畢業(yè)論文--基于計算機仿真技術(shù)的動態(tài)利薩如圖

1、<p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　基于計算機仿真技術(shù)的動態(tài)利薩如圖</p><p>　　Dynamic Lissajou's Figure Based on The Computer Imitation Technology</p><p>　　姓 名： &l

2、t;/p><p>　　學(xué) 號： </p><p>　　系 別： </p><p>　　專 業(yè)： 物理學(xué) </p><p>　　年 級： </p>

3、<p>　　指導(dǎo)教師： </p><p>　　2006年 6 月 12 日</p><p>　　基于計算機仿真技術(shù)的動態(tài)利薩如圖</p><p><b>　　中 文 摘 要</b></p><p>　　本設(shè)計介紹了計算機仿真技術(shù)的原理、特點、應(yīng)用領(lǐng)域，利薩如圖的傳

4、統(tǒng)做法在教學(xué)中的問題，以及現(xiàn)在如何使用計算機技術(shù)精確繪制我們需要的利薩如圖，如何有效、清晰地演示利薩如圖的形成過程。</p><p>　　關(guān)鍵詞：Mathcad；利薩如圖；計算機仿真</p><p>　　Dynamic Lissajou's Figure Based on The Computer Imitation Technology</p><p>&

5、lt;b>　　Absract</b></p><p>　　The design introduced the principle,characteristics,the area of usage about computer imitation technology and the problem of teaching which is found in the traditional pr

6、actice of Lissajou's figure. How to make a Lissajou's figure exactly now and how to practise the forming process availably and clearly are the aim of this design.</p><p>　　Keywords: Mathcad;Lissajou&

7、#39;s figure;Computer simulation </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　中 文 摘 要1</b></p><p><b>　　英文摘要1</b></p><p><b>　　1. 引言3&l

8、t;/b></p><p>　　2. 計算機仿真技術(shù)介紹3</p><p>　　3. 利薩如圖形成原理2</p><p>　　4. 靜態(tài)利薩如圖的繪制3</p><p>　　4.1 簡單靜態(tài)利薩如圖的繪制3</p><p>　　4.2 復(fù)雜靜態(tài)利薩如圖的繪制4</p><p

9、>　　5． 動態(tài)利薩如圖的繪制5</p><p>　　5.1 利薩如圖的形成機制演示5</p><p>　　5.2 利薩如圖隨相位差的動態(tài)變化9</p><p>　　6. 結(jié)束語10</p><p><b>　　參考文獻11</b></p><p><b>　　致謝

10、12</b></p><p><b>　　1. 引言</b></p><p>　　傳統(tǒng)利薩如圖一般用示波器演示,在觀察利薩如圖形時，常常用兩臺單獨的信號發(fā)生器產(chǎn)生的正弦信號送入示波器來實現(xiàn)，這樣做很難得到穩(wěn)定的、不同相位差、不同頻率比的利薩如圖形。利用機算機仿真技術(shù)可以準確地實現(xiàn)不同相位差、不同頻率比的利薩如圖形的繪制，更為有意義的是可以實現(xiàn)利薩如圖的

11、形成過程的清晰演示。 </p><p>　　2. 計算機仿真技術(shù)介紹</p><p>　　隨著計算機功能的日益強大，計算機及計算機技術(shù)的普及，研究事物必須建立在具體實物模型之上的時代已成為過去，現(xiàn)在的科學(xué)研究中，計算機仿真可以實現(xiàn)在虛擬的模型中對事物進行分析、研究、過程推演。</p><p>　　現(xiàn)實世界的絕大部分模型都不能求出顯式解,譬如在量子力學(xué)中,很多問題

