概括公理與新弗雷格主義.pdf

1、弗雷格被稱為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人和分析哲學(xué)的奠基人,但他本人主要從事的工作是邏輯主義,即把算術(shù)還原為邏輯,從而通過邏輯的分析性和先天性來保證算術(shù)的分析性和先天性;然而,羅素悖論的出現(xiàn)摧毀了邏輯主義方案。羅素悖論根源于二階邏輯的概括公理與公理V的不一致性。近年來,新弗雷格主義發(fā)現(xiàn),被弗雷格放棄的休謨原則與概括公理是一致的,并且從休謨原則和二階邏輯可以推出皮亞諾算術(shù)公理,即所謂的弗雷格定理。新弗雷格主義認為,如果放棄不一致的公理 V轉(zhuǎn)而訴諸休謨

2、原則,則可以在某種程度上實現(xiàn)弗雷格的邏輯主義。
　　本文從根本上反對新弗雷格主義的做法。公理 V在弗雷格的系統(tǒng)中具有不可取代的地位,為了避免悖論而放棄公理 V的做法是不可行的。休謨原則面臨來自兩個方面的批評,即凱撒問題和良莠不齊反駁。本文的工作主要圍繞二階邏輯的概括公理與新弗雷格主義之間的關(guān)系展開。具體包括以下三個方面的工作。
　　歷史性工作。本文詳細梳理了在《概念文字》、《算術(shù)基礎(chǔ)》和《算術(shù)基本規(guī)律》三部著作中的技術(shù)性內(nèi)容

3、,并且在重視原意的基礎(chǔ)上,按照現(xiàn)代邏輯的記法重新表述了這些內(nèi)容。弗雷格在《概念文字》中給出了二階邏輯的公理系統(tǒng),其中概括公理被表述為代入規(guī)則。根據(jù)代入規(guī)則,可以把二階變元例示為復(fù)雜公式,由此可以給出數(shù)學(xué)歸納法的證明。弗雷格在《算術(shù)基礎(chǔ)》中提出了數(shù)概念的形式定義,即休謨原則。憑借休謨原則給出的數(shù)的定義以及依賴于代入規(guī)則的數(shù)學(xué)歸納法,他證明了后繼公理。弗雷格在《算術(shù)基本規(guī)律》中提出了值域概念的形式定義,即公理 V。公理 V反映了邏輯主義的實

4、質(zhì):把算術(shù)還原為邏輯的過程就是把高層概念還原為外延并且把多元關(guān)系還原為一元概念的過程。
　　哲學(xué)性工作。弗雷格本人由于凱撒問題而放棄了休謨原則。凱撒問題的焦點在于如何區(qū)分抽象對象和具體對象。凱撒問題是一個混合問題,它包含了三個小問題:什么是數(shù)的同一性標準?什么是只有數(shù)落在其中的概念?如何確定作為對象的數(shù)的存在性?雖然從現(xiàn)代邏輯的角度看,凱撒問題并不是弗雷格定理的技術(shù)性障礙,但是按照弗雷格的量化觀,如果不能確定凱撒是不是一個數(shù),則不

5、能合理地說明數(shù)的獨立自存性。有人認為,公理 V也面臨凱撒問題,即如何確定凱撒是不是一個外延。本文重新考量了弗雷格關(guān)于公理和定義論述、關(guān)于同一性和自明性的論述以及關(guān)于概念和邏輯對象的論述,在此基礎(chǔ)上說明,雖然休謨原則不能解決關(guān)于數(shù)的存在性問題,但是在概括公理的幫助下,公理 V可以解決關(guān)于外延的存在性問題。由此說明,相比于休謨原則,公理V具有不可取代的優(yōu)越性。
　　技術(shù)性工作。既然公理V的地位是不可動搖的,并且悖論來源于公理V和概括公

6、理的不一致性,所以避免悖論的出路就在于限制概括公理。在回顧以往直謂概括公理的利弊得失后,本文提出了正概括公理、模態(tài)概括公理和弗協(xié)調(diào)概括公理。主要證明了以下結(jié)論。公理V與正概括公理是一致的,并且二者可以解釋Robinson算術(shù)。在增加某些公理的前提下,可以從公理V和正概括公理推出后繼公理。模態(tài)公理V和模態(tài)概括公理是一致的,并且二者也可以解釋Robinson算術(shù)。雖然從模態(tài)公理V和模態(tài)概括公理可以推出某種版本的休謨原則,但是無法從這個版本的