帶非光滑系數(shù)的投資組合最優(yōu)化問題.pdf

1、金融數(shù)學(xué)主要包含三個(gè)分支:投資組合理論;資產(chǎn)定價(jià)理論;風(fēng)險(xiǎn)度量理論。本文主要研究連續(xù)時(shí)間投資組合選擇問題。期望效用最大化和均值-方差組合優(yōu)化模型是目前兩種最主要的投資組合選擇理論。除此之外，考慮如何以盡可能大的概率達(dá)到一個(gè)預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)也是一個(gè)很有趣的投資組合選擇方式。本論文將對(duì)這三種投資組合選擇理論進(jìn)行不同程度的推廣。
　　期望效用理論由于受到了諸如Allais悖論、Ellesberg悖論的挑戰(zhàn)，逐漸被更廣的效用理論（如遞歸效用

2、，多先驗(yàn)效用）所代替。在本論文中，我們首先從兩方面研究遞歸效用最大化問題。第一方面，我們研究了部分信息下遞歸效用的優(yōu)化問題，其中投資者只能觀測(cè)到股票價(jià)格，而無法觀測(cè)到股票的平均收益率，同時(shí)不需要遞歸效用方程的系數(shù)是可微的。本文利用鞅方法，通過一系列的轉(zhuǎn)化，將該問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)博弈問題，然后用凸對(duì)偶方法刻畫了該博弈問題的鞍點(diǎn)，并給出了原問題的最優(yōu)終端財(cái)富。第二方面，我們研究了凹系數(shù)下的遞歸效用優(yōu)化問題，其中投資者的財(cái)富方程和遞歸效用方程的系

3、數(shù)都不需要可微性假設(shè)，從而能夠包含借入借出利率不相等模型和K-未知模型。通過鞅方法和凸對(duì)偶方法，我們給出了其對(duì)偶問題的鞍點(diǎn)刻畫以及原問題的最優(yōu)終端財(cái)富，并且給出了幾個(gè)能夠顯式算出最優(yōu)解的例子。
　　其次，我們把均值-方差組合優(yōu)化模型從經(jīng)典的線性財(cái)富方程推廣到一類非線性非光滑財(cái)富方程情形。當(dāng)財(cái)富方程的系數(shù)都是確定性函數(shù)時(shí)，我們采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，寫出其相應(yīng)的HJB方程，并且構(gòu)造出了該HJB方程的粘性解，從而得到了最優(yōu)投資組合的反饋形式

4、;當(dāng)財(cái)富方程的系數(shù)是隨機(jī)過程時(shí)，借助于隨機(jī)Riccati方程，我們用配方法給出了最優(yōu)投資組合的反饋形式。另外，為了與[53]中的充分性作比較，本文還利用凸對(duì)偶方法找到了財(cái)富方程的“合適”的下導(dǎo)數(shù)。
　　第三，我們研究了投資者對(duì)于股票收益率有模糊時(shí)的達(dá)到目標(biāo)問題。投資者想要尋找最穩(wěn)健的投資策略，所以這本質(zhì)上是一個(gè)博弈問題，但是由于目標(biāo)函數(shù)非凸非凹，甚至不連續(xù)，“min-max”定理無法直接使用，我們會(huì)直接證明“min-max”可以交

5、換，并且顯式的給出鞍點(diǎn)的形式。
　　在經(jīng)典的概率公理體系中，極限理論是一個(gè)很重要的分支。由于Allais悖論、Elles-berg悖論的出現(xiàn)，在期望效用理論被更廣的效用理論所替代的同時(shí)，概率的可加性，甚至Kolmogorov的經(jīng)典概率公理體系也受到了沖擊。這促使學(xué)者們開始研究非可加概率和非線性期望下的大數(shù)定律和中心極限定理。但是，非可加概率下的中心極限定理進(jìn)展非常緩慢。在信念測(cè)度下，最近[30]給出了針對(duì)Bernoulli隨機(jī)變量

6、的雙邊區(qū)間上的中心極限定理。雖然信念測(cè)度在某種意義上是最特殊的一種非線性概率，這仍然是很大的進(jìn)步。因此，在本論文的最后一章，我們把[30]中的中心極限定理從Bernoulli隨機(jī)變量推廣到了一般有界隨機(jī)變量。其中，刻畫雙邊區(qū)間上的信念測(cè)度需要用到二維正態(tài)分布，其相關(guān)系數(shù)的計(jì)算是非常復(fù)雜的。
　　下面，我們將簡(jiǎn)要的介紹每一章的主要結(jié)果。
　　1.部分信息下的遞歸效用優(yōu)化
　　假設(shè)金融市場(chǎng)中的股票價(jià)格滿足以下隨機(jī)微分方程:

7、dSi(t)=Si(t)(μi(t)dt+d∑j=1σij(t)dW(t))，i=1，...，d.在本章，我們假設(shè)投資者觀測(cè)不到股票的平均收益率μ'=(μ1，…，μd)和驅(qū)動(dòng)股票價(jià)格的布朗運(yùn)動(dòng)W，而只能觀測(cè)到股票價(jià)格S。從而，投資者必須基于股票價(jià)格選擇投資策略來達(dá)到遞歸效用最大化，也就是說他的投資組合π(t)必須是gt=σ(S(u)，u≤t）適應(yīng)的。由于投資者無法觀測(cè)到布朗運(yùn)動(dòng)W，他的遞歸效用過程也就無法用W來驅(qū)動(dòng)。為了定義基于信息流{

8、(g)t}t≥0的效用過程，我們引入新息過程(W)（t):=W(t)+∫t0(σ-1(s)μ(s)-σ-1(s)(μ)(s))ds，t≥0.(0.0.1)上述(W)是概率P下的布朗運(yùn)動(dòng)，并且σ((W)(s)，s≤t)∈(g)t。從而我們可以定義投資者的遞歸效用過程y(t)=u(X(T))+∫Ttf(s,y(s),Z(s))ds-∫Tt Z'(S)d(W)(s).(0.0.2)并且財(cái)富方程可以寫成dX(t)=π'(t)μ(t)dt十π'(

9、t）σ(t)d(W)(t).(0.0.3)
　　通過上述濾波技術(shù)，我們的在第一章中主要研究的問題可以歸結(jié)為最大化yx，π(0)，(0.0.4) s.t.{ X(t)≥0，t∈[0，T]，a.s.，π(·)∈M2G，(X(·)，π(·))滿足式(0.0.3)，(y(·)，Z(·))滿足式(0.0.2)，其中X(t)≥0表明不允許投資者破產(chǎn)。
　　根據(jù)BSDE的解的存在唯一性，我們知道選擇π和選擇終端財(cái)富X(T)是等價(jià)的，而且根

10、據(jù)BSDE(1.2.3)的比較定理，我們知道一個(gè)非負(fù)的終端財(cái)富(ξ=X(T)≥0)會(huì)使得財(cái)富過程在任意[0，T]上的時(shí)刻都非負(fù)。從而，我們的問題(0.0.4)轉(zhuǎn)化成下面的優(yōu)化問題:最大化J(ξ):=Yξ(0)，(0.0.5)s.t.{ξ∈U,Xξ0)=x，(Xξ(·)，qξ(·))，(Yξ(·)，Zξ(·))滿足式(0.0.6)，其中-dX(t)=-q'(t)σ-1(t)(μ)(t)dt-q'(t)dW(t),X(T)=ξ，(0.0.6

11、)-dY(t)=f(t,y(t),Z(t) dt-Z'(t)dW(t),Y(T)=u(ξ），并且“控制變量”終端財(cái)富ξ是從下面這個(gè)集合中選出來的U:=[ξ|ξ∈L2gr，ξ≥0}.
　　由于函數(shù)f是凹函數(shù)，不一定可微，所以[54，55]中的最大值原理無法使用。我們把上述問題(0.0.5)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成一個(gè)博弈問題:最大化J(ξ)=inf(β,γ)(e)B E[∫T0Γβ,γ0,sF(s，β(s)，γ(s))ds+Γβ,γ0,Tu(ξ

12、)](0.0.7)s.t.ξ∈A(c），其中函數(shù)F是f的凸對(duì)偶函數(shù)并且(L)(t):=e-∫t0(μ)'(s)d(W)(s)-1/2∫t0||(μ)(s)‖2ds，Γβ,γt,s=e∫st(β(r)-1/2||(r)||2) dr+∫stγ'(r)d(W)(r).
　　我們想要找到鞍點(diǎn)（(β)，(γ)，(ξ)）∈B×A(x)使得(V)(x):=supξ∈A(x)(inf(β,γ)∈B E[∫T0Γβ,γ0,sF(s，β(s)，γ(

