碩士畢業(yè)論文范本

1、<p>　　分 類 號(hào)： N941.5 密 級(jí)： </p><p>　　學(xué)校代碼： 10638 學(xué) 號(hào)： 308070104013 </p><p>　　碩 士 學(xué) 位 論 文</p><p>　　GM(1,1)模型的優(yōu)化與一類強(qiáng)化緩

2、沖算子的構(gòu)造</p><p>　　姓 名 ******* </p><p>　　指 導(dǎo) 教 師 ******* 教授 </p><p>　　培 養(yǎng) 單 位 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 &

3、lt;/p><p>　　學(xué) 科 專 業(yè) 應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　研 究 方 向 不確定信息系統(tǒng)的預(yù)測(cè)與決策 </p><p>　　申請(qǐng)學(xué)位類別 理學(xué)碩士 </p><p>　　論文提交日期

4、 二○一一年四月 </p><p>　　論文答辯日期 二○一一年六月 </p><p>　　西華師范大學(xué)學(xué)位評(píng)定委員會(huì)</p><p><b>　　四川·南充</b></p><p><b>　　二○一一年

5、六月</b></p><p>　　Optimization of GM (1, 1) and a Kind of Practical Strengthening Buffer Operator</p><p>　　A Dissertation </p><p>　　Submitted to the Graduate Faculty </p>

6、<p>　　In Partial Fulfillment of the Requirement </p><p>　　For the Degree of Master of Natural Science</p><p><b>　　By</b></p><p>　　SUN Yan-na</p><p>　　

7、Supervised by</p><p>　　Professor WEI Yong</p><p><b>　　Major in </b></p><p>　　Applied Mathematics</p><p><b>　　In</b></p><p>　　Depart

8、ment of Mathematics and Information</p><p>　　China West Normal University</p><p>　　Nanchong, Sichuan Province, China</p><p><b>　　Jun, 2011</b></p><p><b&

9、gt;　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要II</b></p><p>　　AbstractIV</p><p><b>　　第1章 前言1</b></p><p>　　1.1 本課題的目的、意義1</p><p>　　1.2

10、論文的主要內(nèi)容2</p><p>　　第2章 灰建模及緩沖算子的基礎(chǔ)理論3</p><p>　　2.1 灰建模的基本原理3</p><p>　　2.2 緩沖算子的基本理論4</p><p>　　第3章 灰色GM(1,1)模型及緩沖算子的研究6</p><p>　　3.1 GM(1,1)模型的研究現(xiàn)狀

11、6</p><p>　　3.2 緩沖算子的研究現(xiàn)狀8</p><p>　　第4章 GM（1，1）模型建模方法的改進(jìn)9</p><p>　　4.1 優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)的等間距GM(1,1)9</p><p>　　4.2 優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)的非等間距GM(1,1)13</p><p>　　第5章 一類新的緩沖算子的構(gòu)造

12、及緩沖算子新定理19</p><p>　　5.1 一類新的實(shí)用強(qiáng)化緩沖算子的構(gòu)造19</p><p>　　5.2 緩沖算子新定理22</p><p>　　第6章 結(jié)論與展望25</p><p>　　6.1 全文總結(jié)25</p><p>　　6.2 研究展望26</p><p&g

13、t;<b>　　參考文獻(xiàn)27</b></p><p><b>　　致 謝ⅰ</b></p><p>　　關(guān)于學(xué)位論文使用授權(quán)的聲明ⅱ</p><p>　　關(guān)于學(xué)位論文原創(chuàng)性的聲明ⅲ</p><p>　　在學(xué)期間的科研情況ⅳ</p><p><b>　　摘

14、 要</b></p><p>　　GM（1，1）模型是灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)理論的基礎(chǔ)與核心[1]，它已被廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、工業(yè)、氣象、電力、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等領(lǐng)域。它將系統(tǒng)看成一個(gè)隨時(shí)間變化而變化的指數(shù)函數(shù)，不需要大量的時(shí)間序列數(shù)據(jù)就能夠建立預(yù)測(cè)模型，其計(jì)算簡(jiǎn)單已被普遍認(rèn)同。但是一方面灰色系統(tǒng)理論還存在一些缺陷，其模型精度有待進(jìn)一步提高，很多學(xué)者已在提高精度方面做了很多研究[3-7]。另一方面，由于現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)

15、往往因受到外界很多沖擊因素的干擾而失真，為了排除擾動(dòng)因素的作用，劉思峰教授開創(chuàng)了對(duì)波動(dòng)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的新領(lǐng)域，他針對(duì)級(jí)比漸趨穩(wěn)定的數(shù)據(jù)序列，提出了用滿足緩沖三公理的緩沖算子作用后進(jìn)行建模預(yù)測(cè)的新思路，眾多學(xué)者從不同的背景出發(fā)，提出了各種緩沖算子，大大提高了灰色預(yù)測(cè)建模精度，從而大大拓廣了灰色系統(tǒng)理論的應(yīng)用范圍。文獻(xiàn)[41]將緩沖算子的構(gòu)造與函數(shù)結(jié)合起來，為緩沖算子的構(gòu)造開辟了新方向，文獻(xiàn)[49]對(duì)緩沖算子公理進(jìn)行了補(bǔ)充，并構(gòu)造了變權(quán)緩沖算子。

16、</p><p>　　本選題在他們的工作的基礎(chǔ)上，主要研究成果如下：</p><p>　?。?）通過對(duì)不用一次累加而直接建模的等間距GM(1,1)模型的灰色微分方程中的灰導(dǎo)數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，提出了用（其中），代替原始灰色微分方程中的灰導(dǎo)數(shù)，同時(shí)用代替原始灰色微分方程中的背景值，得到新的灰色微分方程，從而獲得新模型，經(jīng)過嚴(yán)格理論驗(yàn)證該模型具有指數(shù)，系數(shù)，平移常數(shù)重合性。大量的數(shù)據(jù)模擬和模型比較結(jié)果

17、表明，優(yōu)化后的模型提高了背景值的準(zhǔn)確性以及灰預(yù)測(cè)模型的擬合精度和預(yù)測(cè)精度，且該模型既適合于低增長(zhǎng)指數(shù)序列建模，也適合于高增長(zhǎng)指數(shù)序列建模，同時(shí)也適合于非齊指數(shù)序列建模，可見新的建模方法大大提高了模型的模擬精度與預(yù)測(cè)精度，同時(shí)擴(kuò)大了模型的適用范圍。</p><p>　?。?）基于完全沿用等間距一次累加的原始非等間距模型精度不盡人意，但各種改進(jìn)非等間距模型一次累加表達(dá)式復(fù)雜、計(jì)算繁瑣這一基本事實(shí)，依據(jù)各種非等間距預(yù)測(cè)