12、并不能直接的得到解析解,這時一般可以通過仿真的辦法來研究這個系統(tǒng),使得研究的系統(tǒng)能夠更直觀的呈現(xiàn)在我們的面前,便于更準確的把握物理圖象和解釋物理繪圖。</p><p>　　仿真技術(shù)則是以相似原理、信息技術(shù)、系統(tǒng)技術(shù)及應(yīng)用領(lǐng)域中的相關(guān)專業(yè)技術(shù)為基礎(chǔ),以計算機和各種物理效應(yīng)設(shè)備為工具,利用系統(tǒng)模型對實際的或設(shè)想的系統(tǒng)進行實驗研究的一門綜合技術(shù)[1]。</p><p>　　計算機仿真技術(shù)最大的特

13、點是效果相似于多媒體技術(shù)，本質(zhì)上卻有很多的不同，仿真技術(shù)是基于事物客硯的規(guī)律，其中的的每一步都遵循相關(guān)的物理數(shù)學(xué)規(guī)律。因此可以對事物進行精確的過程模似，利薩如圖就是其中一個很好的例子。</p><p>　　傳統(tǒng)的利薩如圖主要是兩種，一是利用示波器進行信號輸入，調(diào)節(jié)示波器得到各種頻率比，相位差的利薩如圖，這種方法最大的缺點是忽略了利薩如圖的形成過程，只是輸出結(jié)果，在課堂教學(xué)中實際效果也不好。二是利用沙漏進行實際演示

14、，這個實驗要做好，必須把握好沙漏的擺動穩(wěn)定性，控制好沙子的漏出時間，操作須有豐富的經(jīng)驗才能較好實現(xiàn)，也很難達到教學(xué)效果[2]。</p><p>　　利用計算機仿真技術(shù)就可以很好地解決這個問題，精確繪制各種頻率比的利薩如圖，利薩如圖的形成過程演示都變得很容易。</p><p>　　這里我使用的作圖軟件是MathCAD下面簡單介紹一下MathCAD。</p><p>　

15、　MathCAD是美國Mathsoft公司推出的一個交互式的數(shù)學(xué)軟件，在輸入一個數(shù)學(xué)公式、方程組、矩陣之后，計算機能直接給出結(jié)果，而無須去考慮中間計算過程。你可以在計算機上輸入數(shù)學(xué)公式、符號和等式等，很容易地算出代數(shù)、積分、三角以及很多科技領(lǐng)域中的復(fù)雜表達式的值，并可顯示數(shù)學(xué)表格和圖形,通過對圖形結(jié)果的分析，使我們對問題的理解更加形象。</p><p>　　3. 利薩如圖形成原理</p><

16、p>　　設(shè)某一質(zhì)點同時參于了兩個簡諧振動,兩個振動的方程式如下：</p><p>　　X1=A1cos(w0t+1)</p><p>　　X2=A2cos(w0t+2)</p><p>　　當兩個振動是同方向不同頻率的振動時，合成就變得很容易，這兩個合成振動的位移為:</p><p><b>　　X=X1+X2</b&g

17、t;</p><p>　　接下來就是數(shù)學(xué)處理了。</p><p>　　當兩個振動是方向互相垂直不同頻率的振動時,合振動就較為復(fù)雜,現(xiàn)將兩分振動的分運動數(shù)學(xué)方程式表示如下[5]：</p><p>　　X(t)=A1cos(1t+1)</p><p>　　Y(t)=A2cos(2t+2)</p><p><b>

18、　　合成的振動為：</b></p><p>　　消除t變量后可以得到F(x,y)=0。</p><p>　　如果頻率1和2同時增大k倍，即可得:</p><p>　　X(t)=A1cos(k1t+1)</p><p>　　Y(t)=A2cos(k2t+2)</p><p>　　令=kt 上面兩式可化為：&l

19、t;/p><p>　　X()=A1cos(1 +1)</p><p>　　Y()=A2cos(2 +2)</p><p>　　消除變量后可以得到F(x,y)=0。</p><p>　　綜上可知，頻率1 2的比值和初相位決定了消除t 后的函數(shù),函數(shù)決定軌跡，因此可知不同的頻率比值有不同的圖形軌跡，與具體的頻率數(shù)值無關(guān)[3]。</p>

