概率統(tǒng)計內容解析與教學設計

1、概率統(tǒng)計內容解析與教學設計,華東師范大學數(shù)學系 李俊,今日安排,概率、統(tǒng)計與數(shù)學內容分析學生認知困難分析教學的困難與對策,,,概率、統(tǒng)計與數(shù)學,推斷性統(tǒng)計,,,,…,,,,,異同 聯(lián)系,一位顧客買了一包標有5公斤裝的面粉，回家稱后發(fā)現(xiàn)份量不足，于是向消費者協(xié)會投訴。在正常情況下，這種面粉重量的分布是正態(tài)分布N(5,0.25).消協(xié)去實地隨機抽檢了這種面粉25包，發(fā)現(xiàn)其平均重量為4.8公斤，的確比標示的份量少。問是否可以說該工

2、廠有不實包裝之嫌？,反復抽樣法,,原假設：這25包面粉重量屬于均值為5.0的這個總體，即 .相對的備擇假設：這25包面粉重量屬于均值小于5.0的總體如果在N(5,0.25)下發(fā)生“25包的平均重量為4.8公斤”的概率并不小，那么我們不能拒絕原假設，應將這次的份量不足歸為完全是由隨機性造成的。那么這件事在N(5,0.25)下發(fā)生的概率是多少呢？我們可以計算一下下面這個檢驗統(tǒng)計量,,如果說古典統(tǒng)計學的功能

3、主要是描述事物的局部和現(xiàn)狀的話，那么，現(xiàn)代統(tǒng)計學的功能則主要是借助概率工具推斷事物的總體和未來。從古典統(tǒng)計學到現(xiàn)代統(tǒng)計學實現(xiàn)的是質的飛躍，飛躍的主要標志之一就是統(tǒng)計推斷。如果我們的抽樣以隨機原則進行，那么運用概率論的原理，根據整體與部分之間的內在聯(lián)系進行分析和推斷，就可以使歸納推斷產生的不確定性得到度量和控制。,概率統(tǒng)計的學科特點,（1）數(shù)據是含有背景并帶有隨機性的數(shù)字；,三個問題哪個更像統(tǒng)計問題？,（1）求20，21，21，22，22

4、，22，22，23，23.這組數(shù)據的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；（2）9位學生的鞋號由小到大是： 20，21，21，22，22，22，22，23，23.這組數(shù)據的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中哪個指標是鞋廠最不感興趣的？哪個指標是鞋廠最感興趣的？（3）某鞋廠在你們全年級中隨機抽取2個班級，調查并記錄每個學生的鞋號，你認為這組數(shù)據的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中哪個指標是鞋廠最不感興趣的？哪個指標是鞋廠最感興趣的？鞋廠據此調查數(shù)據組織生產一定與現(xiàn)在你們全年

5、級學生所需各種尺碼鞋子的數(shù)量一致嗎？,2004河南省中考題,在某旅游景區(qū)上山的一條小路上，有一些斷斷續(xù)續(xù)的臺階，如下圖所示是其中的甲、乙臺階路的示意圖。請你用所學過的統(tǒng)計知識(平均數(shù)、中位數(shù)、方差、標準差等)回答下列問題：(1) 兩段臺階路有哪些相同點和不同點?(2) 哪段臺階路走起來更舒服?為什么?(3)為方便游客行走，需要重新整修上山的小路，對于這兩段臺階路臺階數(shù)不變的情況下，請你提出合理的整修建議。,,顏色、水果等是數(shù)據嗎？

6、,數(shù)據按其取值可分為以下四種類型：計量數(shù)據，如人的身高等，取值可以是某個區(qū)間內的任意一個實數(shù)計數(shù)數(shù)據，如人數(shù)等，取值為整數(shù)，大部分僅在非負整數(shù)范圍內取值名義數(shù)據，如顏色、性別等，常用數(shù)來表示屬性的分類，但這些數(shù)只起一個名義的作用，沒有大小關系，也不能進行運算有序數(shù)據，如文盲、小學、初中、高中或中專、大?；虼髮W，用數(shù)0、1、2、3、4分別表示，但這些數(shù)只起一個順序的作用，類與類之間的差別不由數(shù)的差表示,,,定量數(shù)據,定性數(shù)據,

7、眾數(shù)、中位數(shù)的用處，人為編制的統(tǒng)計問題,概率統(tǒng)計的學科特點,（1）數(shù)據是含有背景并帶有隨機性的數(shù)字；（2）隨機性和規(guī)律性是隨機現(xiàn)象對立統(tǒng)一的兩面；,,隨機現(xiàn)象有規(guī)律,在現(xiàn)實世界中，有一些現(xiàn)象在相同的條件下，重復同樣的試驗，該現(xiàn)象卻有時發(fā)生有時不發(fā)生，這些現(xiàn)象就其個別來看發(fā)生與否是沒有規(guī)則、不可預測的，但是通過大量的試驗和觀察以后，就其整體來看卻表現(xiàn)出一種非偶然的規(guī)律性，這些現(xiàn)象被稱為“隨機現(xiàn)象”（不確定現(xiàn)象）,規(guī)律是指事物發(fā)展過程中的

