非線性微分方程邊值問題正解的存在性研究.pdf

1、非線性泛函分析是現(xiàn)代數(shù)學中一個既有深刻理論意義又有廣泛應用價值的研究方向。它以數(shù)學和自然科學各個領域中出現(xiàn)的非線性問題為背景,建立處理許多非線性問題的若干一般性理論和方法。因其能很好的解釋各種自然現(xiàn)象,它的豐富理論和先進方法為解決當今科技領域中層出不窮的非線性問題提供了富有成效的理論工具。目前非線性泛函分析的主要內(nèi)容包括拓撲度理論、臨界點理論、半序方法、解析方法和單調(diào)映射理論等。
　　Banach空間中微分方程理論是非線性泛函分析

2、的一個重要研究分支，已經(jīng)被廣泛應用于工程技術(shù)和控制理論等諸多領域。非線性微分方程邊值問題的研究是一個具有持久生命力的課題,近年來,非線性微分方程邊值問題解的存在性受到研究者的廣泛關(guān)注,并且取得了豐富的研究成果。分數(shù)階微積分經(jīng)過三個多世紀的發(fā)展,其應用領域越來越廣泛，與經(jīng)典的微積分相比，它可以更好地描述生物、物理、化學、金融等領域中具有記憶和遺傳性質(zhì)的過程,這些過程在數(shù)學上即表現(xiàn)為分數(shù)階微分方程。但由于分數(shù)階微分算子的奇異性和非局部性質(zhì),

3、導致了分數(shù)階微分方程在數(shù)學理論上的研究困難。因此,對分數(shù)階微分方程邊值問題的研究具有重要的理論和實際意義。
　　本文主要研究了整數(shù)階和分數(shù)階上幾類微分方程(組)奇異和半正邊值問題正解的存在性、唯一性和多解性情況，利用非線性泛函分析的錐理論、不動點理論、Krasnosel’s kii不動點定理、單調(diào)迭代方法，獲得了一些新的結(jié)果。這些結(jié)果大都已經(jīng)發(fā)表在國外重要的學術(shù)期刊上，如《Appl.Math.Comput.》（SCI)、《Adv.

4、Difference Equ.》(SCI)、《Abstr.Appl.Anal.》等。
　　本文共分六章.第一章緒論部分,簡要介紹了非線性泛函分析的歷史背景,給出了非線性泛函分析的一些基本定義和性質(zhì),并且列出了后面章節(jié)中要用到的關(guān)于不動點存在性的幾個引理,這些引理在本文主要結(jié)果的證明中是至關(guān)重要的。
　　第二章,通過在一個特殊的空間和特殊的錐上應用不動點定理,我們討論了一類無窮區(qū)間上奇異半正邊值問題正解的存在性。我們的工作包含

5、和改進了奇異和非奇異的情況下的許多已知結(jié)果。
　　第三章,我們研究了一類無窮區(qū)間上帶有積分條件的p-Laplacian分數(shù)階積微分方程的極值解。利用單調(diào)迭代方法結(jié)合適當?shù)臈l件,得到了分數(shù)階微分方程的極大解和極小解的存在性。此外,我們建立了由簡單線性函數(shù)開始的迭代解序列。最后,通過一個例子驗證了我們的主要結(jié)果。
　　第四章,我們系統(tǒng)地研究了用于HIV感染模型的帶有積分邊界條件的抽象分數(shù)階微分系統(tǒng)正解的存在性.利用錐上的不動點定

6、理,得到了一些新的結(jié)果并且實例證明了主要結(jié)果的應用性。
　　第五章,我們得到了帶有耦合邊界條件的分數(shù)階微分系統(tǒng)正解的存在性結(jié)果。5.1研究一類帶有耦合邊界條件的(n-1，1)型奇異分數(shù)階微分系統(tǒng)的正解，建立了系統(tǒng)正解的存在性條件。此外，我們得出正解的明確估計式，并在某些附加條件下，獲得了正解的唯一性,通過例子展示了主要結(jié)果的有效性。5.2我們考慮了一類帶有耦合邊界條件的含參數(shù)高階奇異半正分數(shù)階微分系統(tǒng)的正解。利用格林函數(shù)的性質(zhì)和k