論文 —— nba賽程的分析與評價

1、<p>　　NBA賽程的分析與評價</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　本文針對NBA2008-2009賽季的賽程進行了統(tǒng)計分析，以東、西部的30個球隊為研究對象，用數(shù)學建模的方法對賽程進行了定量的分析和評價。</p><p>　　對于問題一、二，本文考慮了對方球隊的實力、連續(xù)客場數(shù)和背靠背比賽場數(shù)三方

2、面的因素來評價賽程對某一支球隊的利弊。通過對附件一、附件二中各數(shù)據(jù)的量化分析，把各因素進行統(tǒng)計處理，并利用層次分析法確定了各因素的權(quán)重，最終計算出各隊利弊的數(shù)量指標值（見表8）。計算結(jié)果顯示30支球隊中最有利的是活塞，最不利的是灰熊。而火箭隊處于較為不利的位置。</p><p>　　對于問題三，基于球隊間的均衡性和比賽的觀賞性考慮，建立了0-1整數(shù)規(guī)劃模型，根據(jù)每隊可以選擇同部不同區(qū)的4支球隊作為對手進行3場比賽

3、的要求，借助LINDO軟件，制定了具體分配方案（見表10,11）。最后與原分配方案進行了比較。</p><p>　　關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)量化 極差規(guī)范化 層次分析法 0-1整數(shù)規(guī)劃</p><p><b>　　1.問題重述</b></p><p>　　當今NBA共有30支球隊，西部聯(lián)盟、東部聯(lián)盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋

4、3個區(qū)，東部分東南、中部和大西洋3個區(qū)，每區(qū)5支球隊。對于2008~2009新賽季，常規(guī)賽階段從2008年10月29日直到2009年4月16日，在這5個多月中共有1230場賽事，每支球隊要進行82場比賽，最終比出結(jié)果，進入季后賽</p><p>　　對于NBA這樣龐大的賽事，編制一個完整的、對各球隊盡可能公平的賽程是一件非常復雜的事情，賽程的安排對球隊實力的發(fā)揮和戰(zhàn)績有一定的影響，從報刊上經(jīng)常看到球員、教練和媒體

5、對賽程的抱怨或評論。所以要求用數(shù)學建模方法對已有的賽程進行定量的分析與評價：</p><p>　　1）為了分析賽程對某一支球隊的利弊，考慮有哪些要考慮的因素，根據(jù)這些因素將賽程轉(zhuǎn)換為便于進行數(shù)學處理的數(shù)字格式，并給出評價賽程利弊的數(shù)量指標。</p><p>　　2）按照1）的結(jié)果計算、分析賽程對姚明加盟的火箭隊的利弊，并找出賽程對30支球隊最有利和最不利的球隊。</p>&l

6、t;p>　　3）分析賽程可以發(fā)現(xiàn)，每支球隊與同區(qū)的每一球隊賽4場（主客各2場），與不同部的每一球隊賽2場（主客各1場），與同部不同區(qū)的每一球隊有賽4場和賽3場（2主1客或2客1主）兩種情況，每支球隊的主客場數(shù)量相同且同部3個區(qū)的球隊間保持均衡。試根據(jù)賽程找出與同部不同區(qū)球隊比賽中，選取賽3場的球隊的方法。這種方法如何實現(xiàn)，對該方法給予評價，也可以給出自己認為合適的方法。 </p><p><b>

7、　　2.問題分析</b></p><p>　　題目要求分析賽程安排對球隊的影響，并利用各因素建立最優(yōu)的比賽分配方案。而在分配隊伍賽程是需要考慮到:如何確定各個因素對每個球隊的權(quán)重;在知道個因素的權(quán)重后，怎樣建立目標函數(shù)值使每個球隊間保持均衡；比較原賽程的安排，如何建立最合適，最均衡的方法。</p><p>　　對于問題1，在分析選取各個球隊不利因素的情況下，首先把所選因素根據(jù)實