18、表達(dá)式都具有數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)序列是時(shí)序指標(biāo)的齊次指數(shù)函數(shù)的共同特征，提出不涉及非等間距的一次累加表達(dá)式，更無需其計(jì)算值，直接建立非等間距灰色微分方程，同時(shí)優(yōu)化其灰導(dǎo)數(shù)，用序列擬合誤差平方和最小來尋求最佳初始條件，獲得了模擬預(yù)測(cè)精度較高的非等間距灰色預(yù)測(cè)模型。</p><p>　?。?）文獻(xiàn)[41]將緩沖算子的構(gòu)造與函數(shù)結(jié)合起來，為緩沖算子的構(gòu)造開辟了新方向，文獻(xiàn)[49]對(duì)緩沖算子公理進(jìn)行了補(bǔ)充，并構(gòu)造了變權(quán)緩沖算子。本選

19、題在他們的工作的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一類緩沖算子，整合了這些常用的緩沖算子，使得常用緩沖算子更一般化了，也更加靈活了。</p><p>　?。?）在現(xiàn)有灰色系統(tǒng)緩沖算子公理體系下，本文得到了以下結(jié)果：設(shè)為一強(qiáng)化（或弱化）緩沖算子，為系統(tǒng)原始行為數(shù)據(jù)序列，其緩沖序列為，均為單調(diào)函數(shù)，并具有相同的單調(diào)性，且滿足，，，其中,則無論為單調(diào)增長(zhǎng)序列，單調(diào)衰減序列還是振蕩序列， 均為強(qiáng)化（或弱化）緩沖算子。 </p>

20、<p>　　關(guān)鍵詞：灰色理論；GM（1，1）模型；模型的改進(jìn)；緩沖算子</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　GM (1, 1) is the foundation and core of grey system prediction theory [1-2]. And it has widely applied in

21、numerous fields, such as agriculture, industry, meteorology, electric power, economy, society and so on. It regards a system as the exponential function which changes with the time variation, and does not need the massiv

22、e time series data to establish the forecast model. The calculating simpleness for GM (1, 1) has been accepted by people. However, on the one hand, there are still some defic</p><p>　　In this paper, on the b

23、asis of their work, the work in this dissertation mainly consists of following parts:</p><p>　　(1) This paper presents a new method to establish the direct model through optimizing the grey derivative, repla

24、cing the derivative by and the background value by, then we get. The new model has been proven strictly to have the property of exponent, coefficient and translation constants superposition. The results of data simulat

25、ion and model comparison show that the improved model in this paper raises the accuracy of background value, the fitting precision and forecasting precision. Moreover, </p><p>　　(2)Based on the truth that th

26、e accuracy of the original non-equidistance model ,which completely adherence to 1-Ago of equidistance sequence ,is not satisfactory, but the 1-Ago expressions in the ways to improve the non-equidistance model are very c

27、omplex and the calculation is very complicated, according to a variety of non-equidistance expressions have the common features that forecast sequence is the homogeneous exponential function about timing indicator, this

28、paper proposes a method to esta</p><p>　　(3) Literature [41] connected the structure of buffer operator with functions, and opened a new direction for the structure of buffer operator .Literature [49] was su

29、pplemented for the buffer operator axioms, and constructed a variable weight buffer operator. This paper, on the basis of their work, constructs a class of buffer operator to integrate these common buffer operators, and

30、make the buffer operator is more general and commonly used, and also more flexible.</p><p>　　(4)Based on the present theories of buffer operators in grey system, the following results are obtained in this pa

31、per: Assume that is a Strengthening (or weakening) Buffer Operator, is a sequence of raw data, is a buffer sequence, are all monotonously functions, and have the same monotonicity,satisfying ，，，, then whenever is a mon

32、otonously increasing sequence, a monotonously decreasing sequence, or a vibration sequence, is a strengthening(or weakening) operator. </p><p>　　Key words: grey system theory; GM (1, 1); improvement of mode

33、l; buffer operators</p><p><b>　　第1章 前言</b></p><p>　　1.1 本課題的目的、意義</p><p>　　由于元素信息不完全，結(jié)構(gòu)信息不完全，邊界信息不完全，運(yùn)行行為信息不完全等造成的信息部不完全構(gòu)成了我們“灰”的基本含義。在人們的社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)、科研活動(dòng)以及日常生活中經(jīng)常會(huì)遇到信息不完全的情

34、況，隨著科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，如何更有效地提高篩選和處理信息的能力，已引起人們的高度重視。在對(duì)系統(tǒng)行為的研究過程中，由于內(nèi)在、外在因素的擾動(dòng)的存在和人們認(rèn)識(shí)事物水平的局限，使得人們所得到的信息以及對(duì)許多事物或系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)是不完全的，往往帶有某種不確定性。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展和人類社會(huì)的進(jìn)步，人們對(duì)不確定性系統(tǒng)的研究也日益深入，出現(xiàn)了一大批從不同角度、不同側(cè)面描述和處理各類不確定性信息的理論、方法和成果，如模糊數(shù)學(xué)、灰色系統(tǒng)理論、粗糙集

35、理論、未確知數(shù)學(xué)等。在自然界和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，不確定性問題普遍存在。針對(duì)“隨機(jī)不確定”現(xiàn)象，及服從某種典型分布的對(duì)象，可以用概率統(tǒng)計(jì)去解決；而對(duì)于“認(rèn)知不確定”問題，及內(nèi)涵明確，外延不明確的對(duì)象，可以用模糊數(shù)學(xué)去研究。然而，對(duì)于另外一類不確定性問題，即少數(shù)據(jù)、小樣本、貧信息的不確定性問題，概率統(tǒng)計(jì)、模糊數(shù)學(xué)就難以解決，灰色系統(tǒng)理論正好解決了這類難題，它的研究對(duì)象就是“部分信</p><p>　　1982年，我國學(xué)者

36、鄧聚龍教授的兩篇開創(chuàng)性論文“灰色系統(tǒng)的控制問題”和“灰色控制系統(tǒng)”的公開發(fā)表，標(biāo)志著灰色系統(tǒng)理論這一新興橫斷學(xué)科的問世。這一新理論收到國內(nèi)外學(xué)術(shù)界和廣大實(shí)際工作者的積極關(guān)注，許多學(xué)者開始以極大的熱情開展理論探索及其在不同領(lǐng)域的應(yīng)用研究工作。該理論在眾多科學(xué)領(lǐng)域中得到許多成功的應(yīng)用，贏得了國際學(xué)術(shù)界的肯定和關(guān)注。世界上有100多所大學(xué)，國內(nèi)外有很多出版機(jī)構(gòu)，國際權(quán)威行檢索機(jī)構(gòu)，許多重要國際會(huì)議等都對(duì)灰色系統(tǒng)理論給予了肯定，并對(duì)世界系統(tǒng)科學(xué)

37、界同行進(jìn)一步了解灰色系統(tǒng)理論起到了積極作用。</p><p>　　經(jīng)過近30年的發(fā)展，灰色系統(tǒng)理論已形成了以“灰”為研究對(duì)象，在“差異信息原理”、“解的非唯一性原理”、“最少信息原理”、“認(rèn)知根據(jù)原理”、“新信息優(yōu)先原理”、“灰性不滅原理”的基礎(chǔ)之上，建立起了一門新興許可的結(jié)構(gòu)體系。它的主要內(nèi)容包括以灰色代數(shù)系統(tǒng)、灰色方程、灰色矩陣等為基礎(chǔ)的理論體系，以灰色關(guān)聯(lián)空間為依托的分析體系，以灰色序列生成為基礎(chǔ)的方法體系

