幾類有限單群的數(shù)量刻劃.pdf

1、西南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文幾類有限單群的數(shù)量刻劃姓名：王臨紅申請學(xué)位級別：碩士專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：陳貴云2000.4.1第一節(jié) 前 言本文將討論用極大交換子群階的集合刻劃兒類有限單群，文中的群總是指有限群。設(shè)G 是有限群，若群G 有以某個或某些整數(shù)為階的極大交換子群，G 的結(jié)構(gòu)如何”特別地，若群G 與某個單群有相同的極大交換子群階之集，那么G 的結(jié)構(gòu)與這個單群有何關(guān)系?能否由此確定G 的結(jié)構(gòu)，從而給出單群的另一種特征性質(zhì)? 下面讓我們

2、先看前人的工作：1 、含階確定的極大交換子群的有限群設(shè)尸是群G 的一個真子群，若對尸中任一非單位元z 均有：C 。( z ) = P ，則J p 稱為G 的自中心化子群。若同時P 還是交換的，則P 是G 的極大交換子群。設(shè)a 是群G 中的一個非單位元，若C ，；( n ) =，則稱a 是G 的自中心化元。這時， 是G 的一個極大交換子群。在雎群分類定理的證明過程中，曾設(shè)想在一定條件下，對有循環(huán)S y l o w P 。予群的單群進行分類

3、。此后，人們還討論了含素數(shù)或素數(shù)方冪階自中心化予群的有限群。這些工作中有很多都可以看成是討論含階確定的極大交換子群的有限群的結(jié)構(gòu)。相對于限制群的單性而言，曾有群論工作者對這類問題的一般情況做過討論。K ．H a r a d a l l l于1 9 7 5 年證明了含4 階自中心化子群的2 ．群是二面體群，擬二面體群( q u a s i d i h e d r a l ) 或廣義四元數(shù)群。隨后，在1 9 7 4 年和1 9 7 9 年，

4、vM ．S t i n i k o v l 2 t 和G ．S t r o t h t “ 分別研討了含8 階和1 6階初等交換自中心化予群的有限群的結(jié)構(gòu)。到1 9 7 9 年，A ．F e r g u s o n 和S ．S m i t h t 4 】研討了含極大交換S y l o w3 - 子群的有限群G 的結(jié)構(gòu)，證明了若這樣的群G 至少有兩個3 階元的共軛類，則G 蘭0 3 ( G ) ．ⅣG ( 肘) 或G 蘭e S L O ，

5、3 ”) ，n ≥2 。設(shè)G 是含自中心化P 一元的非交換P - 群，G ’循環(huán)，A ．乙．G i l o t t i ，v ．T i b e r i o t 5 I 證明了G 是二元生成的，井給出了G 的定義關(guān)系。此外，他們訶：證明了：宙自中心化P 一元，換位子循環(huán)的有限非冪零群G ，滿足G ／G ’循環(huán)或二元生成。由于元素或子群的自中心化是單群的重要性質(zhì)，在有限單群中討論上述問題有很多已知的結(jié)果。早在1 9 5 9 年，M ．S u

6、 z u k i t 6 l 就證明了含4 階自中心化元的有限單群只能是￡2 ( 7 ) ，A 6 ，A ，。 隨后，W IF i e t ，T h o m p s o n l 7 】于1 9 6 2 年給出了含3 階自中心化子群的有限群的結(jié)構(gòu)，并指出若這樣的群是單群，則必同構(gòu)于L ，( 7 ) 或A ；。到1 9 7 7 年，J ．L ．H a y d e n 和D ．L ．W i n t e r p 】證明了含有6 階自中心化元，并

7、且只有一個對合的共軛類的有限單群，必同構(gòu)于材1 l ，，1 ，￡3 ( 3 ) ，L 2 ( 1 1 ) ，L 2 ( 1 3 ) 之一。另外，L ．S c h i e f e l b u s h t 9 l 還討論過含8 階自中心化元的有限單群。利用P 階循環(huán)子群自中心化，并且正規(guī)化子的階不等于P ．( p 一1 ) 以及其它一些條件，M ．H e r z o g ( 1 0 】給出了P S L ( 2 ，p ) ，p > 3