13、s))ds+Γβ,γ0,T(ξ)]=E[∫T0Γ(β)(γ)0,sF(s，(β)(s)，(γ)(s))ds+Γ(β)(γ)0,Tu（(ξ)]=inf(β,γ)∈Bsupξ∈A(x)E[∫T0Γβ,γ0,sF(s，β(s)，γ(s))ds+Γβ,γ0,Tu(ξ)]=:(V)(x).(0.0.8)對(duì)任意0＜ζ＜∞，我們引入值函數(shù)(V)(ζ)≡y(ζ;x):=inf E[∫T0Γβ,γ0,sF(s，β(s)，γ(s))ds+Γβ,γ0,T（ζ

14、(L)(T)/Γβ,γ0,T）]，0＜ζ＜∞，(0.0.9)以及V*(x):=infξ＞0[(V)(ζ)+ζx].(0.0.10)
　　在1.3節(jié)，我們得到了以下結(jié)論。
　　引理0.1.假設(shè)(H1.1)，(H1.3)，(H1.4)成立，對(duì)任意給定的ζ＞0，存在一對(duì)（(β)，(γ)）=（(β)ξ，(γ)ξ）∈B達(dá)到式(0.0.9)中的下確界。
　　引理0.2.假設(shè)(H1.1)，(H1.3)，(H1.4)成立，并且設(shè)E[(

15、∫T0Γβ,γ0,sF(s，β(s)，γ(s))ds+Γβ,γ0,T(u)（ζ(L)(T/Γβ,γ0,T）]＜∞，(V)ζ＞0，(V)（β，γ）∈B，則對(duì)任意給定的x＞0，存在(ξ)=(ξx)∈(0，∞)達(dá)到式(0.0.10)中的下確界。
　　本章我們的主要結(jié)果是:定理0.1.假設(shè)(H1.1)，(H1.3)，(H1.4)成立，令((β)，(γ))是值函數(shù)(0.0.9)中的極值點(diǎn)，(ξ)是式(0.0.10)中的極值點(diǎn)，則((β)，(

16、γ)，(ξ))是式(0.0.8)的鞍點(diǎn)，其中(ξ)=I（(ξ)(L)(T)Γ(β)(γ)0,T），a.s.。
　　在1.4節(jié)，我們主要研究了當(dāng)d=1，f=K|Z|時(shí)的幾個(gè)例子。例0.1.當(dāng)u(x)=1-e-ax，x∈R，α＞0時(shí)，我們有(γ)(t)=（（-K）∨(-(μ)(t)))∧K，t∈[0，T]，ζ≡(ξx)=αe-1/2(E)∫T0((μ)(t)+(γ)(t))2dt-ax=argmin[(V)(ζ)+ζx]，問題(0.0

17、.5)的最優(yōu)終端財(cái)富值是(ξ)=-1/αln(ξ)Z(γ)(Y)/α.例0.2.當(dāng)u(x)=lnx，x＞0時(shí)，我們有-K，若-2(μ)(t)+2K＜z(t);(γ)(t)={-K,，若-2(μ)(t)-2K＜z(t);-(μ)(t)-z(t)/2,若-2(μ)(t)-2K≤z(t)≤-2(μ)(t)+2K;K，若z(t)＜-2(μ)(t)-2K，t∈[0,T]，a.s.，其中(y(t)，z(t))是下述BSDE的唯一解，y(t）=∫ T

18、tf(s，z(s))ds-∫Ttz(s)d(W)(s)，f(t,z(t))={ K2-2K(μ)(t)-Kz(t)+(μ)(t)2，若-2(μ)(t)+2K＜z(t);-1/4z(t)2-(μ)(t)z(t)，若-2(μ)(t)-2K≤z(t)≤-2(μ)(t)+2K;K2+2K(μ)(t)+Kz(t)+(μ)(t)2，若z(t)＜-2(μ)(t)-2K，t∈[0，T]，a.s.以及ξ=1/x.問題(0.0.5)的最優(yōu)終端財(cái)富值是(ξ)

19、=x/Z(γ)(T).例0.3.當(dāng)μ(t)是t的有界確定性的函數(shù)時(shí)，我們有(γ)(t)=（（-K）∨(-μ(t)))∧K，t∈[0，T].例0.4.當(dāng)|μ(·)|≤K，t∈[0，T]，a.s.時(shí)，我們有(γ)(t)=-(μ)(t)，t∈[0，T]，a.s.
　　2.凹系數(shù)下的遞歸效用優(yōu)化
　　在第1章中，財(cái)富方程是線性的，但是在很多重要的金融市場(chǎng)中，財(cái)富方程不再是線性的，比如借入-借出利率不相等情形。所以本章將研究當(dāng)財(cái)富方程