8、際情況進行量化，并將量化的結(jié)果實行權(quán)重分配，然后分別加權(quán)求和，以此可以得到賽程對每支球隊的弊端指數(shù)，也就是量化后的數(shù)量指標。</p><p>　　在問題1的基礎(chǔ)，考慮到弊端指數(shù)對每個球隊的影響下，以量化后得出的數(shù)量指標</p><p>　　進行每個球隊的排名，即可以得出哪只球隊在此因素的影響下最有利，而對于哪只球隊最不利。同樣的，對于姚明加盟的火箭隊的利弊，是怎樣的一個情況。</p&

9、gt;<p>　　對于問題3，在東、西部相對獨立下，每個球隊要與同部不同區(qū)的每一只球隊進行比賽，而每個球隊總的主客場相同且同部3個區(qū)的球隊間保持均衡。為了使各隊在比賽安排上相對的公平，我們可以把每個球隊與自己比賽3場的對手劃分為一個單位，解出每個單位在各數(shù)量指標影響下的實力值，最終以確定目標函數(shù)（綜合實力差值），來實現(xiàn)最合適的方法</p><p>　　3.模型假設(shè)與符號設(shè)定</p>&

10、lt;p><b>　　3.1模型假設(shè)</b></p><p>　　1、不考慮球隊人員的變動及傷病因素，即各隊實力保持不變</p><p>　　2、用2007—2008賽季NBA常規(guī)賽各球隊戰(zhàn)況確定各球隊實力具有有一定的準確性、可信性</p><p>　　3、每個球隊對手實力越接近自己實力，則說明賽程安排越公平合理</p>&

11、lt;p><b>　　3.2符號約定</b></p><p>　　第個球隊遇到的所有對手實力的平均值，即對手的平均實力因素</p><p>　　第個球隊連續(xù)客場因素</p><p>　　第個球隊背靠背比賽因素</p><p><b>　　規(guī)范化處理后</b></p><p&

12、gt;<b>　　規(guī)范化處理后</b></p><p><b>　　規(guī)范化處理后</b></p><p>　　第場比賽的對手的實力值</p><p>　　對手的平均實力因素的權(quán)重</p><p><b>　　連續(xù)客場因素的權(quán)重</b></p><p>　

13、　背靠背比賽因素的權(quán)重</p><p><b>　　對手平均實力值</b></p><p><b>　　弊端指數(shù)</b></p><p>　　球隊與球隊的實力差值</p><p>　　4.模型的建立與求解</p><p>　　4.1.1問題分析與模型建立</p>

14、<p>　　由賽程的安排可知，每個球隊的主客場次總體是相同的，但有時因為各隊主客場的不一致，而導致某些球隊在客場或是主場連續(xù)比賽，在分析各隊弊端的同時，我們引入了連續(xù)客場因素的概念（即連續(xù)打兩次客場）。至于不管在主場還是客場的比賽下，只要連續(xù)比賽兩天的，對于球隊必定是一種影響，所以也應(yīng)考慮背靠背因素（即指連續(xù)比賽兩天）。加上考慮每個球隊的排名可以清楚地知道各球隊的不同實力。而在一場比賽時，自己的輸贏往往也與對手的實力有關(guān)，最

15、終，對手的平均實力因素也是至關(guān)重要（即82場比賽中對手的平均實力值）。</p><p>　　把三個因素進行一定的量化處理后分別得到每個球隊遇到的對手球隊平均實力因素為、每個球隊連續(xù)客場因素和球隊背靠背比賽因素值。</p><p>　　為了使每個球隊的各因素在同一層次做統(tǒng)一的比較，對各因素的數(shù)值進行規(guī)范化處理，設(shè)規(guī)范化處理后的各因素的值分別為、、，由于衡量球隊利弊的三個因素，影響利弊的權(quán)重不

16、盡相同，在這里我們設(shè)定賽程中球隊相遇對手的平均實力因素、 連續(xù)客場因素和背靠背比賽因素的權(quán)重，分別為、、,取三個因素量化處理后的值，分別加權(quán)后求和，則得到賽程弊端指數(shù)</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　賽程弊端指數(shù)越大說明賽程安排對球隊越不利，反之賽程對球隊越有利。</p><p>　　4.1.2球隊實力排名<