38、，以灰色模型（GM）為核心的模型體系，以系統(tǒng)分析、評(píng)估、建模、預(yù)測(cè)、決策、控制和優(yōu)化為主體的技術(shù)體系 [1-2]。</p><p>　　灰色模型作為灰色系統(tǒng)理論的模型體系的核心，已被廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、工業(yè)、氣象、電力、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等領(lǐng)域，并獲得了較為合理的研究結(jié)論，掌握了事物發(fā)展變化的規(guī)律，并為我們預(yù)測(cè)事物的發(fā)展趨勢(shì)提供了理論依據(jù)。GM（1，1）模型是灰色模型的基礎(chǔ)與核心，將系統(tǒng)看成一個(gè)隨時(shí)間變化而變化的指數(shù)函數(shù)，不

39、需要大量的時(shí)間序列數(shù)據(jù)就能夠建立預(yù)測(cè)模型，其計(jì)算簡(jiǎn)單已被普遍認(rèn)同。但是灰色系統(tǒng)理論還存在一些缺陷，其模型精度有待進(jìn)一步提高。另外由于現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)往往因受到外界很多沖擊因素的干擾而失真，為了排除擾動(dòng)因素的作用，劉思峰教授開創(chuàng)了對(duì)波動(dòng)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的新領(lǐng)域，他提出了用滿足緩沖三公理的緩沖算子作用后進(jìn)行建模預(yù)測(cè)的新思路?；疑A(yù)測(cè)模型的應(yīng)用范圍日趨廣泛，也成為了我們研究貧信息的不確定系統(tǒng)的重要方法，因而對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型及緩沖算子的研究具有較為重要的

40、學(xué)術(shù)意義和較為廣泛的應(yīng)用價(jià)值。</p><p>　　1.2 論文的主要內(nèi)容</p><p>　　本文共分六章。第一章是前言，介紹了灰色系統(tǒng)的發(fā)展?fàn)顩r和研究動(dòng)態(tài)；第二章介紹了灰建模的基本原理和緩沖算子的基本理論；第三章介紹了灰色GM（1，1）模型的研究現(xiàn)狀及緩沖算子的研究現(xiàn)狀；第四章通過對(duì)原始GM（1，1）模型的研究和分析，分別對(duì)等間距和非等間距的GM(1,1)模型作出了改進(jìn)和優(yōu)化；第五章通

41、過對(duì)現(xiàn)有緩沖算子的分析，構(gòu)造了一類新的實(shí)用強(qiáng)化緩沖算子，并得出了緩沖算子的新定理；最后一章結(jié)論主要對(duì)前五章的研究成果加以總結(jié)，并對(duì)未來的研究提出了展望。</p><p>　　第2章 灰建模及緩沖算子的基礎(chǔ)理論</p><p>　　2.1 灰建模的建模機(jī)理</p><p>　　研究一個(gè)系統(tǒng)，一般應(yīng)先建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而對(duì)系統(tǒng)的整體功能、協(xié)調(diào)功能以及系統(tǒng)各個(gè)因素之間

42、的關(guān)聯(lián)關(guān)系、因果關(guān)系、動(dòng)態(tài)關(guān)系進(jìn)行具體的量化研究。灰預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)有以下內(nèi)涵特點(diǎn)：序列性、少數(shù)據(jù)性、全新息性、時(shí)間傳遞性和灰因白果律。</p><p>　　2.1.1 等間距GM(1,1)模型的建模機(jī)理</p><p>　　先介紹兩種灰序列生成算子：</p><p>　　累加生成是使灰色過程由灰變白的一種方法，它在灰色系統(tǒng)理論中占有極其重要的地位。</p>

43、<p>　　累減生成是在獲取增量信息時(shí)常用的生成，累減生成對(duì)累加生成起還原作用。累減生成與累加生成是一對(duì)互逆的序列算子。</p><p>　　設(shè)為原始數(shù)據(jù)序列，則稱為的一次累加生成算子（記為1-AGO）；稱為的一次累減生成算子（記為1-IAGO）</p><p>　　GM(1,1)的灰微分方程模型的基本形式為，其中為灰導(dǎo)數(shù)，為發(fā)展系數(shù)，為白化背景值（），為灰作用量。若為參數(shù)列，

44、且，，則GM(1,1)模型的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足.</p><p>　　2.1.2 非等間距GM(1,1)模型的建模機(jī)理</p><p>　　定義1[1] 設(shè)序列，若間距，則稱是非等間距序列。</p><p>　　令為非等間距序列， ，則非等間距GM(1,1)定義型為</p><p><b>　　，其中，</b>&l

45、t;/p><p>　　2.2 緩沖算子的基礎(chǔ)理論</p><p>　　定義1[2] 設(shè)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，若</p><p>　　⑴ 若，，則稱為單調(diào)增長(zhǎng)序列；</p><p>　?、?若，，則稱為單調(diào)衰減序列；</p><p>　?、?若，有，，則稱為振蕩序列。令，，稱為序列的振幅。</p><p&g

46、t;　　定義2[2] 設(shè)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，為作用于的算子，經(jīng)過作用后記為，稱為序列算子，稱為一階算子作用序列。</p><p>　　序列算子作用可以多次進(jìn)行。相應(yīng)地，若都為序列算子，稱為二階算子作用序列，等等。</p><p>　　公理1[2] （不動(dòng)點(diǎn)公理）設(shè)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，為序列算子，則滿足。</p><p>　　公理2[2]（信息充分利用公理）系統(tǒng)行為數(shù)

47、據(jù)序列中的每一個(gè)數(shù)據(jù)，都應(yīng)充分參與算子作用的全過程。</p><p>　　公理3[2]（解析化、規(guī)范化公理）任意的，，都可以由一個(gè)統(tǒng)一的初等解析式表達(dá)。</p><p>　　公理4[49] （單調(diào)性不變公理）設(shè)經(jīng)序列算子作用后所得數(shù)據(jù)序列為，則序列與序列的單調(diào)性必須保持一致。</p><p>　　定義3滿足以上四公理的序列算子稱為緩沖算子，一階、二階、三階……緩沖算

48、子作用序列稱為一階、二階、三階……緩沖序列。</p><p>　　定義4[2] 設(shè)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，為緩沖算子，若滿足下列兩個(gè)條件，則稱緩沖算子為強(qiáng)化緩沖算子。</p><p>　?、?當(dāng)為單調(diào)增長(zhǎng)（單調(diào)衰減）序列時(shí)，緩沖序列比系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列的增長(zhǎng)率（衰減率）加快；</p><p>　?、?當(dāng)為振蕩序列時(shí)，緩沖序列比系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列的振幅大。</p>

49、<p>　　定理1[2] 設(shè)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，緩沖序列記為，那么</p><p>　?、?當(dāng)為單調(diào)增長(zhǎng)序列時(shí)，為強(qiáng)化緩沖算子，；</p><p>　　⑵ 當(dāng)為單調(diào)衰減序列時(shí)，為強(qiáng)化緩沖算子，；</p><p>　?、?當(dāng)為振蕩序列時(shí)，為強(qiáng)化緩沖算子則，。</p><p>　　從上述定理可以看出，單調(diào)增長(zhǎng)序列在強(qiáng)化算子作用下，數(shù)