20、和遞歸效用方程的系數(shù)都是凹函數(shù)時(shí)的效用最大化問題。在第2.2節(jié)開始，我們首先給出了幾類重要的財(cái)富方程，他們的系數(shù)都是非線性非光滑的，但是都是凹函數(shù)。把終端財(cái)富值看成“控制變量”，我們的問題是，最大化J(ξ):=Yξ(0)，(0.0.11)s.t.{ξ∈U,Xξ(0)=x，(X，q)和(y,Z)分別滿足式(0.0.12)和(0.0.13)，其中{-dX(t)=-b(t,X(t),q(t) dt-q'(t)dW(t),(0.0.12)X(T

21、)=ξ，和{-dY(t)=f(t,y(t0，Z(t)) dt-Z'(t)dW(t),(0.0.13)y(T)=u(ξ).
　　由于函數(shù)b和f都是凹函數(shù)，不一定可微，故無法用最大值原理來刻畫最優(yōu)的ξ。所以我們把上述問題轉(zhuǎn)化成變分形式最大化J(ξ)=Yξ(0)=inf(β,γ)∈B E[∫T0Γβ,γ0,sF(s，β(s)，γ(s))ds十Γβ,γ0,T(ξ)]，(0.0.14)s.t.ξ∈A(x）.
　　我們想要找到鞍點(diǎn)（(β

22、)，(γ)，(ξ)）∈B×A(x）使得(V)(x):=supξ∈A(x)inf(β,γ)∈E[∫T0Γβ,γ0,sF(s，β(s)，γ(s))ds+Γβ,γ0,Tu（ξ)]=E[∫T0Γ(β),(γ)0,sF(s，(β)(s)，(γ)(s))ds+Γ(β)(γ)0,Tu（ξ)]=inf（β，γ）∈Bsupξ∈A(x)E[∫T0Γβ,0,sF(s，β(s)，γ(s))ds+Γβ,γ0,Tu(ξ）]=:(V)(x).(0.0.15)對(duì)任意0

23、＜ζ＜∞，引入值函數(shù)(V)(ζ)=inf(β,γ)∈B(μ,v)∈B' E[∫T0(Γβ,γ0,sF(s，β(s)，γ(s))+ζNμ,v0,s(b)(s，μ(s)，v(s)))ds+Γβ,γ0,T(u)（ζNμ,v0,T/Γβ,γ0,T）](0.0.16)和V*(x)=infξ＞0[(V)(ζ)+ζx].(0.0.17)
　　在2.3節(jié)，我們得到了以下結(jié)論，
　　引理0.3.假設(shè)(H2.1)，(H2.2)，(H2.3)和(

24、H2.4)成立，則對(duì)任意給定的ζ＞0，存在(β，們=((β)ξ，(γ)ξ)∈B和（(μ)，(v))=（(μ)ξ，(v)ξ）∈B'達(dá)到式(0.0.16)中的下確界。
　　引理0.4.假設(shè)(H2.1)，(H2.2)，(H2.3)和(H2.4)成立，對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)x＞0，存在實(shí)數(shù)ξx∈(0，∞)達(dá)到式(0.0.17)中的下確界。
　　本章我們的主要結(jié)果是下面的定理。
　　定理0.2.假設(shè)(H2.1)，(H2.2)，(H2.

25、3)，(H2.4)和(H2.5)成立，令((μ)，(V)，(β)，(γ))是式(0.0.16)中的極值點(diǎn)，令(ξ)是式(0.0.17)中的極值點(diǎn)。定義(ξ)=I((ξ)N(μ)(V)0,T/Γ(β)(γ)0,T)，a.s.，則我們有(V)∈A（x)，V(β，γ）∈B,E[∫T0Γ(β)(γ)0,s F(s，(β)(s)，(γ)(s))ds+Γ(β)(γ)0,Tu（ξ)]≤E[∫T0Γ(β)(γ)0,s F(s，(β)(s)，(γ)(s)

