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文檔簡介
1、設(shè)Kv為完全圖,F(xiàn)為Kv的一個(gè)一因子(當(dāng)v≡0(mod 2)時(shí)),若(3)mi,3≤mi≤v,I=1,2,...,t,滿足條件:Kv(或Kv-F)=C1+C2+…+Gt,其中Gi的長度為mi,則稱Kv(或Kv-F)可以被mi長圈分解.
顯然,完全圖可以被mi長圈分解的必要條件為:
(I)3≤mi≤v,I=1,2,...,t;
(ii)m1+m2+…+mt=v(v-1)/2(v≡1(mod 2))
2、;
m1+m2+…+mt=v(v-2)/2(v≡0(mod 2)).
關(guān)于這個(gè)必要條件是否也充分的問題由Alspach在1981[1]年提出.因此,被稱為Alspach猜想.
這是一個(gè)非常大的猜想,要完全證明這個(gè)猜想是很困難的.自Alspach提出這個(gè)猜想以來,已證明成立的只有以下幾種情況:
(1)v≤14;
(2)m1=m2=…=mt;
(3)mi∈A
3、,I=1,2,…,t.A∈{{3,4,5},{3,4,6},{4,6,8},{4,10},{6,10},{8,10},{3,v},{u-2,v-1,v}}∪{{2k,2k+1}|k≥2}.
本文主要是通過對(duì)前人證明方法的綜合應(yīng)用,證明當(dāng)mi∈{3,4,8}時(shí)猜想成立.因?yàn)橛?長圈,3為奇數(shù),而完全二部圖是不可能出現(xiàn)奇長圈的,這就使得在構(gòu)造過程中遇到了困難,所以這里我們應(yīng)用了一些技巧和方法.
本文第二章第一部分
4、證明了當(dāng)v≡0(mod 2)時(shí)本文的結(jié)論成立.首先給出了將會(huì)用到的引理,然后主要運(yùn)用了若存在相應(yīng)的GDD,PBD,則它們可將Kn-F分解為若干個(gè)小階數(shù)的子圖,再通過討論解的情況將這些小階數(shù)子圖分解,就可得到結(jié)論.并不是所有情形都可以順利的用一種GDD或PBD來解決,在這時(shí)候,就要根據(jù)實(shí)際情況再用另外的GDD來重新對(duì)Kv-F進(jìn)行分解,討論.此外還有一些小階數(shù)的沒有相應(yīng)的GDD,就要另外再用其他方法來解決這個(gè)問題,比如特殊情況下的具體構(gòu)造.
5、第二部分是對(duì)于v≡(mod 2)時(shí)情況的證明.在證明時(shí)首先運(yùn)用了在mi∈{4,6,8}證明過程中用到的方法,即構(gòu)造路圖,拆圖重組.本節(jié)一開始就給出了v≡1(mod 2)時(shí)要用的重要引理,即若Kv-4的{3,4,8}-分解已經(jīng)得到,則Kv的{3,4,8}-圈分解中,C8的個(gè)數(shù)z≥(v-1)/2時(shí)就可以得到,再通過把Kv表示成幾個(gè)圖的并的方法來解決C8的個(gè)數(shù)z<(v-1)/2的情況.這樣,v≡1(mod 2)時(shí)的情況就都得到了.
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