k次R-對稱矩陣理論及其應用.pdf

1、發(fā)現(xiàn)并利用矩陣的特殊結構對其降階及其它特殊處理，進而針對相關計算問題設計好的算法是線性系統(tǒng)和數(shù)值代數(shù)研究的重要思想和基本方法.基于這種思想，本文引進了兩類新的特殊矩陣，即，k次R-對稱矩陣和k次R-同余矩陣，對它們的結構及性質進行了系統(tǒng)的研究和討論，并解決了兩類相關的反問題及其最佳逼近問題.證明了k次R-同余矩陣的線性系統(tǒng)問題可以等價于兩個實線性系統(tǒng)問題且其特征問題可轉化成兩個低階實矩陣的相應問題；給出了Procrustes問題有Her

2、mitek次R-對稱矩陣解的充要條件以及解的表達式，還通過構造(X，∧)使得特征值反問題AX=XA有k次R-對稱矩陣解，并解決了在這種譜約束下的最佳逼近問題.事實上，k次R-對稱矩陣是文[1，35-39]中A.L.Andrew,W.C.Pye等討論的中心對稱矩陣、文[9，19，25]中Chen定義的自反矩陣以及文[10，14，26]中Trench引入的R-對稱矩陣的推廣，因而本文所得結果涵蓋了上述文獻中的相應結果.更為重要的是——利用k

3、次R-對稱矩陣的特殊結構可以一次性將其線性方程組、特征問題、廣義逆、奇異值分解、Procrustes問題以及特征值反問題等轉化成多個(≥2)低階子矩陣的相應問題來處理，這在數(shù)值計算中的意義是不言而喻的. 主要結果如下： 定理A∈Cn×n是k次R-對稱矩陣當且僅當A=(P1…Ps)(Aab)s×s((P)T1…(P)Ts)T，其中Aab={PaHAPb,如果ja+jb≡0(modk),0,其它.1≤a,b≤s.定理令P=(

4、iP1…iPk/2-1Pk/2Pk/2+1…Pk-1iPk)，Q=(P1…Pk/2-1Pk/2iPk/2+1…iPk-1-iPk).則A=B+iC是k次R-同余矩陣當且僅當A=PArQT，這里Ar是具有特殊結構的實矩陣. 定理若A∈Cn×n是k次R-對稱矩陣；令X，…，Xs為不全為零的向量組，其中Xa∈Crja，1≤a≤s.則(λ，s∑a=1PaXa)為A的一個特征對當且僅當下面兩個條件同時成立： 1)對所有滿足2ja≡

5、0(modk)的a=1，…，s來說，如果Xa≠0，那么(λ，Xa)是Aaa的一個特征對； 2)對所有滿足a≠b和ja+jb≡0(modk)的a,b=1，…，s來說，如果(XaT，XbT)T≠0，那么(λ,(XaT,XbT)T)是(0AbaAab0)的一個特征對. 定理若Xa和Vb(a，b=1，…，s)滿足假設3.3且B∈Cn×n滿足(3.9)和(3.10).則A∈ψ(X，V)當且僅當A形如(3.1)其中 Aab=

6、φa(Eab∑a-1NbaHNab∑b-1Hab)φbH,這里Eab=(Eijab)ka×kb，Eijab=σiaLjiba+σjbLijab/(σia)2+(σjb)2且Hab(a≤b)任意但當a=b時，Haa=HaaH；若條件滿足，則最小值是 (∑a=b(ka∑i=1[Im(Liiaa)]2+∑i≠jψ(i,j)(a,a)+∑a≠bψ(i,j)(a,b)+γ)1/2，其中 ψ(i,j)(a,b)=∑i,j[σjbRe

7、(Ljiba)-σiaRe(Lijab)]2+[σjbIm(Ljiba)-σiaIm(Lijab)]2/(σia)2+(σjb)2且γ=∑(‖Mab‖2+‖Tab‖2)，這里a,b=1，…，s滿足ja+jb≡0(modk). 定理ψ記κ次R-對稱矩陣類；對于滿足ja+jb≡0(modk)的所有a，b=1，…，s令0≤ma=mb≤min{ra，rb}，0≤la≤ra-ma，0≤1b≤rb-mb；Xa=(χ1a…χma+1a…χma

8、+laa0…0)∈Cra×ma+la+lb，Xb=(χ1b…χmb+1b…χmb+lbb0…0)∈Crb×mb+la+lb，且rank(Xa)=ma+la，rank(Xb)=mb+lb；∧=diag(∧1，…，∧s)，其中∧a=∧b=diag(λ1a，…，λmaa，0，…，0)∈C(ma+la+lb)×(ma+la+lb)，λia≠λja(i≠j)；X是第a列和第b列同為PaXa+PbXb的分塊矩陣(若k/2∈{j1，…，js}則第k/

9、2列為Pk/2Xk/2；若s=k則第s列為PsXs). 1)A∈ψ(X，∧)當且僅當A滿足(2.14)，其中Aab=XaψXb++KabΓb+(ja+jb≡0(modk))，Γb=I-XbXb+且Kab∈Cra×rb為任意矩陣； 2)若R是正規(guī)矩陣；給定任意矩陣B=(P1…Ps)(Bab)s×s(P1…Ps)H.則問題3.4的解是 AB=(P1…Ps)(Aab)s×s(P1…Ps)H，其中Aab=XaψXb++B