20、<p>　　這兩個振動的合成的跡是什么樣的，用數(shù)學(xué)公式進行處理很難得到,通過處算機模擬可以得到一系列相關(guān)的圖形，我們把這樣振動方向互相垂直、振動頻率不同,初相位不同的簡諧振動合成的合振動形成的圖形叫做利薩如圖。</p><p>　　4. 靜態(tài)利薩如圖的繪制</p><p>　　4.1 簡單靜態(tài)利薩如圖的繪制 </p><p>　　(1)初值設(shè)置：頻

21、率比是1:2 =1：3，1=0, 2= 也就是相位差為</p><p>　　(為了使圖形在第一象限，在x,y上同時加了100，以下皆同)</p><p>　　(2)我們先插入一個二維直角坐標；</p><p>　　(3)輸入二維坐標最大值；</p><p>　　(4)在x，y函數(shù)式輸入處分別輸入x(t),y(t) </p>&

22、lt;p>　　參數(shù)設(shè)置如圖(1)所示, 通過以上步驟可以得到圖(2)所示軌跡圖形。</p><p>　　圖(1) 圖(2)</p><p>　　通過改變圖形的屬性可以調(diào)節(jié)橢圓的顏色、粗細，軌跡類型。</p><p>　　很明顯我們得到了圖形(2)，經(jīng)檢驗，符合實際規(guī)律。</p><p>

23、;　　理論上我們知道利薩如圖形的形狀和頻率的具體大小沒有必然的關(guān)系，只和頻率比有關(guān)，現(xiàn)在修改一下參數(shù)，把，頻率由w1=0.2 w2=0.3變?yōu)閣1=0.4 w2=0.6，頻率比不變，是否會改變圖形呢，下面我們驗證一下</p><p>　　圖(3) 圖(4)</p><p>　　4.2 復(fù)雜靜態(tài)利薩如圖的繪制</

24、p><p>　　對比圖(3)和(4)后很容易發(fā)現(xiàn)，圖形只與頻率比值有關(guān)，與頻率大小無關(guān)。</p><p>　　只要改變其中的參數(shù)，就可以得到各種復(fù)雜的利薩圖形，下面我們看一個較復(fù)雜一點利薩如圖繪制。參數(shù)設(shè)置如左；輸入函數(shù)后，我們得到的利薩如圖形如右：</p><p>　　靜態(tài)利薩如圖的繪制在MathCAD里是一較容易的，只要函數(shù)輸入正確，一般是沒有什么問題的。</

25、p><p>　　下面我們來介紹一下動態(tài)利薩如圖的繪制過程，及其原理。</p><p>　　動態(tài)的利薩如圖可以分為兩個部分：固定相位差，頻率比，利薩如圖形成機制的動態(tài)演示；固定頻率比，圖形隨相位差值變化而變化。</p><p>　　5．動態(tài)利薩如圖的繪制</p><p>　　5.1 利薩如圖的形成機制演示</p><p>

26、　　在這里，希望得到能清晰反應(yīng)利薩如圖形成機制的動畫，能過前面的演示步驟， 對MathCAD制作動畫有了一個初步的了解，下面我們先做一個頻率比為1：1，相位差為的動畫。</p><p><b>　　首先來看初值設(shè)置：</b></p><p>　　(7)

27、 在這里x(d),y(d)表示圖形的軌跡，其中d的值不必設(shè)定，系統(tǒng)自定義它的取值范圍在x，y坐標最大值與最小值之間。</p>

28、;<p>　　t=FRAME，也就是說，x(t)的值隨幀的變化而變化，x(t)是瞬時值，y(t)也一樣是瞬時值。Vk表示的是橫軸上的振動，這里用一段連續(xù)的線段來表示，這段線段從0到y(tǒng)(t);Uk表示是縱軸上的振動,這里用一段連續(xù)的線段來表示,這段線段表示的是從0到x(t)。</p><p>　　下面我們來看一下直角坐標圖: </p><p>