50、據(jù)萎縮；單調(diào)衰減序列在強(qiáng)化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)膨脹。</p><p>　　第3章 灰色GM(1,1)模型及緩沖算子的研究</p><p>　　GM(1,1)模型的研究現(xiàn)狀</p><p>　　3.1.1 等間距GM(1,1)模型的研究現(xiàn)狀</p><p>　　鄧聚龍教授最先提出GM(1,1)的灰微分方程模型的基本形式為，其中為灰導(dǎo)數(shù)，為發(fā)展

51、系數(shù)，為白化背景值（），為灰作用量。若為參數(shù)列，且，，則GM(1,1)模型的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足.經(jīng)過眾多學(xué)者的分析和研究，GM(1,1)建模步驟中存在以下幾個(gè)問題：</p><p>　　第一，利用灰色微分方程求發(fā)展系數(shù)a,灰作用量b時(shí)，最小二乘法指標(biāo)函數(shù)不一定最合理，不一定是最優(yōu)的方法，可以尋求更合理的方法來處理參數(shù)列。</p><p>　　第二，利用白化微分方程求含a,b的響應(yīng)式，灰

52、色、白化微分方程本來不統(tǒng)一。</p><p>　　第三 : 利用初始條件求響應(yīng)式中的待定系數(shù)，時(shí)間操之過急, 選擇單一。</p><p>　　第四：灰色微分方程中導(dǎo)函數(shù)、原函數(shù)是近似,可以通過數(shù)學(xué)方法使得方程中的原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)更匹配。</p><p>　　根據(jù)以上幾個(gè)問題，很多學(xué)者做了研究，改進(jìn) GM(1,1)模型的建模方法主要有以下幾種：(1)求參數(shù)列的方法；

53、(2)改白化微分方程、改灰色微分方程、同時(shí)改白化和灰色微分方程、去白化微分方程，通過這些方法來實(shí)現(xiàn)灰色、白化微分方程的統(tǒng)一；(3) 對(duì)模型的初始條件進(jìn)行改進(jìn); （4）對(duì)背景值的改進(jìn)，優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)，或同時(shí)優(yōu)化這兩者，使得方程中的原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)更匹配。</p><p>　　陳友軍等人分析了最小二乘法指標(biāo)函數(shù)的不一定合理性，并提出了用關(guān)聯(lián)度最大作指標(biāo)函數(shù)來求參數(shù)列a，b。對(duì)微分方程的改進(jìn)上也有很多學(xué)者作了研究，這里主要介

54、紹下(3)，(4)兩種改進(jìn)途徑的研究現(xiàn)狀。 </p><p>　　(1)初始條件的改進(jìn)</p><p>　　通過對(duì)模型產(chǎn)生誤差的原因分析，有學(xué)者認(rèn)為將作為初始條件是不合理的，并有不少學(xué)者在這方面做了很多研究工作，對(duì)模型的初始條件的改進(jìn)方法主要有以下兩類：①根據(jù)灰色理論的新信息優(yōu)先原理，將最后一項(xiàng)即最新的數(shù)據(jù)作為灰色微分模型的初始條件[24]，在此基礎(chǔ)上，另有學(xué)者提出了

55、以任一項(xiàng)數(shù)據(jù)作為初始條件（即將m從1到n取值，對(duì)每一個(gè)值用GM（1，1）模型進(jìn)行一次預(yù)測(cè)，找出平均相對(duì)誤差最?。ɑ蛟谄渌u(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下）的模型對(duì)應(yīng)的m，令m對(duì)應(yīng)的為初始條件）[26]，②根據(jù)最小二乘法理論，有學(xué)者提出用模擬（預(yù)測(cè)）值與原始數(shù)據(jù)的誤差平方和最小來確定初始條件，通過對(duì)模型的初始條件的改進(jìn)，大大地降低了預(yù)測(cè)誤差。</p><p>　　(2)對(duì)背景值的改進(jìn)</p><p>　　經(jīng)過不少

56、學(xué)者的研究分析，原始灰色GM（1，1）模型中背景值與灰導(dǎo)數(shù)不完全匹配，背景值的構(gòu)造是產(chǎn)生誤差的主要原因，因此，不少學(xué)者對(duì)模型的背景值的改進(jìn)進(jìn)行了研究，主要有以下改進(jìn)方法：①運(yùn)用指數(shù)平滑法將原背景值優(yōu)化為：[18-26]，②羅黨等人做了更進(jìn)一步的改進(jìn)，對(duì)一階線性微分方程兩邊進(jìn)行積分，將原背景值優(yōu)化為：= [3]。通過對(duì)模型背景值的改進(jìn)，使得新模型不僅適用于低增長(zhǎng)序列同時(shí)適用于高增長(zhǎng)序列，而且模擬精度也大大提高了。</p>&

57、lt;p>　　(3)對(duì)灰導(dǎo)數(shù)的改進(jìn)</p><p>　　GM（1，1）模型的灰微分方程的基本形式是，是鄧聚龍教授在白化微分方程的基礎(chǔ)上，將離散點(diǎn)列在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)用差分形式來處理（即：），將背景值用來代替而得到的。然而，這樣的近似處理，使得GM（1，1）模型的模擬誤差較大，因此，很多學(xué)者對(duì)灰導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了研究和優(yōu)化：</p><p>　　文獻(xiàn)[5] 不用一次累加而直接建模，并提出了以向前差商和

58、向后差商的優(yōu)化加權(quán)平均值作為灰導(dǎo)數(shù)白化值建立GM (1, 1) 的方法，并證明了該法具有線性變換一致性。</p><p>　　3.1.2 非等間距GM(1,1)模型的研究現(xiàn)狀</p><p>　　GM (1 ,1) 模型模擬和預(yù)測(cè)精度主要取決于參數(shù)a 和b ,而參數(shù)a 和b 的值又依賴于背景值的構(gòu)造,因此,背景值成為直接影響GM(1 ,1) 模型模擬和預(yù)測(cè)精度的關(guān)鍵，而一次累加的定義直接

59、影響背景值的構(gòu)造。學(xué)者對(duì)非等間距GM (1 ,1) 模型的研究主要是對(duì)序列一次累加的定義的改進(jìn)：</p><p>　　（1）在文獻(xiàn)[38]中累加定義給出，實(shí)際上這里的可以理解為是將非等間距插值（以便利用等間距思路來處理非等間距問題），但它在插值的時(shí)候沒有考慮值的逐漸變化，而是采用了值的突變，這樣就給模型帶來了一定的誤差，也在一定程度上影響了灰色系統(tǒng)理論的應(yīng)用。</p><p>　?。?）文

