非局部理論下納米結構動力行為的辛方法.pdf

1、隨著我國材料科學的發(fā)展，具有良好的光、電、磁、熱、機械等物理化學特性的碳納米材料已經廣泛應用于微納米機電結構的制造中，如碳納米管，石墨烯等。該類納觀尺度材料與宏觀材料相比，具有更好的動力學性能，如高自振頻率、高屈曲臨界荷載等。然而，由于尺度效應的影響，傳統的宏觀結構分析方法無法正確分析碳納米材料的動力特性，現有的實驗和計算方法受到各方面的限制無法計算復雜的或規(guī)模較大的結構。因此，研究碳納米材料的動力學行為具有重要的理論和實際意義。本博士

2、論文針對納機電系統中的兩類重要元器件（納米梁、納米板）的振動行為展開研究，基于傳統連續(xù)介質力學、非局部理論和哈密頓力學辛方法提出一種求解碳納米材料或結構自由振動頻率和模態(tài)的解析方法。
　　研究工作首先以傳統彈性理論和非局部理論相結合的方式，將碳納米架構為包含尺寸效應的連續(xù)介質力學模型。其次，通過引入基本位移變量的對偶變量，將問題從傳統拉格朗日求解體系轉換到全新的哈密頓求解體系，并獲得哈密頓正則方程（控制方程）以及相應的邊界條件。最

3、后，利用分離變量法求解控制方程，將原問題歸結為辛空間中的本征問題，獲得解析的頻率方程以及計算具體的振動頻率。研究工作發(fā)現，在哈密頓體系下，自由振動頻率和模態(tài)可以通過辛本征值和本征解表示，并且具有明確的物理意義。具體研究內容如下:
　　(1)采用歐拉—伯努利納米梁理論，得到了常見邊界條件下納米梁自由振動問題的頻率方程。在該問題的研究中，本文選擇以位移和轉角為原變量，彎矩和非局部等效剪力為對偶變數，將納米梁自由振動的高階微分控制方程轉

4、化成低階的哈密頓正則方程，并根據哈密頓矩陣的特點，采用分離變量法得到哈密頓矩陣的本征值和本征向量，最終得到滿足邊界條件的頻率方程。研究發(fā)現，隨著非局部參數的增加，納米梁的自由振動頻率會減小，這表明非局部效應對材料的整體剛度矩陣有軟化作用。納米梁自由振動的頻率與邊界條件、非局部參數等均有關系，并且隨著長度的增加，非局部效應對納米梁基頻的影響減小。對于不同邊界條件時的固有頻率，兩端固支時最高，固支—自由時最低。
　　(2)采用Kirc

5、hhoff板理論，討論了Levy型各向同性納米板、正交各向異性納米板和圓形/環(huán)形納米板的自由振動問題的辛方法。在這些問題的研究中，本文均構建了自由振動時的非局部拉格朗日函數，利用辛幾何方法，得到了原變量和對偶變量描述的正則方程，將自由振動問題歸結為哈密頓體系下的辛本征問題?；谛翈缀蔚姆蛛x變數法，得到了Levy型矩形納米板自由振動的解析解，并給出了不同邊界條件下固有頻率方程。
　　對于各向同性納米板和正交各向異性納米板，本文給出了

6、不同邊界條件（固支、簡支、自由和滑支）時固有頻率隨非局部參數、長寬比變化時的前六階無量綱頻率。研究表明，在相同條件下固支—固支時頻率最高，自由—自由時頻率最低，這表明固有頻率受邊界條件影響。同時，隨著非局部參數的增加，固有頻率下降越來越快，尤其是高階模態(tài)時。以正交各向異性納米板模型，根據已有文獻資料，討論了單層方形石墨烯的固有頻率隨厚度、長度和非局部參數的變化。為了詳盡地研究圓形/環(huán)形納米板自由振動問題，本文討論了不同邊界條件和內外徑之

7、比、非局部參數等對其固有頻率的影響。數值算例發(fā)現，非局部參數和邊界條件相關，并且對于內外徑之比為0.8且非局部參數大于1nm的圓環(huán)形納米板結構，在某些邊界條件時環(huán)向階數n小于一定值時不會出現模態(tài)，僅存在環(huán)形階數較高的振動模態(tài)。本文給出了該情況時環(huán)形納米板的前八階模態(tài)。
　　(3)建立矩形雙納米板系統和圓形雙納米板系統振動的哈密頓體系，得到了問題的頻率方程。在研究雙納米板系統振動問題時，本文將其振動形式分成同步振動、異步振動和一板固

8、定三種情況，針對不同情況建立不同的哈密頓體系，得到了Levy型納米板系統振動問題的解析解。對于圓形雙納米板的自由振動，采用類似的方法，通過原變量和對偶變量組成的哈密頓正則方程，得到原問題的頻率方程。計算表明，在相同情況下，異步振動的頻率最高，同步振動最低。并且非局部參數參數對基頻影響較小，對高頻影響很大。
　　上述的研究結果表明，辛方法是一種有效解決納米結構動力行為的方法，且精度高，計算方便，效率高。該方法具有很強的通用性，適合精