26、)ds+Γ(β)(γ)0,Tu（ξ)]≤E[Γ0,s F(s，β(s)，γ(s))ds+Γ筘u（毒）].也就是說，((ξ)，(β)，(γ)是問題(0.0.15)的鞍點(diǎn)。
　　在2.4節(jié)，我們令函數(shù)f=K'|Z|，u(x)=1/axa，x＞0，0＜α＜1，然后分別研究了線性財(cái)富方程情形、借入-借出利率不相等情形以及價(jià)格壓力模型。特別地，對(duì)于最后一種財(cái)富方程，當(dāng)系數(shù)是t的確定性函數(shù)時(shí)，我們用推廣了的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理給出了最優(yōu)的投資組合過程

27、和最優(yōu)的效用強(qiáng)度過程。
　　3.一類非線性財(cái)富方程下的均值-方差問題
　　假設(shè)投資者的財(cái)富方程滿足以下隨機(jī)微分方程:{dX(t)=(r(t)X(t)+(π+(t))'σ(t）(θ)（t)-（π-(t））'σ(t）)(θ)(t))dt+π'（t）σ(t)dW(t)，X(0)=x0，t∈[0，T]，(0.0.18)對(duì)于給定的期望水平K，考慮下面的連續(xù)時(shí)間均值-方差投資組合選擇問題:最小化VarX(T)=E(X(T)-K)2，(0

28、.0.19)s.t.{ EX(T)=K，π∈A(x0).
　　在3.2節(jié)中，我們首先研究了當(dāng)股票個(gè)數(shù)和布朗運(yùn)動(dòng)維數(shù)d=1，以及所有系數(shù)γ(θ)，(θ)，σ都是t的確定性函數(shù)時(shí)的均值-方差問題。我們把問題(0.0.19)動(dòng)態(tài)化，得到值函數(shù)υ(t，x;d)（d是拉格朗日乘子）應(yīng)該滿足HJB方程，{(6)v/(6)t(t，x;d)+ infπ∈R[(6)v/(6)x(t，x;d)(r(t)x+π十σ(t)(θ)(t)-π-σ（t))）+

29、1/2(6)2v/(6)x2(t，x;d）σ2(t)π2]=0，υ(T, x;d)=(x-d)2.(0.0.20)我們給出了HJB方程(0.0.20)的一個(gè)粘性解并且說明了該粘性解就是值函數(shù)υ（t,x;d）。
　　定理0.3.假設(shè)(H3.1)成立，則v(t，x;d)={ e-fTt(θ)-2(s)ds(xefTt r(s)ds-d)2，若x≤de-∫Ttr(s)ds;e-fTt(θ)2(s)ds(xe∫Ttr(s)ds-d)2，若

30、x＞de-∫Ttr(s)ds,是HJB方程(0.0.20)的一個(gè)粘性解。并且問題(3.2.6)的最優(yōu)反饋控制是π*(t,x)={-(θ)(t)/σ(t)(x-de-∫Ttr（s)ds），若x≤de-∫Ttr(s)ds;(0.0.21)-(θ)(t)/σ(t)(x-de-∫Ttr(s)ds），若x＞de-∫Ttr（s)ds.進(jìn)而我們得到了本節(jié)最主要的結(jié)果。
　　定理0.4.問題(0.0.19)的有效策略可以寫成時(shí)間t和財(cái)富X的函數(shù):

31、π*(t，X)=-(θ)(t)/σ(t)（X-d*e-∫Ttr（s)ds），若X≤d*e-∫Ttr(s)ds;-(θ)(t)/σ(T)(X-d*e-∫Ttr(s)ds），若X≤d*e-∫Ttr(s)ds，其中d*=K-x0e∫T0(r(s)-(θ)2(s))ds/1-e-∫T0(θ)2(s)ds.而且，有效前沿是11VarX(T)=1/e∫T0(θ)2(s)ds-1(K-x0e∫T0r(s)ds)2≡1/e∫T0(θ)2(s)ds-1(

32、EX)(T)--x0e∫Ttr(s)ds）2.
　　在3.2.3節(jié)中，我們給出了幾個(gè)符合財(cái)富方程(0.0.18)的金融市場(chǎng)模型。
　　本章3.3節(jié)致力于研究d≥1維隨機(jī)系數(shù)情形的均值-方差問題(0.0.19)。首先，對(duì)于問題(0.0.19)的可行性，我們有以下定理。
　　定理0.5.對(duì)任意的K∈[x0e∫T0r(s）ds，+∞），均值-方差問題(0.0.19)是可行的當(dāng)且僅當(dāng)dΣi=1E∫T0(μ)i+(t)dt＞0或

