幾類風險模型破產(chǎn)概率及其漸近解研究.pdf

1、在風險理論中，目前大多數(shù)學(xué)者主要集中在對復(fù)合二項模型、Poisson模型和更新模型等三個基本風險模型進行更合乎實際的推廣，比如在模型中推廣賠付過程、推廣保費收入過程以及考慮加入隨機干擾以及利率因素等，然后研究它們的破產(chǎn)概率和Gerber-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù)等特征量等問題。但是，依然還有一些學(xué)者在對上述三個基本模型繼續(xù)進行研究。我們認為，這種研究也是很必要的，因為盡管關(guān)于基本模型已經(jīng)有很長時間的研究歷史而且也取得了很多經(jīng)典性的成果，但對

2、這些基本模型依然還有許多問題沒有解決，比如在復(fù)合二項模型中關(guān)于破產(chǎn)概率的顯示解問題和Poisson模型中當賠付隨機變量所服從的分布使得調(diào)節(jié)系數(shù)不存在的問題等?？偠灾还苁茄芯客茝V模型還是研究經(jīng)典模型，都是必要的也是具有重大意義的。 本文不僅對三類基本的風險模型進行了進一步的研究，而且對它們也進行了一些更接近實際的合理推廣。對破產(chǎn)概率、有限時間內(nèi)生存概率以及 Gerber-shiu 折現(xiàn)懲罰函數(shù)m(x)=E{v<'T>W(R(

3、T-)，|R(T)|)1<,(T-∞)|R(0)=x}等特征量進行了研究，得到了它們的表達式或漸近估計式。 關(guān)于復(fù)合二項風險模型，本文感興趣的主要是破產(chǎn)概率或生存概率的顯示解和Gerber-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù)的漸近解。 在完全離散復(fù)合二項風險模型下，本文主要是利用過程的馬爾可夫性質(zhì)，從軌道的分析入手，首先得到賠付間斷時間隨機序列{T<,i>，i=1，2，3，…)和事故發(fā)生時刻的贏余序列{R(U<,i>)，i=1，2，3

4、，…)的聯(lián)合密度其中x<,0>=x是保險公司的初始資本．然后，根據(jù)破產(chǎn)時刻肯定是某次事故發(fā)生時刻的特點，就得到了破產(chǎn)概率和有限時間內(nèi)的生存概率與此同時，幾乎運用同樣的方法和思路，可以得到保險公司在初始資本為x的條件下，生存到時刻t而且在此時刻的贏余資本至少達到M的概率另外，在假設(shè)單位時間內(nèi)收取的保費c=1的模型下，根據(jù)過程的馬爾可夫性質(zhì)，通過破產(chǎn)概率所滿足的瑕疵更新方程，運用概率母函數(shù)方法，得到破產(chǎn)概率具有 Pollazek-Khinc

5、hin 公式。 關(guān)于破產(chǎn)概率或Gerber-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù)的漸近解，同樣利用過程的馬爾可夫性質(zhì)，然后運用概率母函數(shù)的方法和有關(guān)的更新理論，得到它們所滿足的瑕疵更新方程得到然后在此結(jié)果的基礎(chǔ)上，得到了在存在調(diào)節(jié)系數(shù)R的條件下的漸近解。 在一般情形的復(fù)合二項風險模型下，目前很少有人進行研究，因為在研究方法上，沒有完全離散情形那么方便，概率母函數(shù)的方法失去了其功能。本文同樣首先從過程軌道入手，得到賠付間斷時間隨機序列{T

6、<,i>，i=1，2，3，…)和事故發(fā)生時刻的贏余序列{R(U<,i>)，i=1，2，3，…)的聯(lián)合分布密度函數(shù)關(guān)于Poisson風險模型，本文感興趣的是兩個方面，一個方面是當賠付隨機變量屬于分布族S*(v)時破產(chǎn)概率及其局部解的漸近解問題；另外一個方面就是對模型進行推廣，然后在推廣后的模型下研究破產(chǎn)概率以及Gerber-Shiu 折現(xiàn)懲罰函數(shù)。 分布族S*(v)是一類間于輕尾和重尾之間的分布族，當v=0時屬于重尾而當v>0時屬