17、;/p><p>　　為了得到每個球隊實力之間量化排名，根據(jù)2007—2008賽季NBA常規(guī)賽各球隊的成績按以下兩個原則排名： </p><p>　　一、排名先后以球隊勝率大小確定，勝率越大排名越靠前；</p><p>　　二、當球隊間勝率相同時，球隊的分差值大的排名相對靠前；</p><p>　　并根據(jù)排名情況給予30到1的打分作為這個球隊的實力

18、因素值得到實力排名（見如下表1）</p><p>　　表1 每個球隊實力排名表</p><p>　　由求出每個球隊對手平均實力值。（見下表2）</p><p>　　表2 每個球隊對手平均實力表</p><p><b>　　4.1.3賽程轉(zhuǎn)換</b></p><p>　　將賽程轉(zhuǎn)換成便于數(shù)學處理

19、的數(shù)字格式，就是在賽程表格上能夠得到各個自己想要得到的因素，得到的各因素都是經(jīng)過量化的，可以直接用數(shù)學進行計算。下表3.1和表3.2是魔術(shù)隊一部分賽程安排表。表3.2就是表3.1的數(shù)學格式轉(zhuǎn)化。 </p><p>　　表3.1魔術(shù)隊一部分的賽程安排表</p><p>　　表3.2 魔術(shù)隊一部分的賽程安排的數(shù)學轉(zhuǎn)化表</p><p><b>　　4.1.4量

20、化處理</b></p><p>　　對附件一中每個球隊連續(xù)客場比賽的次數(shù)進行統(tǒng)計（見下表4）</p><p>　　表4 各球隊連續(xù)客場統(tǒng)計表</p><p>　　為了運算方便把連續(xù)3次以上的客場向連續(xù)2次客場轉(zhuǎn)化，連續(xù)兩次客場的比賽記為連續(xù)客場一次，連續(xù)客場一次的因素值都取常數(shù)1，即當場連續(xù)客場轉(zhuǎn)化得到次連續(xù)客場一次，其連續(xù)客場值因素值為，把表2中各球

21、隊連續(xù)客場統(tǒng)數(shù)據(jù)進行處理，得出每個球隊連續(xù)客場因素。（見表5）</p><p>　　表5 每個球隊連續(xù)客場因素表</p><p>　　同理對附件一中每個球隊背靠背比賽次數(shù)進行統(tǒng)計，設(shè)定每次背靠背比賽的弊端值都為一相同不為零常數(shù)，為計算方便這里設(shè)定為1，則得到每個球隊背靠背比賽因素的值。（見表6）</p><p>　　表6每個球隊背靠背因素</p>&

22、lt;p>　　4.1.5規(guī)范化處理</p><p>　　為了使每個球隊相遇對手平均實力因素、 連續(xù)客場因素和背靠背比賽因素在同一層次做統(tǒng)一的比較，首先分別用極差規(guī)范化方法作相應(yīng)的規(guī)范化處理。</p><p>　　對手平均實力因素的規(guī)范化：</p><p><b>　　（2）</b></p><p>　　連續(xù)客場因素

23、的規(guī)范化：</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　背靠背因素的規(guī)范：</b></p><p><b>　　（4）</b></p><p>　　把對手平均實力因素、連續(xù)客場因素和背靠背因素分別代人公式（2）、（3）、（4）得到規(guī)范化的對手平均實力

24、因素、連續(xù)客場因素、背靠背因素數(shù)值結(jié)果（見下表7）</p><p>　　表7 每個球隊各因素規(guī)范化后數(shù)值表</p><p>　　4.1.6 各因素權(quán)重的確定</p><p>　　通過引入每兩個因素對弊端指數(shù)影響的程度大小的比值得到成對比較矩陣如下：</p><p>　　其中=5即表示球隊實力和連續(xù)客場因素對弊端指數(shù)的影響之比為5:1，=1即

25、表示連續(xù)客場因素和背靠背比賽因素對弊端指數(shù)的影響之比為1:1。求出對比矩陣的最大特征根為，對應(yīng)的特征向量歸一后為</p><p>　　即3種因素在弊端指數(shù)中所占的權(quán)重，由此我們可以得到</p><p>　　把表7中的每個球隊相遇對手平均實力因素、 連續(xù)客場因素和背靠背比賽因素代人（1）式進行求解得到弊端指數(shù)，用EXCEL對求出的賽程安排對每支球隊的弊端指數(shù)進行從小到大排序。</p&g