60、獻(xiàn)[38]中的可以理解為是將非等間距插值（以便利用等間距思路來處理非等間距問題），但由于它在插值的時(shí)候沒有考慮值的逐漸變化，而是采用了值的突變，這樣就給模型帶來了一定的誤差，也在一定程度上影響了灰色系統(tǒng)理論的應(yīng)用，文獻(xiàn)[27]通過考慮值的逐漸變化來給出新的累加定義：</p><p>　　（3）當(dāng)原始數(shù)據(jù)經(jīng)過一次累加后，如果還不接近指數(shù)形式，我們應(yīng)當(dāng)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，使其接近指數(shù)形式，這樣才可能得到好的模擬效果，又因?yàn)?/p>

61、我們用指數(shù)形式進(jìn)行模擬，文獻(xiàn)[28]提出用對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，得到了新的一次累加定義</p><p>　　3.2 緩沖算子的研究現(xiàn)狀</p><p>　　由于現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)往往因受到外界很多沖擊因素的干擾而失真，為了排除擾動(dòng)因素的作用，劉思峰教授開創(chuàng)了對(duì)波動(dòng)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的新領(lǐng)域，他針對(duì)級(jí)比漸趨穩(wěn)定的數(shù)據(jù)序列，提出了用滿足緩沖三公理的緩沖算子作用后進(jìn)行建模預(yù)測(cè)的新思路，眾多學(xué)者從不同的背景出發(fā)

62、，提出了各種緩沖算子，大大提高了灰色預(yù)測(cè)建模精度，從而大大拓廣了灰色系統(tǒng)理論的應(yīng)用范圍。文獻(xiàn)[43]將緩沖算子的構(gòu)造與函數(shù)結(jié)合起來，為緩沖算子的構(gòu)造開辟了新方向，文獻(xiàn)[49]對(duì)緩沖算子公理進(jìn)行了補(bǔ)充，并構(gòu)造了變權(quán)緩沖算子。本文在他們的工作的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一類緩沖算子，整合了這些常用的緩沖算子，使得常用緩沖算子更一般化了，也更加靈活了。</p><p>　　第4章 GM（1，1）模型建模方法的改進(jìn)</p&g

63、t;<p>　　在本章里，作者對(duì)GM(1,1)模型進(jìn)行了深入研究，根據(jù)GM（1，1）模型的原理，找出影響模型精度及其適應(yīng)性的關(guān)鍵因素，并對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，提高了模型的精度，擴(kuò)大了模型的適用范圍，實(shí)例表明新模型具有較滿意的模擬和預(yù)測(cè)效果，具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際價(jià)值。</p><p>　　4.1優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)的等間距GM(1,1)</p><p>　　雖然文獻(xiàn)[3]、[4]、[7]從優(yōu)

64、化背景值的角度進(jìn)行改進(jìn)，使得白化微分方程與灰色微分方程更加匹配，大大提高了模型的精度，文獻(xiàn)[5]不用一次累加而直接建模，并提出了以向前差商和向后差商的優(yōu)化加權(quán)平均值作為灰導(dǎo)數(shù)白化值建立GM (1, 1) 的方法，但是根據(jù)GM（1，1）模型的原理，它將系統(tǒng)看成一個(gè)隨時(shí)間變化而變化的指數(shù)函數(shù)，本文通過對(duì)不用一次累加而直接建模的灰色微分方程中的灰導(dǎo)數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而優(yōu)化了GM(1 ,1) 模型,數(shù)據(jù)模擬和模型比較表明,與原GM (1,1) 模型

65、和文獻(xiàn)[7]中提出的優(yōu)化模型相比,本文優(yōu)化后的模型模擬精度有所提高，具有較高的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。</p><p>　　4.1.1 對(duì)灰導(dǎo)數(shù)的優(yōu)化</p><p>　　定理 1 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列，的1-IAGO序列為，若滿足指數(shù)形式=+，則與具有相同的指數(shù)。</p><p>　　證明：若滿足指數(shù)形式=+，則</p><p><b>　

66、　==+（+）</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　令,則=</b></p><p>　　若滿足齊次指數(shù)形式=,</p><p><b>　　==</b></p><p><b>　　=+，&

67、lt;/b></p><p>　　即與具有相同的指數(shù)。證畢！</p><p>　　上述定理說明離散指數(shù)函數(shù)與其經(jīng)一次累減生成的離散指數(shù)函數(shù)具有相同的指數(shù)。根據(jù)GM（1，1）模型的原理，它將系統(tǒng)看成一個(gè)隨時(shí)間變化而變化的指數(shù)函數(shù)，</p><p>　　定理2 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列, 則</p><p>　　1）若滿足非齊次指數(shù)形式，即=+，則，

68、 。令，寫成離散形式有；</p><p>　　2）若近似滿足指數(shù)形式，即+，令， 。令，寫成離散形式有。</p><p>　　4.1.2利用優(yōu)化的灰導(dǎo)數(shù)建模</p><p><b>　　灰色微分方程為</b></p><p><b>　　(1)</b></p><p><

69、;b>　　將代入(1)，有</b></p><p><b>　　整理得，</b></p><p><b>　　記，，則有</b></p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　(2)式的最小二乘估計(jì)參數(shù)序列為，其中，</p>&

70、lt;p>　　，。令，則，由此可得①式的最小二乘估計(jì)參數(shù)序列為。</p><p>　　白化微分方程的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為</p><p>　　灰色微分方程的時(shí)間響應(yīng)式為</p><p><b>　　， </b></p><p>　　定理 3 當(dāng)原始序列為=嚴(yán)格滿足指數(shù)函數(shù)形式的時(shí)候，由新灰色微分方程，其中, 和白化微分方

71、程（其中如2.2所述），組成的新GM(1,1)模型得到的模擬序列的指數(shù)，系數(shù)，平移常數(shù)與具有重合性。</p><p>　　證明：設(shè)原始序列為，則，則存在常數(shù)和,使灰色微分方程成立。因此</p><p>　　即當(dāng)原始序列滿足指數(shù)函數(shù)形式的時(shí)候，新GM(1,1)模型得到的模擬序列的指數(shù)，系數(shù)，平移常數(shù)與的指數(shù)，系數(shù)，平移常數(shù)具有重合性。證畢！</p><p>　　4.1

72、.3數(shù)據(jù)模擬與精度比較</p><p>　　例1 以標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)列取不同的發(fā)展系數(shù)生成不同原始數(shù)據(jù)，我們分別以文獻(xiàn)[4]的模型M1、文獻(xiàn)[7]的M2和本文的新GM(1,1)模型M3進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合并比較其精度。</p><p>　　我們分別取，得, 可得1，以表1的數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)，用本文新的GM(1,1)模型建模，并求出其平均絕對(duì)誤差和平均相對(duì)誤差。并與文獻(xiàn)[7]的結(jié)論進(jìn)行比較，得出表2</

73、p><p>　　由表2可以看出無論是從模型平均相對(duì)誤差還是平均絕對(duì)誤差來看，本文的新GM(1,1)都大大優(yōu)于其他模型。其實(shí)根本沒有模型誤差，只有因近似計(jì)算帶來的計(jì)算誤差。</p><p><b>　　表1: 原始數(shù)據(jù)</b></p><p>　　表2 : 三種優(yōu)化GM(1,1)模型的模擬誤差</p><p>　?。ㄗⅲ篗1,