7、于輕尾。在Poisson風險模型下如果賠付隨機變量屬于重尾分布族，則調(diào)節(jié)系數(shù)顯然是不存在的；如果屬于輕尾分布族，調(diào)節(jié)系數(shù)可能存在也可能不存在，如今一般都是在假設(shè)調(diào)節(jié)系數(shù)存在的條件下研究破產(chǎn)概率的問題，然而當賠付雖然屬于輕尾但調(diào)節(jié)系數(shù)不存在的情形研究很少。本文在當賠付隨機變量屬于分布族S*(v)而且調(diào)節(jié)系數(shù)不存在時，研究破產(chǎn)概率及其局部解的漸近解，得到了破產(chǎn)概率在一般情形的復(fù)合二項風險模型下，目前很少有人進行研究，因為在研究方法上，沒有完

8、全離散情形那么方便，概率母函數(shù)的方法失去了其功能。本文同樣首先從過程軌道入手，得到賠付間斷時間隨機序列{T<,i>，i．1，2，3，…)和事故發(fā)生時刻的贏余序列{R(U<,i>)，i1，2，3，…}的聯(lián)合分布密度函數(shù)關(guān)于Poisson風險模型，本文感興趣的是兩個方面，一個方面是當賠付隨機變量屬于分布族S*(v)時破產(chǎn)概率及其局部解的漸近解阿題；另外一個方面就是對模型進行推廣，然后在推廣后的模型下研究破產(chǎn)概率以及Gerber-Shiu 折

9、現(xiàn)懲罰函數(shù)。 分布族S*(v)是一類間于輕尾和重尾之間的分布族，當v=0時屬于重尾而當v>0時屬于輕尾。在Poisson風險模型下如果賠付隨機變量屬于重尾分布族，則調(diào)節(jié)系數(shù)顯然是不存在的；如果屬于輕尾分布族，調(diào)節(jié)系數(shù)可能存在也可能不存在，如今一般都是在假設(shè)調(diào)節(jié)系數(shù)存在的條件下研究破產(chǎn)概率的問題，然而當賠付雖然屬于輕尾但調(diào)節(jié)系數(shù)不存在的情形研究很少。本文在當賠付隨機變量屬于分布族S*(v)而且調(diào)節(jié)系數(shù)不存在時，研究破產(chǎn)概率及其局部

10、解的漸近解，得到了破產(chǎn)概率關(guān)于Poisson模型的推廣問題，又主要是從三個方面入手，即保費收入過程、賠付過程和帶干擾等三個方面。 關(guān)于保費收入過程的推廣主要是在假設(shè)保費收入依然是一個Poisson過程的情形下進行了研究，得到了在調(diào)節(jié)系數(shù)存在的假設(shè)下破產(chǎn)概率公式和賠付服從指數(shù)分布時破產(chǎn)概率的顯示表達式。另外，在假設(shè)初始資本和賠付都是取整數(shù)的條件下，得到了破產(chǎn)概率的一般顯示表達式關(guān)于賠付過程的推廣，主要是考慮了雖然在充分小的時間內(nèi)發(fā)

11、生事故的次數(shù)至多一次但在同一事故發(fā)生時刻可能發(fā)生多起賠付的情況以及同時還有采取免賠額等風險規(guī)避措施的情況。如果在同一次事故引起的賠付起數(shù)服從Poisson分布時，本文稱之為復(fù)合廣義Poisson模型，通過將模型轉(zhuǎn)化為經(jīng)典Poisson模型，得到了破產(chǎn)概率的Pollazek-Khinchin公式，然后在個體賠付服從指數(shù)分布的條件下，給出了破產(chǎn)概率的上下界公式。在上述復(fù)合廣義模型的基礎(chǔ)上，如果考慮免賠額等風險規(guī)避制度，本文引入了一類模型，稱

12、之為復(fù)合復(fù)合Poisson瑕疵幾何風險模型。該模型特點是其賠付計數(shù)過程是一個由Poisson過程和瑕疵的幾何分布復(fù)合而成。在此模型下，得到了Gerbez-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù)滿足的瑕疵更新方程，相應(yīng)地得到了破產(chǎn)概率所滿足的瑕疵更新方程。另外，基本上基于同樣的背景，毛澤春和劉錦萼(2005)給出了復(fù)合Poisson-Geometric風險模型，本文在他們的研究基礎(chǔ)上，得到了破產(chǎn)即刻前贏余與破產(chǎn)時刻赤子的折現(xiàn)懲罰期望函數(shù)滿足如下更新方程，由