波動(dòng)方程特征值問(wèn)題的新型超收斂有限元分析方法.pdf

1、有限元方法是目前結(jié)構(gòu)分析領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛的一種數(shù)值方法。自振頻率計(jì)算作為結(jié)構(gòu)分析中的一個(gè)重要內(nèi)容，可歸結(jié)為典型的特征值問(wèn)題，例如:一維波動(dòng)方程可描述桿結(jié)構(gòu)振動(dòng)，其特征值為桿結(jié)構(gòu)自振頻率;二維波動(dòng)方程可描述膜結(jié)構(gòu)振動(dòng)，相應(yīng)的特征值為膜結(jié)構(gòu)自振頻率;三維波動(dòng)方程可描述聲壓在空間中的傳播，其特征值為聲壓的振動(dòng)頻率。采用有限元法求解波動(dòng)方程特征值問(wèn)題時(shí)，質(zhì)量矩陣的構(gòu)造方法會(huì)直接影響振動(dòng)頻率的計(jì)算精度。因而，如何構(gòu)造可使自振頻率有更高收斂階次及精

2、度的高階質(zhì)量矩陣具有重要的研究?jī)r(jià)值。然而，目前的高階質(zhì)量矩陣多限于一維和二維低階單元，并且二維高階質(zhì)量矩陣所得頻率計(jì)算精度依賴(lài)于波的傳播方向，不能同時(shí)提高各階頻率的收斂階次及精度。此外，目前對(duì)于任意階單元并沒(méi)有統(tǒng)一的高階質(zhì)量矩陣構(gòu)造方法。
　　本文針對(duì)波動(dòng)方程特征值問(wèn)題有限元分析，提出了一種適用于任意階單元和維數(shù)的新型超收斂有限元分析方法。首先，在Lobatto單元的基礎(chǔ)上提出了任意階一維桿單元高階質(zhì)量矩陣的統(tǒng)一構(gòu)造方法。該方法采

3、用了一種新的質(zhì)量矩陣構(gòu)造模式—α矩陣，通過(guò)優(yōu)化參數(shù)α可直接構(gòu)造任意階Lobatto桿單元的高階質(zhì)量矩陣。相較于傳統(tǒng)的一致質(zhì)量矩陣和集中質(zhì)量矩陣，采用高階質(zhì)量矩陣的頻率計(jì)算精度可以提高2階。隨后，對(duì)于二維平面膜結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題和三維波動(dòng)問(wèn)題，提出了一種基于積分點(diǎn)的新型超收斂有限元分析方法，該方法中采用的新型積分點(diǎn)是通過(guò)對(duì)比分析一維高階質(zhì)量矩陣確定的。本文提出的新型超收斂有限元分析方法完全消除了超收斂計(jì)算中頻率的波動(dòng)方向依賴(lài)性，可使任意階頻率的