74、 M2模型誤差來自文獻(xiàn)[7]）</p><p>　　例2 : 原始數(shù)據(jù)序列{ 2.7180,7.3883,20.0835,54.5925,148.3978,403.3870,1096.5} .這是一個(gè)高增長(zhǎng)的序列，我們分別以文獻(xiàn)[4]的模型M1、文獻(xiàn)[7]的M2和本文的新GM(1,1)模型M3進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合并比較其精度。以前5個(gè)數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬，以后2個(gè)數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)效果檢驗(yàn)，用本文新的GM(1,1)模型建模，

75、并求出其相對(duì)誤差。并與文獻(xiàn)[7]的結(jié)論進(jìn)行比較，得出表3，以原始數(shù)據(jù)建立模型可得</p><p><b>　　, ,</b></p><p>　　表3 模擬和預(yù)測(cè)精度表</p><p>　　（注：M1為文獻(xiàn)[4]建立的模型，M2為文獻(xiàn)[7]建立的模型，M3為本文的新模型）</p><p>　　由表3可以看出本文的新GM

76、(1,1)模型保持了較高的精度。相比而言，本文的新GM(1,1)模型無論是從模擬精度還是預(yù)測(cè)精度來看，都比文獻(xiàn)[7]高, 其模擬及預(yù)測(cè)精度幾乎達(dá)到100%.</p><p><b>　　4.1.4 總結(jié)</b></p><p>　　本文通過對(duì)GM(1,1)模型的灰導(dǎo)數(shù)進(jìn)行優(yōu)化分析，提出了通過優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)的一種直接建模法，得出新的GM(1,1)模型。經(jīng)過嚴(yán)格理論驗(yàn)證該模型

77、具有指數(shù)，系數(shù)，平移常數(shù)重合性，而且經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)序列和非標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)序列的數(shù)據(jù)的模擬、預(yù)測(cè)驗(yàn)證，優(yōu)化后的模型提高了灰微分方程和白化微分方程的吻合性以及灰預(yù)測(cè)模型的擬合精度和預(yù)測(cè)精度，并在保持原GM(1,1)模型計(jì)算簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，拓廣了其適應(yīng)范圍，該模型既適合用于低增長(zhǎng)指數(shù)序列建模，也適合用于高增長(zhǎng)指數(shù)序列建模，同時(shí)也適合于非齊指數(shù)序列建模!因此具有較高的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。</p><p>　　4.2優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)

78、的非等間距GM(1,1)</p><p>　　文獻(xiàn)[22,34,35]通過將序列的間距作為乘子而生成原始數(shù)據(jù)序列的一次累加序列，改進(jìn)了非等間距GM(1 ,1)模型預(yù)測(cè)模型;文獻(xiàn)[38]通過對(duì)一次累加生成序列開m次方,用背景值取代中心值,得到了一類基于中心逼近化的非等間距GM(1 ,1)模型預(yù)測(cè)模型。文獻(xiàn)[39，40]提出了非等間距GM (1 ,1) 模型的背景值的改進(jìn)方法,用齊次（非齊次）指數(shù)函數(shù)來擬合一次累加生

79、成序列,提出了一種背景值構(gòu)造的方法,獲得了較高的預(yù)測(cè)精度。但各種改進(jìn)非等間距模型一次累加表達(dá)式復(fù)雜、計(jì)算繁瑣,本文依據(jù)各種非等間距預(yù)測(cè)表達(dá)式都具有數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)序列是時(shí)序指標(biāo)的齊次指數(shù)函數(shù)的共同特征，提出不涉及非等間距的一次累加表達(dá)式，更無需其計(jì)算值，直接建立非等間距灰色微分方程，同時(shí)優(yōu)化其灰導(dǎo)數(shù)，用序列擬合誤差平方和最小來尋求最佳初始條件，獲得了模擬預(yù)測(cè)精度較高的非等間距灰色預(yù)測(cè)模型,并應(yīng)用實(shí)例表明本文提出方法的有效性。</p>

80、<p>　　4.2.1對(duì)灰導(dǎo)數(shù)的優(yōu)化</p><p>　　定義1[1] 設(shè)序列，若間距，則稱是非等間距序列。</p><p>　　由于原始數(shù)據(jù)序列是接近指數(shù)形式的非等間距序列，設(shè)=，曲線過兩點(diǎn)，，則有：</p><p><b>　　（1），（2）</b></p><p><b>　　由(2)/(1

81、)得</b></p><p>　　定理1設(shè)原始數(shù)據(jù)序列, 則</p><p>　　1）若滿足齊次指數(shù)形式，即，則， 。令，寫成離散形式有；</p><p>　　2）若近似滿足指數(shù)形式，即，令，。令，寫成離散形式有。</p><p>　　4.2.2初始條件的確定</p><p>　　白化微分方程的連續(xù)解為：（

82、其中為待定系數(shù)）。為了達(dá)到最佳的擬合效果，根據(jù)原值序列擬合誤差平方和最小來確定最佳系數(shù)：</p><p>　　顯然S是關(guān)于的函數(shù)，為求S最小時(shí)的值，令即可。</p><p><b>　　可得</b></p><p>　　4.2.3利用優(yōu)化的灰導(dǎo)數(shù)建模</p><p><b>　　灰色微分方程為</b>

83、;</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　?、偈降淖钚《斯烙?jì)參數(shù)序列為，其中，</p><p><b>　　，。</b></p><p>　　白化微分方程的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為</p><p>　　灰色微分方程的時(shí)間響應(yīng)式為</p><p&

84、gt;<b>　　， </b></p><p>　　定理 2 當(dāng)原始序列為嚴(yán)格滿足指數(shù)函數(shù)形式的時(shí)候，由新灰色微分方程，其中, 和白化微分方程，組成的新GM(1,1)模型得到的模擬序列的指數(shù)，系數(shù)與具有重合性。</p><p>　　證明：設(shè)原始序列為，則，則存在常數(shù)和,使灰色微分方程成立。因此</p><p>　　即當(dāng)原始序列滿足指數(shù)函數(shù)形式的

85、時(shí)候，新GM(1,1)模型得到的模擬序列的指數(shù)，系數(shù)與的指數(shù)，系數(shù)具有重合性。證畢！</p><p>　　4.2.4數(shù)據(jù)模擬與精度比較</p><p>　　例1[2] 表1：原始數(shù)據(jù)表</p><p>　　本例以原始的非等間距GM（1，1）模型為原模型，以文獻(xiàn)[2]的模型為模型[2]，記本文模型為新模型，得表2：</p

86、><p>　　表2：模型的模擬效果和相對(duì)誤差表</p><p>　　由例1可以看出本文的新模型不僅簡(jiǎn)化了模型的表達(dá)式，運(yùn)算簡(jiǎn)便，且大大提高了精度。</p><p>　　例2 [25] P.G 福雷斯研究了許多材料的長(zhǎng)壽命對(duì)稱循環(huán)下溫度對(duì)疲勞強(qiáng)度的影響。表3是鈦合金疲勞強(qiáng)度隨溫度變化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),這是一個(gè)非等間距序列。本文應(yīng)用文獻(xiàn)[25]的數(shù)據(jù),用本文提出的方法對(duì)其建立模型