26、t;<p>　　表8球隊的弊端指數(shù)的排序</p><p><b>　　4.1.7結(jié)果分析</b></p><p>　　根據(jù)表8中的數(shù)據(jù)可知，賽程的利弊對每個球隊而言都是不同的，最主要的是看對自己不利因素的多少，也就是本題中所提到的弊端指數(shù)，評價賽程的利弊也就是看每個球隊所對應(yīng)的弊端指數(shù)的大小，弊端指數(shù)越大對球隊越不利。</p><p&

27、gt;<b>　　4.2問題2</b></p><p>　　由問題1中求得結(jié)果，知當時,把每個球隊的各因素量化后的數(shù)據(jù)代人（1）式，得出每支球隊弊端指數(shù)大小，弊端指數(shù)越大，則說明賽程安排對球隊弊端相對較大，反之相對較小，在30支球隊弊端指數(shù)相比之下，得出2008/2009年度NBA常規(guī)賽完全賽程安排，對灰熊隊最不利，對活塞隊最有利；賽程安排對對火箭隊弊端指數(shù)為 0.557123989，排在第

28、21位比平均值高賽程安排對火箭隊較為不利。

29、 </p><p>　　4.3.1模型建立與求解</p><p>　　總的賽程安排中，每支球隊與同區(qū)的每一球隊賽4場（主客各2場），與不同部的每一球隊賽2場（主客各1場

30、），與同部不同區(qū)的每一球隊有賽4場和賽3場（2主1客或2客1主）兩種情況，每支球隊各打82場比賽，每支球隊的主客場數(shù)量相同且同部3個區(qū)的球隊間保持均衡。</p><p>　　對已經(jīng)排列好的同部不同區(qū)的賽3場的賽程進行研究，不難發(fā)現(xiàn)有以下規(guī)律：每個分區(qū)內(nèi)的球隊選擇另外兩個分區(qū)中的四個隊，而且是每個分區(qū)各兩隊；每個分區(qū)內(nèi)的球隊在和選中的4個另外分區(qū)中的四個隊個進行3場比賽，且最終每個分區(qū)球隊主客場次數(shù)相同；分析判斷知

31、NBA賽程安排是在保證以上規(guī)律的前提下，由電腦隨機抽簽產(chǎn)生，這種隨機產(chǎn)生比賽賽程的方法，隨機性太大，有可能使實力很強的隊碰上實力很弱的隊那樣顯得不是很公平。</p><p>　　在比賽中實力相差很大的球隊間，根本就沒有可打性，在同樣一水平線上的球隊才有可賽性，所以賽程安排中實力相差比較大的球隊間安排的賽場相對少才比較公平合理,所以賽三場的球隊間的實力差值越大，越具有公平合理性。</p><p&

32、gt;　　記 分別為相對應(yīng)球隊的代號；記球隊與球隊實力差值為，即有</p><p>　　表9 東部聯(lián)盟三區(qū)15支球隊兩兩之間的實力差值表</p><p>　　引入0—1變量，若球隊與球隊進行比賽，記，否則記，根據(jù)同部中每個球隊，應(yīng)該滿足的幾個約束條件：</p><p>　　每個分區(qū)內(nèi)的球隊選擇另外兩個分區(qū)中的四個隊，為保證球隊均衡應(yīng)在每個區(qū)中各選擇兩個隊。每個球隊

33、對一個分區(qū)只能選擇兩個球隊。</p><p><b>　　即對于</b></p><p><b>　　應(yīng)有、</b></p><p><b>　　對于</b></p><p><b>　　應(yīng)有、</b></p><p><b&

34、gt;　　對于</b></p><p><b>　　應(yīng)有、</b></p><p><b>　　對于</b></p><p><b>　　應(yīng)有、</b></p><p><b>　　對于</b></p><p><

