定積分的應(yīng)用教案

1、 第六章 第六章 定積分的應(yīng)用 定積分的應(yīng)用教學(xué)目的 教學(xué)目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積） 。3、掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等） 。教學(xué)重點(diǎn)： 教學(xué)重點(diǎn)：1、計(jì)算平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積。2、計(jì)算變力所做的功、引力、

2、壓力和函數(shù)的平均值等。教學(xué)難點(diǎn)： 教學(xué)難點(diǎn)：1、 截面面積為已知的立體體積。2、引力。§6? 1 定積分的元素法 定積分的元素法回憶曲邊梯形的面積?設(shè) y?f (x)?0 (x?[a?b])? 如果說積分?? ?ba dx x f A ) (是以[a?b]為底的曲邊梯形的面積? 則積分上限函數(shù)? ?xa dt t f x A ) ( ) (就是以[a?x]為底的曲邊梯形的面積? 而微分 dA(x)?f (x)dx 表示點(diǎn) x

3、 處以 dx 為寬的小曲邊梯形面積的近似值?A?f (x)dx? f (x)dx 稱為曲邊梯形的面積元素?以[a?b]為底的曲邊梯形的面積 A 就是以面積元素 f(x)dx 為被積表達(dá)式? 以[a?b]為積分區(qū)間的定積分?? ? ?ba dx x f A ) (一般情況下? 為求某一量 U? 先將此量分布在某一區(qū)間[a?b]上? 分布在[a?x]上的量用函數(shù)U(x)表示? 再求這一量的元素 dU(x)? 設(shè) dU(x)?u(x)dx?

4、然后以 u(x)dx 為被積表達(dá)式? 以[a?b]為積分區(qū)間求定積分即得? ? ?ba dx x f U ) (用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法)?§6? 2 定積分在幾何上的應(yīng)用 定積分在幾何上的應(yīng)用曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素?由曲線???(?)及射線???????圍成的圖形稱為曲邊扇形? 曲邊扇形的面積元素為? ? ? ? d dS 2 )] ( [ 2 1 ?曲邊扇形的面積為? ? ??? ? ? ?

5、d S 2 )] ( [ 2 1例 4. 計(jì)算阿基米德螺線??a? (a >0)上相應(yīng)于?從 0 變到 2?的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積?解: ? ? ?? ? ?202 ) ( 2 1 d a S 3 2 2 03 23 4 ] 3 1 [ 2 1 ? ? ? a a ? ?例 5. 計(jì)算心形線??a(1?cos?) (a>0) 所圍成的圖形的面積?解: ? ? ?? ? ? 02 ] cos 1 ( [ 2 1

6、2 d a S ? ? ? ?? ? ? ? 02 ) 2 cos 2 1 cos 2 2 1 ( d a? ? ? ? ? ? 2022 3 ] 2 sin 4 1 sin 2 2 3 [ a a ? ? ? ?二、體 二、體 積1．旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體? 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸?常見的旋轉(zhuǎn)體? 圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體?旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線 y?f (x)、直線 x?a、a?b 及

7、 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體?設(shè)過區(qū)間[a?b]內(nèi)點(diǎn) x 且垂直于 x 軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為 V (x)? 當(dāng)平面左右平移 dx后? 體積的增量近似為?V??[f (x)]2dx?于是體積元素為dV??[f (x)]2dx?旋轉(zhuǎn)體的體積為? dx x f Vba2 )] ( [ ? ? ?例 1 連接坐標(biāo)原點(diǎn) O 及點(diǎn) P(h?r)的直線、直線 x?h 及 x 軸圍成一個(gè)直角三角形? 將它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)