8、本質聯(lián)系和必然趨勢,揭示規(guī)律是重點,某班四十位同學每人拋兩枚硬幣10次實驗中成功擲出 “兩個正面”的次數(shù),該班同學共計400次實驗中成功擲出 “兩個正面”的頻率,反復抽樣可以發(fā)現(xiàn)非偶然的規(guī)律！,多次經歷觀察頻率發(fā)展趨勢,兩面：隨機性與規(guī)律性,怎么叫作對隨機現(xiàn)象研究清楚？,即使是概率學家也不能預測任何一次的結果，理論的指導并不是使原來無法預料結果變?yōu)槟軌蝾A料結果（如預料彩票結果）這樣的轉化，而是知道這個隨機現(xiàn)象所有可能出現(xiàn)的結果（隨機變量

9、所有可能的取值）及每個結果出現(xiàn)的概率（取每個值時的概率），即它的分布。,“35選7”彩票,從01，02，…，35中不重復地開出7個基本號碼和一個特殊號碼，中各等獎的規(guī)則如下,概率統(tǒng)計的學科特點,（1）數(shù)據是含有背景并帶有隨機性的數(shù)字；（2）隨機性和規(guī)律性是隨機現(xiàn)象對立統(tǒng)一的兩面；（3）深入研究對象進行觀察，基于數(shù)據得到回答；,孩子的書包太重了,醫(yī)生指出：書包過重導致背部不適，長時間背過重書包會引起肌肉疲勞并導致腰背痛，建議大家留意孩

10、子書包過重的問題 。脊骨專家指出，如書包重量超過兒童體重的三分之一，學童會在短期內覺得不舒服，出現(xiàn)例如背痛、肩痛、肌肉過緊等癥狀，一般來說，15%以上偏重。 問題是否很嚴重？需要調查！定量研究！調查的問題有哪些？,一磅等于0.454公斤,對美國學生的一次調查 TinkerPlots軟件制作,http://www.keycurriculum.com/products/tinkerplots,,,,,,,,,,,概率統(tǒng)計的學科特點,（

11、1）數(shù)據是含有背景并帶有隨機性的數(shù)字；（2）隨機性和規(guī)律性是隨機現(xiàn)象對立統(tǒng)一的兩面；（3）深入研究對象進行觀察，基于數(shù)據得到回答；（4）計算機模擬實驗是教學時重要的一個數(shù)據來源。,>> B=binornd(ones(100,10),0.5,100,10)B = 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

12、0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0

13、 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

14、 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1

15、 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1,計算機模擬概率實驗又快又簡單,連續(xù)扔出3個正面,扔一個普通硬幣，問平均來說要扔幾次可連續(xù)扔出三個正面？,用計算器模擬,理論解法,設N_k 是連著得到k個正面所需拋擲的次數(shù)，它滿足以下遞推關系：N_{k} =

16、 0.5*(N_{k-1} + 1) + 0.5*(N_{k-1} + 1 + N_{k})其含義是有0.5的概率再多扔一次得到正面，就成功完成k個正面，有0.5的概率再多扔一次得到反面，又得重新開始計數(shù)。于是有 N_{k} = 2 N_{k-1} + 2其解是 N_{k} = 2^{k+1} - 2 N_{3} = 24- 2 = 14,用計算機模擬,概率統(tǒng)計的學科特點,

17、（1）數(shù)據是含有背景并帶有隨機性的數(shù)字；（2）隨機性和規(guī)律性是隨機現(xiàn)象對立統(tǒng)一的兩面；（3）深入研究對象進行觀察，基于數(shù)據得到回答；（4）計算機模擬實驗是重要的一個數(shù)據來源。,研究的對象與方法都與數(shù)學不一樣,聯(lián)系概率統(tǒng)計的學科特點，談談你對如何上出統(tǒng)計味的看法。,8年級教過數(shù)據表示、數(shù)據分析和概率的學生百分比1999,,,,,,大型國際比較測試中大陸學生在統(tǒng)計部分測試成績第10名，其他領域均第1名,普及統(tǒng)計，培養(yǎng)有統(tǒng)計素養(yǎng)的公眾,

18、統(tǒng)計存在于國民經濟及日常生活的各個方面，不懂統(tǒng)計很可能會不知不覺地受到損失科學地認識客觀事物的一種工具發(fā)現(xiàn) 賽場統(tǒng)計，電腦鍵盤上的字母為何不按順序排列判斷 許多不確定現(xiàn)象無法用形式邏輯推理解決說理方式不同 如，變量之間是否有關系？關系有多強？是因果關系嗎？決策 預測 買哪一種彩票，下聯(lián)號的注還是凌亂的注交流 結論來自于數(shù)據和統(tǒng)計方法，可靠恰當嗎？統(tǒng)計學是一個很可能不知不覺地出錯的領域。對不確定現(xiàn)象的良好直覺需要在修

