由兩個(gè)已知曲面和和相交而成的；y軸下方根木條桌腳線的數(shù)學(xué)方程是由兩個(gè)已知曲面和和相交而成的。 </p><p>　　設(shè)第條腿的長(zhǎng)度為。因鋼筋仍然固定在每組桌腿最外側(cè)的兩條上，只是位置待確定，設(shè)鋼筋固定在第1根（最外側(cè)）桌腿離腿腳的距離

6、為（待確定的變量），固定在第根（最外側(cè)）桌腿離腿腳的距離為（待確定的變量），固定在第根（最外側(cè)）桌腿離腿腳的距離為（待確定的變量），固定在第根（最外側(cè)）桌腿離腿腳的距離為（待確定的變量），這也是每條腿上開(kāi)出的空槽的上端位置。設(shè)第條腿的空槽長(zhǎng)度為（待確定的變量，實(shí)際上可由和表示）。顯然，，，且。設(shè)第1根（最外側(cè)）桌腿與桌面的夾角為，第根（最外側(cè)）桌腿與桌面的夾角為，第根（最外側(cè)）桌腿與桌面的夾角為，第根（最外側(cè)）桌腿與桌面的夾角為， ，，

7、再假定桌面是水平的，桌面高為，所以滿足。 </p><p>　　從產(chǎn)品設(shè)計(jì)的要求來(lái)看，還是如問(wèn)題2要考慮加工方便或加工容易就要求總的空槽長(zhǎng)度盡量小，但是空槽太短，可能就會(huì)使得桌角傾斜較大，即太小，穩(wěn)固性差。而穩(wěn)固性好，就是要使折疊桌穩(wěn)定牢靠，一方面要使折疊桌在安裝好的最后位置的鋼筋剛好在每個(gè)空槽的下端位置，而沒(méi)有再向下滑動(dòng)的空間，另一方面也是使折疊桌的承重腿，即使四條最外側(cè)桌腿盡可能縱向垂直，即盡量靠近，或盡量大

8、而接近于1，即盡量小，，其中由長(zhǎng)方形平板的長(zhǎng)度和桌腳線等確定。越靠近，可能就要求空槽較長(zhǎng)，就使得、和都要大。最后材料省就是盡量小.因此最后的模型就是在一定的約束下最小化的加權(quán)和。設(shè)它們的非負(fù)權(quán)系數(shù)分別為。但是由于桌面高度、桌面邊緣線和桌腳邊緣線的任意性，可能會(huì)出現(xiàn)沒(méi)有滿足所有約束條件的可行解，所以最后可能只能求近似解，如目標(biāo)規(guī)劃或者最小二乘法求解。 </p><p><b>　　2 數(shù)學(xué)建模過(guò)程 <

9、;/b></p><p>　　為了簡(jiǎn)化計(jì)算，下面還是對(duì)一個(gè)關(guān)于y軸對(duì)稱的桌面邊緣線來(lái)建模，即，由于對(duì)稱性，我們下面也只計(jì)算前條桌腿的一組。此外，即使桌面不是關(guān)于x軸對(duì)稱，為計(jì)算方便，也假定鋼筋固定在同一組兩條最外側(cè)桌腿離桌腳的距離相同，即。如果桌面關(guān)于x軸不對(duì)稱，折疊過(guò)程和折疊后的鋼筋都是斜的，計(jì)算復(fù)雜，時(shí)間來(lái)不及，所以這里還是假定桌面曲線關(guān)于x軸也對(duì)稱，因此，而且，。 </p><p&

10、gt;　　首先計(jì)算前條桌腿的長(zhǎng)度，還是與問(wèn)題1類似，假定寬度為的長(zhǎng)方形木條其中點(diǎn)位置剛好由鉸鏈連接在桌面邊沿對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置上，于是：， </p><p>　　其次，計(jì)算每條桌腿與桌面連接處的坐標(biāo) </p><p>　　顯然，。而當(dāng)時(shí)，。 </p><p>　　第三，計(jì)算在折疊桌鋪平成平板時(shí)，鋼筋穿過(guò)每條桌腿的位置到該桌腿鉸鏈處的距離。也就是折疊桌的第條腿空槽的上端位置

11、。 </p><p>　　第四，計(jì)算折疊桌的第條腿空槽的下端位置，即折疊桌成型后的鋼筋位置。 </p><p>　　解直角三角形和相似三角形可求得鋼筋固定在和處的z坐標(biāo)，。因都在連接和的線段上，因此對(duì)所有的，。 </p><p>　　由假設(shè)連接鉸鏈的桌腿只能沿著鉸鏈旋轉(zhuǎn)，不發(fā)生側(cè)移，因此的x坐標(biāo)保持不變，與的x坐標(biāo)相同，即。解直角三角形和相似三角形可得知。由對(duì)稱性很

12、容易知鋼筋的另一端點(diǎn)也有，因此鋼筋所在的直線平行于x軸及xz平面，則。 </p><p>　　于是和問(wèn)題1類似，桌腳的參數(shù)方程為： </p><p>　　由于有很多個(gè)點(diǎn)，而桌腳線實(shí)際上是兩個(gè)曲面方程組成的方程組，只有兩個(gè)未知數(shù)和，因此每個(gè)點(diǎn)代入桌腳邊緣線方程就能求出一組和，因此最合適的方法是用最小二乘法的非線性規(guī)劃模型求出最優(yōu)和，這也就能達(dá)到盡可能接近客戶所期望的形狀的目的。因此在給定適當(dāng)

13、的正權(quán)系數(shù)下，數(shù)學(xué)模型為： </p><p><b>　　3 計(jì)算實(shí)例： </b></p><p>　　桌面取橢圓，桌面曲線方程為，。桌腳邊緣線取方程：，.，即；。桌面高取為，于是，因此長(zhǎng)方形平板材料的寬就是，厚度為，則，仍然取，因此 </p><p>　　對(duì)應(yīng)的橢圓軌道的求解加工參數(shù)，最優(yōu)權(quán)重為200 </p><p>

14、;　　則最優(yōu)加工參數(shù)下得到的各桌腿鏈條槽對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度如表所示 </p><p><b>　　4 結(jié)束語(yǔ) </b></p><p>　　對(duì)于此模型適當(dāng)做參數(shù)修改，可以使模型對(duì)于最優(yōu)方案的參數(shù)設(shè)計(jì)更為精確；模型也可用于對(duì)其他家具、機(jī)械制造的最優(yōu)策略設(shè)計(jì)與選擇，提高產(chǎn)品質(zhì)量，贏得市場(chǎng)占有率。 </p><p><b>　　5 參考文獻(xiàn) <

15、;/b></p><p>　　[1] 張欣琦.論家具動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)之折疊結(jié)構(gòu)類型，2014.9.13。 </p><p>　　[2] 孫洪.可展開(kāi)折疊網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)極限承載力的可靠性研究，2014.9.12。 </p><p>　　[3] 銀小剛.基于層次分析法和隸屬度的可靠性評(píng)定簡(jiǎn)述. </p><p>　　[4] 姜啟源.《 數(shù)學(xué)模型》.高等教