高維接觸間斷穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)理論分析.pdf

1、該博士論文針對(duì)幾類擬線性守恒律方程組高維接觸間斷的穩(wěn)定性問(wèn)題,探討了制約接觸間斷穩(wěn)定的相關(guān)機(jī)理.主要考察了磁流體力學(xué)方程組current-vortex sheet的線性穩(wěn)定性,可壓縮定常理想流體力學(xué)方程組vortex sheet的非線性結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性,以及超音速vortex sheet在高頻振蕩波擾動(dòng)下的漸近性態(tài).
　　在緒論中,簡(jiǎn)單介紹了流體力學(xué)中相關(guān)的物理背景及相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論刻畫,回顧了已有的關(guān)于高維接觸間斷穩(wěn)定性的相關(guān)數(shù)學(xué)理論,

2、并且給出了本文的主要結(jié)論及結(jié)構(gòu)安排.
　　首先,在第二章中考察了二維非定常可壓縮等熵磁流體力學(xué)方程組current-vortex sheet的線性穩(wěn)定性.對(duì)于這個(gè)邊界是特征的自由邊界問(wèn)題,利用Kreiss-Lopatinskii條件推導(dǎo)了一類平面接觸間斷線性穩(wěn)定的充分必要條件,并且得到了相應(yīng)線性化問(wèn)題解的先驗(yàn)估計(jì).研究發(fā)現(xiàn)此類平面接觸間斷在Kreiss-Lopatinskii條件意義下是弱穩(wěn)定的,而非一致穩(wěn)定,這導(dǎo)致解的先驗(yàn)估計(jì)關(guān)

3、于方程組的右端項(xiàng)和邊界數(shù)據(jù)都具有一階的導(dǎo)數(shù)損失.另外,此穩(wěn)定性條件表明磁場(chǎng)對(duì)于流體中的vortex sheet具有穩(wěn)定效應(yīng),即與二維空氣動(dòng)力學(xué)vortex sheet的穩(wěn)定性條件相比較,磁場(chǎng)的存在使得current-vortex sheet的穩(wěn)定性條件中的臨界馬赫數(shù)小于空氣動(dòng)力學(xué)中vortex sheet穩(wěn)定的臨界馬赫數(shù)√2,這使得在空氣動(dòng)力學(xué)中原本不穩(wěn)定的vortex sheet在磁場(chǎng)的作用下具有一定的穩(wěn)定性.
　　然后,在第三

4、章至第五章中我們討論了三維可壓縮等熵定常Euler方程組vortex sheet的非線性結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性.首先第三章討論了三維定常Euler方程組超音速平面接觸間斷的線性穩(wěn)定性.通過(guò)發(fā)展Kreiss, Coulombel與Secchi的關(guān)于雙曲方程特征邊值問(wèn)題的相關(guān)理論,得到了此類接觸間斷線性穩(wěn)定的充要條件,以及相應(yīng)線性化問(wèn)題解的能量估計(jì).此接觸間斷的弱穩(wěn)定性同樣導(dǎo)致解的估計(jì)關(guān)于方程組的右端項(xiàng)和邊界數(shù)據(jù)都具有一定的導(dǎo)數(shù)損失.我們分別對(duì)接觸間斷

5、面兩側(cè)切向速度場(chǎng)平行或不平行兩種情況進(jìn)行了討論.相應(yīng)的穩(wěn)定性條件表明,間斷面兩側(cè)不平行的切向速度場(chǎng)只有在來(lái)流方向超音速而且在某個(gè)類空超曲面上的投影也是超音速時(shí),才能保證該接觸間斷的穩(wěn)定性.然后在第四章中,考察了平面接觸間斷小擾動(dòng)的線性穩(wěn)定性,基于第三章的結(jié)果,再利用仿微分算子工具,得到了此變系數(shù)線性化問(wèn)題解的先驗(yàn)估計(jì).我們進(jìn)一步利用方程組對(duì)非特征向量場(chǎng)的控制以及速度場(chǎng)的旋度所滿足的問(wèn)題,得到此線性化問(wèn)題解的高階導(dǎo)數(shù)的能量估計(jì).最后,在第

6、五章中證明了三維可壓縮等熵定常Euler方程組的超音速接觸間斷的非線性結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性.由于在第四章中得到的線性化問(wèn)題解的估計(jì)具有導(dǎo)數(shù)損失,因此我們采用Nash-Moser-H¨ormander迭代的方法證明此類超音速接觸間斷的非線性結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性.
　　最后,在第六章中我們應(yīng)用非線性幾何光學(xué)方法來(lái)研究三維可壓縮等熵定常Euler方程組的超音速接觸間斷在高頻振蕩波擾動(dòng)下的穩(wěn)定性.對(duì)于第五章中得到的非線性結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的超音速接觸間斷,引入振幅為O