35、b>　　應(yīng)有、</b></p><p><b>　　對于</b></p><p><b>　　應(yīng)有、</b></p><p>　　當球隊選擇球隊時表示他們的實力差值，否則，于是總的實力差值可以表示為，著也就是該問題的目標函數(shù)。</p><p>　　綜上所述，這個問題的0—1規(guī)劃模型

36、可寫作</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　將表9中的數(shù)據(jù)代人這一模型，并輸入LINDO進行求解,（求解過程見附錄1）得到東部聯(lián)盟三區(qū)15支球隊賽三場的情況下，總的實力差值的選取方案</p><p>　　同理求出西部聯(lián)盟三區(qū)15支球隊賽三場的情況下，輸入LINDO進行求解（求解過程見附錄2）總的實力差值的選取方案。&

37、lt;/p><p><b>　　4.3.2結(jié)果分析</b></p><p>　　把模型中求出的東部聯(lián)盟球隊賽三場的選取方案分別與2008/2009年度NBA常規(guī)賽中東西部賽三場賽程選取相比較，可以明顯的看到有好多都不相同，把2008/2009年度NBA常規(guī)賽東西部賽三場賽程各球隊間總的實力差值分別求出為</p><p>　　從模型中求得的最大實力差

38、值與已經(jīng)安排的賽程的總實力差值相比較發(fā)現(xiàn)模型中的總實力差值大，因此單從實力這方面來考慮賽三場的話，本文的模型所求得的賽程安排更合理。</p><p>　　5.模型優(yōu)缺點及改進方向</p><p><b>　　5.1模型優(yōu)缺點：</b></p><p>　　5.1.1模型的優(yōu)點</p><p>　　1）在建立數(shù)學模型中，把

39、賽程對球隊的各因素，即對手的平均實力、連續(xù)客場和背靠背比賽等因素轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的權(quán)重，使問題變的簡單和清晰化，設(shè)計的解法考慮的限制條件較少，簡單明了，具有一定的通用性；</p><p>　　模型在實際運用中，相對與每個球隊是合理的，也是教普遍的。</p><p>　　5.1.2模型的缺點</p><p>　　模型的缺點是當賽程對球隊的因素較多時，或者對于個別球隊而產(chǎn)生的

40、不利因素時，必須要尋找一種更有效的模型。</p><p><b>　　5.2模型的改進：</b></p><p>　　對于權(quán)重的取值，可以根據(jù)球隊對賽程的需要來確定，使得每個球隊之間分配更合理，也可以根據(jù)不同要求確定不同分配方案。</p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　

41、[1] 韓中庚，數(shù)學建模方法及其運用，北京：高等教育出版社，2005</p><p>　　[2] 姜啟源、謝金星、葉俊，數(shù)學建模（第三版），北京：高等教育出版社，2003</p><p>　　[3] 新浪網(wǎng)，NBA常規(guī)賽分區(qū)排名，http://sports.sina.com.cn/nba/，2008</p><p><b>　　6.附件</b>

42、</p><p><b>　　附錄1</b></p><p>　　為了在LINDO中的計算的方便我們把在LINDO的計算中用代替把用代替，即</p><p>　　用LINDO軟件輸入</p><p>　　max 0.01588x16+0.080635x17+0.213035x18+0.473425x19+0.507305

43、x1a+0.02194x1b+0.01294x1c+0.11301x1d+0.2569x1e+0.463985x1f+0.01338x26+0.078135x27+0.210535x28+0.470925x29+0.504805x2a+0.02444x2b+0.01044x2c+0.11051x2d+0.2544x2e+0.461485x2f+0.00094x36+0.065695x37+0.198095x38+0.458485x39+

44、0.492365x3a+0.03688x3b+0.002x3c+0.09807x3d+0.24196x3e+0.449045x3f+0.048815x46+0.01594x47+0.14834x48+0.40873x49+0.44261x4a+0.086635x4b+0.051755x4c+0.048315x4d+0.192205x4e+0.39929x4f+0.454545x56+0.38979x57+0.25739x58+0.003

45、x</p><p>　　+0.463985xf1+0.461485xf2+0.449045xf3+0.39929xf4+0.00644xf5+0.448105xf6+0.38335xf7+0.25095xf8+0.00944xf9+0.04332xfa</p><p><b>　　st</b></p><p>　　x16+x17+x18+x19