29、;<b>　　圖(8)</b></p><p>　　[X(d),Y(d)]描繪了橢圓軌跡，Y(d)下面的線段就是表示相應(yīng)軌跡的顏色和軌跡的類型。</p><p>　　[x(t),y(t)]表示的橢圓軌跡上的那個小實心圓，隨FRAME 的變化，它將在橢圓軌跡上來回運動。</p><p>　　[0，Vk]反應(yīng)的是由坐標軸原點指向y軸小圓的線段，它是

30、變化的，看到將是一個在y軸上可伸縮的線段。</p><p>　　[Uk,0]反應(yīng)的是由坐標軸原點指向x軸小圓的線段，它是變化的，將是一個在x軸上可伸縮的線段。</p><p>　　[Uk，y(t)]表示的是平行x軸的虛線。同理[x(t) ,Vk]表示的是平行y軸的虛線</p><p>　　[y(t),0]表示的是y軸可伸縮線段端頭的小實心圓。同理，[0,x(t)]表

31、示的是x軸可伸縮線段端頭的小實心圓。</p><p>　　隨著幀的變化，橢圓上的小實心圓將在軌跡上運動，運動就會有方向的問題，那么是什么決定了小實心圓的運動方向，從理論我們知道相位差的正負決定了小實心圓的運動方向。</p><p>　　圖(9) 圖(10)</p><p>　　相位差的正負可以決定小球

32、的運動方向，上面兩個圖可以清楚地說明這一點。</p><p>　　改變FRAME的值可以看到小球的運動方向，圖（8）中的FRAME=0（系統(tǒng)默認初始值為0）我們直接給FRAME賦一個值20就會得到圖(8)、圖(9)兩個不同的圖形。</p><p>　　通過圖(9),圖(10)可以清楚地看到當FRAME=20時，圖(9)中的小球做順時針方向動,而圖(10)中的小球做逆時針方向運動,也就是說明

33、了，相位差的正負決定小球的運動方向。</p><p>　　接下來講解一下動畫的制作過程</p><p>　　動畫的制作首先要進行初值的設(shè)置,這里我使用如圖(8)的初值設(shè)置。</p><p>　　選擇 插入圖形中的插入直角坐標圖進行，x軸，y軸上的函數(shù)輸入，輸入完后得到圖(9)</p><p>　　選擇查看中的動畫，我們設(shè)置幀從0到63，幀的變

34、化速率為10幀每秒。我們可以得到如下圖</p><p>　　(4)選擇要變化的區(qū)域，點擊動畫后可以生成動畫，圖(11)將變?yōu)閳D(12)我們可以將生成的動畫”另存為”到一指定的文件夾，通過選項的更改我們可以選擇壓縮 </p><p>　　圖(11) 圖(12)</p><p>　　上面的圖(9)的演示

35、動畫如：動畫1 圖(10)的演示動畫如：動畫2</p><p>　　制做這動畫必須注意的幾個細節(jié)如下：</p><p>　　坐標軸最大值要略大于100，最小值要略小于-100，這樣圖形才能清晰顯示，否則將出現(xiàn)邊沿顯示不清的問題。</p><p>　　幀值的定義不是任意的，必須使小圓能回到起始運動的初始位置，也就是一個周期。我們可以通過改變FRAME的值來查看小圓的

36、位置。</p><p>　　通過拉伸圖形使圖形趨于正方形,這樣可以保證X,Y最大值相同,X,Y軸的最小單位長度相同。</p><p>　　我們通過以上相同的步驟做一個較復(fù)雜的動畫,我們設(shè)置初始值如下：</p><p>　　選擇”查看→動畫” 檢驗幀為125時可以實現(xiàn)一個周期的動畫,選擇動畫區(qū)域,再選擇動畫,就可以得到動畫如：動畫3依據(jù)同樣的道理我們可以做出各種不同的

37、頻率比,不同相位差的動畫.</p><p><b>　　圖(13)</b></p><p>　　前面研究的都是閉合曲線的動態(tài)演示，下面看一下非閉合利薩如圖軌跡形成的動畫，設(shè)置頻率分別為：1=0.2 2=0.3 相位差為0，其他參數(shù)與圖(13)一樣,可以得到動畫如 動畫4</p><p>　　仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)，閉合的利薩如圖的形成過程中，一個

