矩陣恢復(fù)算法及誤差分析.pdf

1、壓縮傳感(Compressed Sensing)理論是在已知信號具有稀疏性或可壓縮性的條件下,對信號數(shù)據(jù)進(jìn)行采集、編解碼的新理論.在壓縮傳感中,要恢復(fù)的目標(biāo)是一個向量,而在很多實際問題中,例如圖像修復(fù)、Netflix問題等等,待恢復(fù)的目標(biāo)通常都是用矩陣來表示的,使得對數(shù)據(jù)的理解、建模、處理和分析更為方便.然而這些數(shù)據(jù)經(jīng)常面臨缺失、損失、受噪聲污染等問題.如何在這種情形下得到準(zhǔn)確的數(shù)據(jù),就是矩陣恢復(fù)(Matrix Recovery)所要解

2、決的問題.
　　本文圍繞矩陣恢復(fù)問題中模型的建立、算法的設(shè)計、誤差分析這三個核心問題,對矩陣恢復(fù)問題的基本理論和主要方法進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述.首先,介紹矩陣恢復(fù)的研究背景、意義及研究現(xiàn)狀.歸納已有的矩陣恢復(fù)模型及模型求解方法,總結(jié)其優(yōu)缺點,在此基礎(chǔ)上提出矩陣elastic-net正則化模型.其次,對矩陣elastic-net正則化模型的解及解的性質(zhì)進(jìn)行研究.構(gòu)造算法對模型進(jìn)行求解,并對算法的收斂性進(jìn)行分析.另外,在不同的假設(shè)條件下分別

3、討論矩陣恢復(fù)模型的推廣誤差界.最后,給出矩陣恢復(fù)算法的一致β-穩(wěn)定性條件,并通過實驗驗證算法的有效性及解的穩(wěn)定性.
　　論文的主要內(nèi)容及結(jié)果如下:
　　(1)低秩矩陣恢復(fù)問題中,通常的算法通過最小化矩陣核范數(shù)來達(dá)到低秩解,然而這些算法當(dāng)數(shù)據(jù)的相關(guān)性非常強(qiáng)時通常會遇到不穩(wěn)定的情況.論文通過在目標(biāo)函數(shù)中加入矩陣的Frobenius范數(shù),考慮矩陣elastic-net正則化模型,有效地解決了這種不穩(wěn)定的問題.并且,利用凸優(yōu)化中近鄰

4、算子的概念及相關(guān)性質(zhì)推導(dǎo)出矩陣elastic-net正則化模型的解所滿足的不動點方程,構(gòu)造不動點迭代算法尋找模型的解,證明了迭代算法的解收斂到矩陣elastic-net正則化模型的解.
　　(2)在矩陣RIP(Restricted Isometry Property)假設(shè)下分析矩陣elastic-net正則化模型的誤差界.給出矩陣RIP假設(shè)的定義,及一些滿足矩陣 RIP的算子A的例子,證明了矩陣elastic-net正則化模型的誤

5、差界正比于噪聲水平和矩陣自由度的乘積,并將結(jié)果推廣到滿秩矩陣的情形.
　　(3)從統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論的角度出發(fā),在算子假設(shè)條件下,全面分析矩陣恢復(fù)算法的收斂性及推廣性.將矩陣恢復(fù)問題描述成一個學(xué)習(xí)問題,定義一組Hilbert-Schmidt算子,利用算子逼近技術(shù)推導(dǎo)出矩陣elastic-net正則化模型的推廣誤差界,并給出一種自適應(yīng)的正則化參數(shù)選取方法.
　　(4)對算法的穩(wěn)定性進(jìn)行研究,考慮矩陣恢復(fù)算法的一致β-穩(wěn)定性條件,給出