綜合性樣條基的基本嚴(yán)格全正性.pdf

1、將樣條基函數(shù)用以工業(yè)曲線曲面的設(shè)計(jì)過(guò)程中，關(guān)注兩方面的問(wèn)題。一方面要考慮樣條基函數(shù)的構(gòu)造，為不同類(lèi)型的造型曲線設(shè)計(jì)出滿足需求的樣條基函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，如果能為不同的樣條基給予統(tǒng)一的表示形式，則更方便統(tǒng)一的幾何造型系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)。另一方面要從理論層面上考慮基函數(shù)的性質(zhì)，從而進(jìn)一步考慮哪些性質(zhì)將對(duì)哪些造型需求產(chǎn)生直接的影響，以在造型的需求中加以控制，實(shí)現(xiàn)靈活造型的目的。本文圍繞著兩個(gè)主題進(jìn)行討論，主要介紹如下四方面成果:
　　(1)證明了

2、綜合性樣條基的全正性，給定了綜合性樣條配置矩陣的二對(duì)角分解形式。進(jìn)一步，討論了全正性與曲線造型保形性之間的關(guān)系，證明綜合性樣條基是一組具有最優(yōu)保形特性的B基。
　　樣條基的全正性與曲線造型的保形性關(guān)系密切，從代數(shù)學(xué)的角度來(lái)證明樣條基的全正性，理論較為復(fù)雜且缺少直觀意義。早有研究指出，全正矩陣一定可以分解為一組二對(duì)角矩陣的乘積形式，然而對(duì)于非方形全正矩陣并沒(méi)有給出明確的分解形式。本文利用嵌入節(jié)點(diǎn)算法，推導(dǎo)出綜合性樣條基函數(shù)的配置矩陣

3、可以分解為一系列二對(duì)角矩陣的乘積，從而證明其具有全正性，證明方法是直觀的、幾何的和初等的。進(jìn)一步，討論了它的保形性，證明了綜合性樣條基是一組具有最優(yōu)保形性的B基。
　　(2)對(duì)綜合性樣條函數(shù)的零點(diǎn)分布和零點(diǎn)特征進(jìn)行了分析，討論了交差數(shù)與零點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系，并給出一元綜合性樣條函數(shù)的零點(diǎn)的界限。
　　關(guān)于多項(xiàng)式函數(shù)的零點(diǎn)分析是一項(xiàng)重要的基礎(chǔ)的理論工作，并取得了多項(xiàng)成果。對(duì)應(yīng)地，關(guān)于包括多項(xiàng)式樣條函數(shù)在內(nèi)的綜合性樣條基的零點(diǎn)分析問(wèn)

4、題具有同樣的研究?jī)r(jià)值。我們利用綜合性樣條基的嵌入節(jié)點(diǎn)算法為工具，討論了零點(diǎn)數(shù)與變差數(shù)之間的關(guān)系，分析出無(wú)交差零點(diǎn)的分割作用，最后推導(dǎo)出在綜合性樣條空間上類(lèi)似于Descartes定理的結(jié)論。
　　(3)證明了綜合性樣條基的基本嚴(yán)格全正性，并由其等價(jià)推導(dǎo)出綜合性樣條基的插值適定性條件，為綜合性樣條的插值應(yīng)用提供理論依據(jù)。
　　基本嚴(yán)格全正性是介于全正性與嚴(yán)格全正性之間的一個(gè)概念，它比全正性的概念更為完備。我們將它從代數(shù)學(xué)的概念中

5、遷移到對(duì)基函數(shù)配置矩陣的描述中，嚴(yán)格定義一組基函數(shù)的基本嚴(yán)格全正性，該性質(zhì)對(duì)于配置矩陣的特點(diǎn)描述是直觀的?；趯?duì)綜合性樣條函數(shù)進(jìn)行零點(diǎn)分析得到的結(jié)果，利用嵌入節(jié)點(diǎn)算法作為工具，直觀地證明了綜合性樣條基函數(shù)具有基本嚴(yán)格全正性，其證明過(guò)程是本原的，且可以等價(jià)推導(dǎo)出綜合性樣條插值的適定性條件，為空間散亂點(diǎn)插值的應(yīng)用提供了理論依據(jù)。
　　(4)構(gòu)造出了新的綜合范圍更廣的綜合性樣條基，通過(guò)構(gòu)造含可調(diào)參數(shù)的頻率函數(shù)，得到包括代數(shù)指數(shù)混合空間在