數(shù)學(xué)畢業(yè)論文---行列式解法小結(jié)

1、<p><b>　　行列式的解法小結(jié)</b></p><p>　　摘要：本文列舉了行列式的幾種計(jì)算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了這幾種方法的使用條件。</p><p>　　關(guān)鍵詞：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循環(huán)行列式</p><p>　　行列式的計(jì)算是一個(gè)很重要的問題，也是一個(gè)復(fù)雜的問題，階數(shù)不超過3的行列式可

2、直接按行列式的定義求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定義求值。對(duì)于一般階行列式，特別是當(dāng)較大時(shí)，直接用定義計(jì)算行列式幾乎是不可能的事。因此，研究一般階行列式的計(jì)算方法是十分必要的。由于不存在計(jì)算階行列式的一般方法，所以，本文只給出八種特殊的計(jì)算方法，基本上可解決一般階行列式的計(jì)算問題。</p><p><b>　　1 升階法</b></p><p>

3、;　　在計(jì)算行列式時(shí)，我們往往先利用行列式的性質(zhì)變換給定的行列式，再用展</p><p>　　開定理使之降階，從而使問題得到簡(jiǎn)化。有時(shí)與此相反，即在原行列式的基礎(chǔ)上</p><p>　　添行加列使其升階構(gòu)造一個(gè)容易計(jì)算的新行列式，進(jìn)而求出原行列式的值。這種</p><p>　　計(jì)算行列式的方法稱為升階法。凡可利用升階法計(jì)算的行列式具有的特點(diǎn)是：除</p>

4、<p>　　主對(duì)角線上的元素外，其余的元素都相同，或任兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例。升</p><p>　　階時(shí)，新行（列）由哪些元素組成？添加在哪個(gè)位置？這要根據(jù)原行列式的特點(diǎn)</p><p><b>　　作出選擇。</b></p><p>　　例1計(jì)算n階行列式 ，其中</p><p><b>　

5、　解 </b></p><p>　　將最后一個(gè)行列式的第j列的倍加到第一列（，就可以變?yōu)樯先切涡辛惺剑渲鲗?duì)角線上的元素為1+</p><p><b>　　故 </b></p><p>　　例2 計(jì)算n階行列式</p><p>　　解 好象范德蒙行列式，但并不是，為了利用范德蒙行列式的結(jié)果，令&l

6、t;/p><p>　　按第列展開，則得到一個(gè)關(guān)于的多項(xiàng)式，的系數(shù)為。另一方面 </p><p><b>　　顯然，中的系數(shù)為</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　2利用遞推關(guān)系法</b></p>

7、<p>　　所謂利用遞推關(guān)系法，就是先建立同類型n階與n-1階（或更低階）行列式之間的關(guān)系——遞推關(guān)系式，再利用遞推關(guān)系求出原行列式的值。</p><p>　　例3計(jì)算n階行列式 ，其中</p><p>　　解 將的第一行視為據(jù)行列式的性質(zhì)，得</p><p>　　于b與c的對(duì)稱性，不難得到 </p><p>　　聯(lián)立（1），

8、(2）解之，得 </p><p>　　例4計(jì)算n階行列式 </p><p>　　解將按第一行展開，得</p><p>　　于是得到一個(gè)遞推關(guān)系式，變形得 </p><p><b>　　易知 </b></p><p>　　所以，據(jù)此關(guān)系式在遞推

9、，有</p><p>　　如果我們將的第一列元素看作,1+0,……0+0,按第一列坼成兩個(gè)行</p><p>　　列式的和，那么可直接得到遞推關(guān)系式，同樣可得的值。</p><p><b>　　3 化三角形法</b></p><p>　　此種方法是利用行列式的性質(zhì)把給定的行列式表為一個(gè)非零數(shù)與一個(gè)三角形行列式之積，所謂三

10、角形行列式是位于對(duì)角線一側(cè)的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主對(duì)角線的三角形行列式等于主對(duì)角線上元素之積，涉及次對(duì)角線的N階三角形行列式等于次對(duì)角線上元素之積且?guī)Х?hào) </p><p><b>　　例5計(jì)算N階行列式</b></p><p><b>　　解 </b></p><p>　　4 利

11、用范德蒙（Vandermonde）行列式法</p><p>　　著名的范德蒙行列式，在線性代數(shù)中占有重要地位，研究它的應(yīng)用引起了一些數(shù)學(xué)家的興趣，因此在計(jì)算行列式時(shí)，可直接用其結(jié)果。</p><p>　　例6 計(jì)算n階行列式 </p><p>　　解 將第一行可視為，再由行列式的性質(zhì)，得</p><p>　　把第一個(gè)行列式從

12、第一行起依次將行加到行；第二個(gè)行列式的第列提取得</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　5 利用乘法定理法</b></p><p>　　在計(jì)算行列式時(shí)，有時(shí)可以用乘法定理，將給定的行列式表為兩個(gè)容易計(jì)算的或已知的行列式的乘積，從而求出給定行列式的值；有時(shí)不直接計(jì)算給定的行列式，而是選一個(gè)適當(dāng)?shù)?/p>

13、與給定行列式同階的行列式，計(jì)算兩行列式的乘積，由此求出給定行列式的值，這樣也可使問題簡(jiǎn)單。</p><p>　　例7計(jì)算n階行列式 </p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　所以，當(dāng)時(shí)，；</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b&

14、gt;</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p>　　6 利用拉普拉斯（Laplace）定理法</p><p>　　拉普拉斯定理，在計(jì)算行列式時(shí)，主要應(yīng)用k=1的情形，而很少用一般形式，不過當(dāng)行列式里零元素很多時(shí)，運(yùn)用一般情形的拉普拉斯定理，往往會(huì)給行列式的計(jì)算帶來(lái)方便。</p><p>　　例8 計(jì)

15、算2n階行列式</p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　7 提取公因式法</b></p><p>　　若行列式滿足下列條件之一，則可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，稱為“型”；（2）有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素之和或差相等，稱為“鄰和型”；（3）各行（列）元素之和相等，稱為“全和型”。滿足條

16、件（1）的行列式可直接提取公因式變?yōu)椤?，1，…，1型”，于是應(yīng)用按行（列）展開定理，使行列式降一階。滿足（2）和（3）的行列式都可以根據(jù)行列式的性質(zhì)變?yōu)闈M足條件（1）的行列式，間接使用提取公因式法。</p><p>　　例9計(jì)算N階行列式 </p><p>　　解 該行列式各行元素之和都等于 ，屬于“全和型”，所以</p><p>　　總結(jié):計(jì)算行列