Functionally-fitted Block Methods for Ordinary Differential Equations.pdf

1、常微分方程在物理科學(xué)、生物科學(xué)、工程學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科具有廣泛的應(yīng)用。然而，許多常微分方程的解析解很難得到，因此研究如何利用數(shù)值方法獲得方程的近似解具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義。
　　目前，用于求解常微分方程初值問題的數(shù)值方法主要有Runge-Kutta方法、線性多步法、塊方法、邊界值方法等等。這些方法的主要特點(diǎn)是具有常系數(shù)，且對(duì)多項(xiàng)式形式的解能進(jìn)行精確計(jì)算。近年來，許多學(xué)者研究了變系數(shù)的數(shù)值計(jì)算方法，它要求數(shù)值解對(duì)以三角函數(shù)、指數(shù)

2、函數(shù)或者它們與多項(xiàng)式的組合作為基函數(shù)的解是精確的。相較于常系數(shù)數(shù)值方法，變系數(shù)數(shù)值方法在求解某些常微分方程初值問題時(shí)更具優(yōu)勢(shì)，特別是當(dāng)微分方程的解具有明顯的指數(shù)衰減性、周期性或震蕩性時(shí)。
　　本論文旨在基于塊隱式單步法構(gòu)造求解一階和二階常微分方程初值問題的函數(shù)擬合塊方法，分別研究函數(shù)擬合塊方法的收斂性及穩(wěn)定性。主要內(nèi)容如下：
　　第一章簡要介紹常微分方程的基本概念和基本理論。第二章主要介紹求解常微分方程的經(jīng)典數(shù)值方法（包括龍

3、格庫塔法和線性多步法）、塊方法和函數(shù)擬合方法的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀。
　　第三章旨在構(gòu)建求解一階常微分方程初值問題的函數(shù)擬合塊方法。首先，基于Shampine和Watts[101]提出的常系數(shù)塊隱式單步法，提出了一類新的依賴于時(shí)間和步長的變系數(shù)塊方法（即函數(shù)擬合塊方法），給出了該方法存在的兩個(gè)充分性條件，討論了方法的系數(shù)矩陣與時(shí)間無關(guān)的條件以及塊方法與配置法的等價(jià)關(guān)系。其次，應(yīng)用泰勒展開公式，通過細(xì)致分析該方法的性質(zhì)，得到了方法的收斂階

4、。針對(duì)不同的基函數(shù)，討論了方法的線性穩(wěn)定性等問題。最后，我們給出一些數(shù)值例子來驗(yàn)證理論分析的正確性和函數(shù)擬合方法的有效性。
　　第四章旨在構(gòu)建求解二階常微分方程初值問題的函數(shù)擬合塊方法。首先，構(gòu)造了一類新的依賴于時(shí)間和步長的函數(shù)擬合塊方法，給出了該方法存在的充分條件以及系數(shù)矩陣與時(shí)間無關(guān)的條件。其次，應(yīng)用泰勒展開公式得到了方法的收斂階。針對(duì)不同的基函數(shù)，討論了方法的線性穩(wěn)定性等問題。最后，通過數(shù)值例子驗(yàn)證函數(shù)擬合塊方法的有效性。<