38、周期內(nèi)實心小圓只是沿圖形軌跡上不重復(fù)的運動直到回到初始位置，而非閉合的利薩如圖形成過程中，一個周期內(nèi)實心小圓在圖形軌跡的任意位置都經(jīng)過兩次。</p><p>　　5.2 利薩如圖隨相位差的動態(tài)變化</p><p>　　初值設(shè)置如圖(14)。</p><p>　　這里與前面動態(tài)利薩如圖的繪制的設(shè)置不同在于的設(shè)置。</p><p>　　讓相位差

39、的取值設(shè)定為(FRAME*2*)/20，F(xiàn)RAME的初值默認是0，就是說一開始相位差的值</p><p><b>　　圖(14)</b></p><p>　　a=0，我們讓幀從0變化到20的話，就會從0變化到2*。</p><p>　　接下來就是要制作動畫了，選擇MathCAD菜單欄中“查看→動畫”,設(shè)置FRAME 從0到20變化，幀的變化速率

40、為6幀每秒。</p><p>　　圖(15) 圖(16)</p><p>　　我們選擇動畫就可得到我們需要的動畫，以上兩圖分別是幀分別為3和8的瞬間圖 也就是相位差分別為為0.3 和0.8 的瞬間圖，選擇動畫就可以得到：動畫5 這里通過另存為，就可以保存動畫效果。</p><p>　　這里只是做了1：1的頻

41、率比的動畫，應(yīng)用相似的原理我們可以得到1：2，1：3，1：4等各種不同比例的動畫。</p><p>　　MathCAD在作一維，二維圖像處理中有非常卓越的功能，MathCAD在利薩如圖動態(tài)仿真中很出色，在實際應(yīng)用中，對于計算機知識了解不多的話，使用類似MathCAD軟件模擬是個很好的選擇，如果處理的仿真問題較復(fù)雜，我們必須編寫程序來實現(xiàn)。 </p><p>

42、;<b>　　6. 結(jié)束語</b></p><p>　　繪制利薩如圖先要理解簡諧振動的合成，熟悉利薩如圖的函數(shù)表達式，有了這個基礎(chǔ)后，依據(jù)本文的步驟，利用MathCAD軟件可以實現(xiàn)任意頻率比、相位差的靜態(tài)利薩如圖的繪制。動態(tài)利薩如圖的繪制的關(guān)鍵在于對幀(FRAME)的設(shè)置，把需要變化的圖形函數(shù)變量表達為幀的函數(shù)。</p><p><b>　　參考文獻<

43、;/b></p><p>　　[1] 鄧明森，《基于計算機仿真技術(shù)的氫原子電子云圖模型》，貴州教育學(xué)院學(xué)報 2005年4月，第16卷第2期</p><p>　　[2] 梁玉娟,《利用多媒體體制作利薩如圖形》,河池師專學(xué)報,2003.6第2期</p><p>　　[3] 漆安慎 杜嬋英 編著,《力學(xué)》,高等教育出版社,第九章 1997.5,第1版</p

44、><p>　　[4] 章禮華 程緒繹,《利薩如圖與相位關(guān)系的討論》,安慶師范學(xué)院學(xué)報,2001.11 第4期</p><p>　　[5] 韓山師范學(xué)院，《力學(xué)網(wǎng)絡(luò)課程》 第九章 簡諧振動的合成</p><p>　　[6] 侯杰 李曉偉,《利薩如圖的計算機模擬演示》黃淮學(xué)刊,1997.12 第4期</p><p>　　[7] 高中物理網(wǎng)，《利薩如

45、圖形》</p><p>　　[8] 王萬榮 黃巖中學(xué) 《用Excel獲取利薩如圖》 2005-04-24</p><p>　　[9] P.Ludwig,S.Kosse,V.Golubnychiy,etal.Tables of mesoscopic 3D[J] arXiu Physics/0409100</p><p>　　[10] 郝黎仁等編著 《Mathcad