33、d∑i=1E∫T0(μ)(i)(t)dt＞0,＞0，其中μ（t):=σ(t）(θ)（t)，(μ)(t）:=σ（t)(θ)(t）.
　　由于財(cái)富方程(0.0.18)的系數(shù)是隨機(jī)的，故問題(0.0.19)無法用3.2節(jié)中的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理方法解決。而且[53]中的終端變分方法也無法使用，因?yàn)?0.0.18)的系數(shù)不可微。所以我們將采用完全平方法，而這需要兩個(gè)推廣了的隨機(jī)Riccati方程。{dP(t)=-[2r(t)P1(t)十H1（P1

34、(t)，Λ1(t)]dt+Λ(i)(t)dW(t),P1(T)=1，(0.0.22)P1(t)＞0;{dP2(t)=-[2r(t)P2(t)+H2(P2(t),Λ2(t)]dt十Λ'2(t)dW(t),P2(T)=1，(0.0.23)P2(t)＞0，其中H1（P,Λ）:=infπ∈Rd[Pπ'σ(t)σ'(t)π+2[P（（π+）'σ（t)(θ)（t)-（π-）'σ(t)(θ)(t))+π'σ(t)Λ]]，H2(P,Λ):=πinfπ∈

35、Rd[Pπ'σ(t)σ'(t)π-2[P（（π+）'σ(t)(θ)(t)-（π-）'σ（t)(θ)(t））+π'σ(t）Λ]].對(duì)任意的P＞0，記π1(t，ω，P，Λ):=argmin[Pπ'σ（t)σ'（t)π+2[P（（π+）'σ(t)(θ)（t)-（π-）'σ(t)(θ)(t))+π'σ(t）Λ]]，π2(t,ω，P,Λ):=argminπ∈Rd[Pπ'σ(t)σ'(t)π-2[P((π十)'σ(t)(θ)(t)-（π-）'σ(t

36、)(θ)(t))+π'σ(t)Λ]].
　　我們研究了方程(0.0.22)和(0.0.23)的解的存在唯一性。定理0.6.BSDE(0.0.22)(相應(yīng)地(0.0.23))存在唯一解(P1，Λ1)(相應(yīng)地(P2，Λ2))。
　　有了隨機(jī)Riccati方程的解的存在唯一性，我們就可以通過Riccati方程來構(gòu)造問題(3.3.6)的最優(yōu)控制。
　　定理0.7.狀態(tài)反饋控制π*(t)=π1(t，ω，P1(t)，Λ1(t))(

37、X(t)-de-∫Ttr(s)ds）++π2(t,ω，P2(t)，Λ2(t))(X(t)-de-∫Ttr(s)ds）-是問題(3.3.6)的最優(yōu)控制。而且問題(3.3.6)的最小花費(fèi)是infπ∈A(x0）E(X(T)-d）2{=P1(0)(x0-de-∫T0r(s)ds)2，若x0≥de-∫T0r(s)ds,P2(0)(x0-de-∫T0r(s)ds)2，若x0≥de-∫T0r(s)ds,.
　　本節(jié)的主要結(jié)論是
　　定理0

38、.8.問題(0.0.19)的有效策略可以寫成時(shí)間t和財(cái)富X的函數(shù):π*(t，X)=-π2(t，ω，P2(t)，Λ2(t))(X(t)-d*e-∫Tt r(s)ds），其中，d*:=x0P2(0)e∫T0t(s)ds-K/P2(0)e-2∫T0r(s)ds-1≥x0e∫T0r(s)ds。而且，有效前沿是VarX(T)=P2(0)e-2∫T0r(s)ds/1-P2(0)e-2∫T0r(s)ds(EX(T)-x0e∫T0r(s)ds)2.