46、+x1a=2</p><p>　　x1b+x1c+x1d+x1e+x1f=2</p><p>　　x26+x27+x28+x29+x2a=2</p><p>　　x2b+x2c+x2d+x2e+x2f=2</p><p>　　x36+x37+x38+x39+x3a=2</p><p>　　x3b+x3c+x3d+x3e

47、+x3f=2</p><p>　　x46+x47+x48+x49+x4a=2</p><p>　　x4b+x4c+x4d+x4e+x4f=2</p><p>　　x56+x57+x58+x59+x5a=2</p><p>　　x5b+x5c+x5d+x5e+x5f=2</p><p>　　x16+x26+x36+x46

48、+x56=2</p><p>　　x6b+x6c+x6d+x6e+x6f=2</p><p>　　x71+x72+x73+x74+x75=2</p><p>　　x7b+x7c+x7d+x7e+x7f=2</p><p>　　x81+x82+x83+x84+x85=2</p><p>　　x8b+x8c+x8d+x8e

49、+x8f=2</p><p>　　x91+x92+x93+x94+x95=2</p><p>　　x9b+x9c+x9d+x9e+x9f=2</p><p>　　xa1+xa2+xa3+xa4+xa5=2</p><p>　　xab+xac+xad+xae+xaf=2</p><p>　　xb1+xb2+xb3+xb4

50、+xb5=2</p><p>　　xb6+xb7+xb8+xb9+xba=2</p><p>　　xc1+xc2+xc3+xc4+xc5=2</p><p>　　xc6+xc7+xc8+xc9+xca=2</p><p>　　xd1+xd2+xd3+xd4+xd5=2</p><p>　　xd6+xd7+xd8+xd9

51、+xda=2</p><p>　　xe1+xe2+xe3+xe4+xe5=2</p><p>　　xe6+xe7+xe8+xe9+xea=2</p><p>　　xf1+xf2+xf3+xf4+xf5=2</p><p>　　xf6+xf7+xf8+xf9+xfa=2</p><p>　　x61+x71+x81+x91

52、+xa1=2</p><p>　　xb1+xc1+xd1+xe1+xf1=2</p><p>　　x62+x72+x82+x92+xa2=2</p><p>　　xb2+xc2+xd2+xe2+xf2=2</p><p>　　x63+x73+x83+x93+xa3=2</p><p>　　xb3+xc3+xd3+xe3

53、+xf3=2</p><p>　　x64+x74+x84+x94+xa4=2</p><p>　　xb4+xc4+xd4+xe4+xf4=2</p><p>　　x65+x75+x85+x95+xa5=2</p><p>　　xb5+xc5+xd5+xe5+xf5=2</p><p>　　x16+x26+x36+x46

54、+x56=2</p><p>　　xb6+xc6+xd6+xe6+xf6=2</p><p>　　x17+x27+x37+x47+x57=2</p><p>　　xb7+xc7+xd7+xe7+xf7=2</p><p>　　x18+x28+x38+x48+x58=2</p><p>　　xb8+xc8+xd8+xe8

55、+xf8=2</p><p>　　x19+x29+x39+x49+x59=2</p><p>　　xb9+xc9+xd9+xe9+xf9=2</p><p>　　x1a+x2a+x3a+x4a+x5a=2</p><p>　　xba+xca+xda+xea+xfa=2</p><p>　　x1b+x2b+x3b+x4b

56、+x5b=2</p><p>　　x6b+x7b+x8b+x9b+xab=2</p><p>　　x1c+x2c+x3c+x4c+x5c=2</p><p>　　x6c+x7c+x8c+x9c+xac=2</p><p>　　x1d+x2d+x3d+x4d+x5d=2</p><p>　　x6d+x7d+x8d+x9d

57、+xad=2</p><p>　　x1e+x2e+x3e+x4e+x5e=2</p><p>　　x6e+x7e+x8e+x9e+xae=2</p><p>　　x1f+x2f+x3f+x4f+x5f=2</p><p>　　x6f+x7f+x8f+x9f+xaf=2</p><p><b>　　end<