87、并進(jìn)行精度比較得表4。</p><p>　　表3 　鈦合金疲勞強(qiáng)度隨溫度變化關(guān)系</p><p>　　表4：模型的模擬效果和相對(duì)誤差表</p><p>　　由表4可以看出，無論是從最大相對(duì)誤差還是平均相對(duì)誤差來看，本文的模型都要優(yōu)于文獻(xiàn)[11]的模型，而且本文簡(jiǎn)化了模型的表達(dá)式。</p><p><b>　　4.2.5總結(jié)</

88、b></p><p>　　本文依據(jù)各種非等間距預(yù)測(cè)表達(dá)式都具有數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)序列是時(shí)序指標(biāo)的齊次指數(shù)函數(shù)的共同特征，提出不涉及非等間距的一次累加表達(dá)式，更無需其計(jì)算值，直接建立非等間距灰色微分方程，同時(shí)優(yōu)化其灰導(dǎo)數(shù)，用序列擬合誤差平方和最小來尋求最佳初始條件，獲得了模擬預(yù)測(cè)精度較高的非等間距灰色預(yù)測(cè)模型。經(jīng)過嚴(yán)格理論驗(yàn)證該模型具有指數(shù)，系數(shù)重合性，而且經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)序列和非標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)序列的數(shù)據(jù)的模擬、預(yù)測(cè)驗(yàn)證，優(yōu)化后

89、的模型提高了灰微分方程和白化微分方程的吻合性以及灰預(yù)測(cè)模型的擬合精度和預(yù)測(cè)精度。不用一次累加而直接用原始數(shù)據(jù)建模，既簡(jiǎn)化了計(jì)算，又提高了精度，具有較高的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。</p><p>　　第5章 一類新的緩沖算子的構(gòu)造及緩沖算子新定理</p><p>　　5.1 一類新的實(shí)用強(qiáng)化緩沖算子的構(gòu)造</p><p>　　由于現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)往往因受到外界很多沖擊

90、因素的干擾而失真，為了排除擾動(dòng)因素的作用，劉思峰教授開創(chuàng)了對(duì)波動(dòng)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的新領(lǐng)域，他提出了用滿足緩沖三公理的緩沖算子作用后進(jìn)行建模預(yù)測(cè)的新思路，眾多學(xué)者從不同的背景出發(fā)，提出了各種緩沖算子，大大提高了灰色預(yù)測(cè)建模精度，從而大大拓廣了灰色系統(tǒng)理論的應(yīng)用范圍。文獻(xiàn)[41]將緩沖算子的構(gòu)造與函數(shù)結(jié)合起來，為緩沖算子的構(gòu)造開辟了新方向，文獻(xiàn)[49]對(duì)緩沖算子公理進(jìn)行了補(bǔ)充，并構(gòu)造了變權(quán)緩沖算子。本文在他們的工作的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一類緩沖算子，整合

91、了這些常用的緩沖算子，使得常用緩沖算子更一般化了，也更加靈活了。</p><p>　　5.1.1一類新的緩沖算子的構(gòu)造</p><p>　　定理5.1.1 設(shè) 為系統(tǒng)原始行為數(shù)據(jù)序列，，，其緩沖序列為，其中， 且均為單調(diào)函數(shù)，并具有相同的單調(diào)性，且滿足，則無論為單調(diào)增長(zhǎng)序列，單調(diào)衰減序列還是振蕩序列，均為強(qiáng)化緩沖算子。</p><p>　　證明：顯然滿足緩沖算子四公

92、理，故為緩沖算子。</p><p>　　設(shè)均為單調(diào)遞增函數(shù)，</p><p>　　（1）當(dāng)為單調(diào)增長(zhǎng)序列時(shí)，則</p><p>　　，因?yàn)?，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因?yàn)樗?lt;/b></p><

93、;p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而</b></p><p>　　因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以</p><p>　　，即對(duì)單調(diào)增長(zhǎng)序列為強(qiáng)化緩沖算子。</p><p>　?。?）當(dāng)為單調(diào)衰減序列，則，因?yàn)?，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以</p><p>&l

94、t;b>　　，</b></p><p><b>　　因?yàn)樗?lt;/b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而</b></p><p>　　因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以</p><p>　　，即對(duì)單調(diào)增長(zhǎng)序列

95、為強(qiáng)化緩沖算子。</p><p>　　（3）當(dāng)為振蕩序列時(shí)，設(shè)</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　因?yàn)?，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以</p><p><b>　　，</b></p>

96、<p><b>　　因?yàn)樗?lt;/b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而</b></p><p>　　因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以</p><p><b>　　，</b></p><p>

97、　　即對(duì)振蕩序列為強(qiáng)化緩沖算子。</p><p>　　同理可證，當(dāng)均為單調(diào)遞減函數(shù)時(shí)，無論為單調(diào)增長(zhǎng)序列，單調(diào)衰減序列還是振蕩序列，均為強(qiáng)化緩沖算子。</p><p><b>　　5.1.2 應(yīng)用</b></p><p>　　定理5.1.2取定理5.1.1中的，即 ， 且 則當(dāng)為單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，無論為單調(diào)增長(zhǎng)序列，單調(diào)衰減序列還是振蕩序列，均為

98、強(qiáng)化緩沖算子。</p><p>　　定理5.1.3 當(dāng)取定理5.1.2中的則為單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，是強(qiáng)化緩沖算子。</p><p>　　定理5.1.4 當(dāng)取定理5.1.1中的取作的反函數(shù)，為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，即是強(qiáng)化緩沖算子，這便是文獻(xiàn)[41]中的定理2.</p><p>　　定理5.1.5當(dāng)取定理5.1.1中的取作的反函數(shù)，為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則為單調(diào)增長(zhǎng)序列或單調(diào)衰減序列時(shí)

99、，是強(qiáng)化緩沖算子，這便是文獻(xiàn)[41]中的定理3.</p><p>　　推論5.1.1當(dāng)定理5.1.3中的時(shí)</p><p>　　是強(qiáng)化緩沖算子,這便是文獻(xiàn)[47]中的定理4.</p><p>　　推論5.1.2當(dāng)取定理5.1.1中的時(shí)，則為單調(diào)增長(zhǎng)序列或單調(diào)衰減序列時(shí)， 是強(qiáng)化緩沖算子,這便是文獻(xiàn)[47]中的定理5.</p><p>　　推論

100、5.1.3 取定理5.1.2中的，則是強(qiáng)化緩沖算子。這便是文獻(xiàn)[49]中的定理4.</p><p>　　5.1.3 結(jié) 語</p><p>　　本文將緩沖算子的構(gòu)造與函數(shù)聯(lián)系起來，構(gòu)造了一類新的實(shí)用強(qiáng)化緩沖算子。由于只要求函數(shù)為單調(diào)（遞增或遞減）而非嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，這樣的函數(shù)隨手可得，一次可以構(gòu)造一大類緩沖算子，為解決擾動(dòng)數(shù)據(jù)序列的建模提供了很多選擇，有一定的實(shí)用價(jià)值。</p&g