39、r>　　在3.3.3節(jié)，當(dāng)d=1時(shí)，我們用凸對(duì)偶方法把[53]中推論4.4斷言的下導(dǎo)數(shù)找到了。即(v)(t):={(θ)(t)，若(Z)(t)＞(θ)(t)，(Z)(t)，若(θ)(t)≤(Z)(t)≤(θ)(t)，(θ)(t)，若(Z)(t)＜(θ)(t)，t∈[0，T]，a.s.，其中（(Y)，(Z)）是下面這個(gè)倒向隨機(jī)微分方程的解(Y)(t)=∫Ttg(s,(Z)(s)) ds-∫Tt(Z)(s)dW(s),并且g(s，Z):={

40、((θ)(s)-Z)2-1/2Z2-2r(s)，若Z＞(θ)(s)，-1/2Z2-2r(s)，若(θ)(s)≤Z≤θ(s)，((θ)(t)-Z)2-1/2Z2-2r(s)，若Z＜(θ)(s).
　　4.帶模糊的目標(biāo)可達(dá)問題
　　在本章中，我們研究了當(dāng)投資者對(duì)于股票平均收益率帶有模糊時(shí)的“目標(biāo)”問題。投資者試圖尋找一個(gè)最穩(wěn)健的投資策略，即在最壞的可能情況下以盡可能大的概率達(dá)到“目標(biāo)”。具體的說，本章研究了以下博弈問題:supπ

41、∈A(x) infθ∈θ P(Xx’π(T)|(θ)=θ≥1）.(0.0.24)
　　由于目標(biāo)函數(shù)I{x≥1}既不是凸函數(shù)也不是凹函數(shù)，甚至不連續(xù)。在這種情況下，“min-max”定理無法使用，我們直接證明了“min-max”可以交換，并且顯式的給出了鞍點(diǎn)的形式。令θ*(t)=σ-1(t)argminμ∈B(t)‖σ-1(t)μ‖2，π*(t):=-ρ*/(θ)(t）(6v(t,ρ*(θ(t))/(6)y(σ'(t))-1θ*(t

42、)，t∈[0，T]，其中v（t，y）:{=Φ（-1/2∫Tt||θ*(r)||2de-lnλ*+lny/√∫Tt||θ*(r)||2dr），若0≤t＜T,y∈R;I{y＜λθ*}，若t=T，y∈R.通過直接證明以下兩個(gè)定理，定理0.9.(V)θ∈θ，我們有supπ∈A'(x) P(Xx,π(T)||(θ)-θ*≥1）≤ sup P(Xx,π(T)|(θ)θ≥1）。定理0.10.我們有x*(T)≥x*(T)|(θ)θ*，并且等號(hào)成立當(dāng)且僅

43、當(dāng)θ=θ*。
　　得到了本章最重要的結(jié)果，定理0.11.（θ*，π*）是問題(0.0.24)的一個(gè)鞍點(diǎn)，也就是說，maxπ∈A(x) minιSθ P(Xx,π(T)|(θ)=θ≥1)=min max P(Xx,π(T)|(θ)=θ≥1)=P(Xx,π*(T)|(θ)=θ*≥1）.
　　5.信念測(cè)度下的中心極限定理
　　本章致力于將[30]中關(guān)于信念測(cè)度下Bernoulli隨機(jī)變量的中心極限定理推廣到一般有界隨機(jī)變量情

44、形。5.2節(jié)給出了信念測(cè)度的基礎(chǔ)知識(shí)，5.3節(jié)研究了信念測(cè)度在單邊區(qū)間上的中心極限定理，得到了以下結(jié)論。
　　定理0.12.對(duì)于假設(shè)(H5.1)中定義的隨機(jī)變量序列{Xi}∞i=1，我們有l(wèi)imvn→∞v∞(n∑i=1Xi-n(μ)/√n(σ)≥α)=1-N(α),和limn→∞ v∞(n∑i=1Xi-n(μ)/√n(σ)＜α=N(α),(V)α∈R,其中(μ)，(μ)，(σ)，(σ)是引理5.1中定義的。
　　以上結(jié)論顯示

45、獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的部分和經(jīng)過合適的標(biāo)準(zhǔn)化會(huì)漸進(jìn)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)，似乎看不出與經(jīng)典的中心極限定理的本質(zhì)區(qū)別。由于信念測(cè)度的非可加性，單邊區(qū)間的中心極限定理并不能完全刻畫信念測(cè)度的全部性質(zhì)，甚至連雙邊區(qū)間上的極限性質(zhì)也無法刻畫。對(duì)于雙邊區(qū)間情形，我們有以下極限定理成立。
　　定理0.13.對(duì)于假設(shè)(H5.1)中定義的隨機(jī)變量序列{Xi}∞i=1，存在不依賴于α1，α2或n的常數(shù)K使得|v∞（α1√n(σ)+n(μ)≤n∑i=1Xi≤α