101、t;<p>　　5.2 緩沖算子新定理</p><p>　　定理5.2.1設(shè)為一強(qiáng)化緩沖算子，為系統(tǒng)原始行為數(shù)據(jù)序列，其緩沖序列為，均為單調(diào)函數(shù)，并具有相同的單調(diào)性，且滿足，，，其中,則無論為單調(diào)增長(zhǎng)序列，單調(diào)衰減序列還是振蕩序列， 均為強(qiáng)化緩沖算子。</p><p>　　證明：顯然滿足緩沖算子公理2和公理3。</p><p>　　設(shè) 均為單調(diào)遞增函

102、數(shù)，</p><p>　?。?）當(dāng)為單調(diào)增長(zhǎng)序列時(shí)，則</p><p>　　因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以</p><p><b>　　，</b></p><p>　　因?yàn)闉橐粡?qiáng)化緩沖算子，所以</p><p><b>　　，</b></p><p><

103、;b>　　且</b></p><p>　　因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以</p><p><b>　　（公理4），</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　即且（公理1）</b></p><p>　　故對(duì)單

104、調(diào)增長(zhǎng)序列為強(qiáng)化緩沖算子。</p><p>　?。?）當(dāng)為單調(diào)衰減序列，則，</p><p>　　因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以</p><p><b>　　，</b></p><p>　　因?yàn)闉橐粡?qiáng)化緩沖算子，所以</p><p><b>　　，</b></p>&

105、lt;p><b>　　且</b></p><p>　　因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以</p><p><b>　　（公理4），</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　即且（公理1）</b></p><

106、;p>　　故對(duì)單調(diào)衰減序列為強(qiáng)化緩沖算子。</p><p>　?。?）當(dāng)為振蕩序列時(shí)，設(shè)</p><p><b>　　， ，</b></p><p>　　同理于（1），（2）的證明，滿足公理1和公理4，故為緩沖算子。</p><p>　　因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以也為振蕩序列，且</p><p&g

107、t;<b>　　， </b></p><p>　　因?yàn)闉橐粡?qiáng)化緩沖算子，所以</p><p><b>　　，</b></p><p>　　因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即，<

108、/b></p><p>　　故對(duì)振蕩序列為強(qiáng)化緩沖算子。</p><p>　　同理可證，當(dāng)均為單調(diào)遞減函數(shù)時(shí)，無論為單調(diào)增長(zhǎng)序列，單調(diào)衰減序列還是振蕩序列，均為強(qiáng)化緩沖算子。</p><p>　　定理5.2.2 設(shè)為一弱化緩沖算子，為系統(tǒng)原始行為數(shù)據(jù)序列，其緩沖序列為，均為單調(diào)函數(shù)，并具有相同的單調(diào)性，且滿足，，，其中則無論為單調(diào)增長(zhǎng)序列，單調(diào)衰減序列還是振蕩

109、序列， 均為弱化緩沖算子。</p><p>　　上述性質(zhì)的證明過程與性質(zhì)1的證明類似, 略。</p><p>　　作者將緩沖算子的構(gòu)造與函數(shù)聯(lián)系起來，構(gòu)造了一類新的實(shí)用緩沖算子。由于只要求函數(shù)為單調(diào)（遞增或遞減），這樣的函數(shù)隨手可得，已有的任何一個(gè)緩沖算子（無論強(qiáng)化還是弱化）都可以得到一大類緩沖算子，為解決擾動(dòng)數(shù)據(jù)序列的建模提供了很多選擇，有一定的實(shí)用價(jià)值。</p><

110、p>　　第6章 結(jié)論與展望</p><p><b>　　6.1 全文總結(jié)</b></p><p>　　本選題研究的對(duì)象是GM(1,1)預(yù)測(cè)和緩沖算子的構(gòu)造。通過對(duì)GM(1,1)模型的優(yōu)化，拓廣其應(yīng)用范圍,同時(shí)提高了精度。通過分析現(xiàn)有緩沖算子的不足，構(gòu)建一類強(qiáng)化緩沖算子,擴(kuò)大了此類強(qiáng)化緩沖算子的范圍，并研究了緩沖算子的新定理，為沖擊擾動(dòng)序列建模的數(shù)據(jù)處理提供了更

111、多的選擇。</p><p><b>　　主要做了以下工作：</b></p><p>　?。?）通過對(duì)不用一次累加而直接建模的等間距GM(1,1)模型的灰色微分方程中的灰導(dǎo)數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，提出了用（其中），代替原始灰色微分方程中的灰導(dǎo)數(shù)，同時(shí)用代替原始灰色微分方程中的背景值，得到新的灰色微分方程，從而獲得新模型，經(jīng)過嚴(yán)格理論驗(yàn)證該模型具有指數(shù)，系數(shù)，平移常數(shù)重合性。大量的數(shù)

112、據(jù)模擬和模型比較結(jié)果表明，優(yōu)化后的模型提高了背景值的準(zhǔn)確性以及灰預(yù)測(cè)模型的擬合精度和預(yù)測(cè)精度，且該模型既適合于低增長(zhǎng)指數(shù)序列建模，也適合于高增長(zhǎng)指數(shù)序列建模，同時(shí)也適合于非齊指數(shù)序列建模，可見新的建模方法大大提高了模型的模擬精度與預(yù)測(cè)精度，同時(shí)擴(kuò)大了模型的適用范圍。</p><p>　?。?）基于完全沿用等間距一次累加的原始非等間距模型精度不盡人意，但各種改進(jìn)非等間距模型一次累加表達(dá)式復(fù)雜、計(jì)算繁瑣這一基本事實(shí)，

113、依據(jù)各種非等間距預(yù)測(cè)表達(dá)式都具有數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)序列是時(shí)序指標(biāo)的齊次指數(shù)函數(shù)的共同特征，提出不涉及非等間距的一次累加表達(dá)式，更無需其計(jì)算值，直接建立非等間距灰色微分方程，同時(shí)優(yōu)化其灰導(dǎo)數(shù)，用序列擬合誤差平方和最小來尋求最佳初始條件，獲得了模擬預(yù)測(cè)精度較高的非等間距灰色預(yù)測(cè)模型。</p><p>　?。?）文獻(xiàn)[41]將緩沖算子的構(gòu)造與函數(shù)結(jié)合起來，為緩沖算子的構(gòu)造開辟了新方向，文獻(xiàn)[49]對(duì)緩沖算子公理進(jìn)行了補(bǔ)充，并構(gòu)造

114、了變權(quán)緩沖算子。本選題在他們的工作的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一類緩沖算子，整合了這些常用的緩沖算子，使得常用緩沖算子更一般化了，也更加靈活了。</p><p>　?。?）在現(xiàn)有灰色系統(tǒng)緩沖算子公理體系下，本文得到了以下結(jié)果：設(shè)為一強(qiáng)化（或弱化）緩沖算子，為系統(tǒng)原始行為數(shù)據(jù)序列，其緩沖序列為，均為單調(diào)函數(shù)，并具有相同的單調(diào)性，且滿足，，，其中,則無論為單調(diào)增長(zhǎng)序列，單調(diào)衰減序列還是振蕩序列， 均為強(qiáng)化（或弱化）緩沖算子。 &