19、正中培養(yǎng),賣報利潤問題：某人以賣報為生，每天早上從發(fā)行商處購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。如果每份報紙的購進價為0.8元，零售價為1元，退回價為0.75元，那么為了獲得最大的利潤，他每天應購進多少份報紙？,National Research Council (2001),,數(shù)學教育目標,所有中小學生,學校教育,生成統(tǒng)計素養(yǎng)的元素和影響統(tǒng)計素養(yǎng)表現(xiàn)的因素（示意圖）,,,培養(yǎng)數(shù)據分析觀念（標準2011年版）,了解在現(xiàn)實生活中有許多問

20、題應當先做調查研究，收集數(shù)據，通過分析作出判斷，體會數(shù)據中蘊涵著信息；了解對于同樣的數(shù)據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據分析是統(tǒng)計的中心。,義務教育數(shù)學課程標準（2011）,“統(tǒng)計與概率”的主要內容有：收集、整理和描述數(shù)據，包括簡單抽樣、整理調查數(shù)據、繪制統(tǒng)計圖表等；處理數(shù)據，包括計算平均數(shù)、中位

21、數(shù)、眾數(shù)、方差等；從數(shù)據中提取信息并進行簡單的推斷；簡單隨機事件及其發(fā)生的概率。,標準中“統(tǒng)計與概率”領域的知識與技能目標,概率統(tǒng)計在人教社新課程教材中所占課時數(shù)與百分比,培養(yǎng)概率統(tǒng)計基本素養(yǎng)抓五條知識技能主線,貫穿所有學段，但要求逐步提高,體驗不確定現(xiàn)象,定性地描述可能性大小,可能性可以量化,實驗概率理論概率,,,,發(fā)現(xiàn)和提出問題——陽光與植物生長,水平A: 一棵植物放在窗邊是否比放在遠離窗邊的地方長得更高？水平B: 放在窗邊

22、的5棵植物是否比放在遠離窗口的5棵植物長得更高？水平C: 陽光多少對植物的生長有怎樣的影響?,核心內容,收集數(shù)據統(tǒng)計圖表的制作與閱讀概括一組數(shù)據的信息通過樣本了解總體通過反復試驗估計概率頻率肯定會穩(wěn)定嗎？頻率是近似值，求它有意思嗎？通過計算預測概率使用古典概率公式的條件是什么？,收集數(shù)據,普查抽樣調查有意抽樣（目的抽樣）以調查者的主觀判斷為依據來抽取樣本。易操作但主觀隨意性大、難以估計和控制抽樣誤差 隨機抽樣以隨

23、機原則為依據來抽取樣本。每個對象都有平等的機會被選到選用哪一種方法應視具體情況而定，也可以采用幾種方法,在調查中設計問題不簡單,一項意見調查詢問人們：“你用計算機嗎？”Maria回答是，因為她覺得問題問的是“她是否曾用過計算機”。Eric回答不，因為他認為問題的意思是“他是否在日常生活使用計算機”。Alex回答不，因為他僅僅在計算機上玩游戲，他覺得這不算是“用”。,你認為汽車對環(huán)境造成的污染大還是工業(yè)對環(huán)境造成的污染大？你認為

24、工業(yè)對環(huán)境造成的污染大還是汽車對環(huán)境造成的污染大？警察問駕駛員：“你喝酒了嗎？”上午10點多在地鐵站問乘客：“你認為這兩種方案你更喜歡哪一種？”,,抽樣調查要不要從初中開始教,美國：1989年的標準是把抽樣和推斷安排在5－8年級，2000年的標準是安排在6－8年級。澳大利亞這個內容是安排在小學高年級 。全國初中新課程教材實驗情況巴桑卓瑪博士論文中的發(fā)現(xiàn) 她對1847位來自1－8年級共八個年級的中小學生進行了測試問卷調查，獲得

25、有效問卷1256份。她的其中一個研究內容是學過統(tǒng)計（已進入新課程實驗）和沒學過統(tǒng)計（尚未進入新課程實驗）的學生對樣本和抽樣方法的認識情況，具體地，她考察了學生如何直觀地認識樣本大小、他們怎么選擇樣本和他們如何判斷樣本的好壞這三個方面。,她的發(fā)現(xiàn)是,樣本知識需要教，否則學生不理解。學過和沒有學過統(tǒng)計的1～2年級的學生基本不理解樣本，他們認為調查就要問所有人，不理解總體與樣本的關系。學過和沒有學過統(tǒng)計的1～4年級的學生對樣本的理解水平沒有統(tǒng)

26、計意義的差異。學生比較容易認識樣本要具有代表性，但不太容易認識樣本具有隨機性的重要。學過統(tǒng)計的4～8年級的學生認識到樣本隨機性的學生比例明顯高于沒有學過統(tǒng)計的同齡學生，但在此比例最高的學過統(tǒng)計的8年級學生中，也只有16％，在沒有學過統(tǒng)計的學生中各年級均不超過2％。非隨機的分層抽樣思想從3年級起明顯增多，在沒學過統(tǒng)計的初中生中大概占50%左右，在學過統(tǒng)計的初中生中，這個比例大約是 80%。,具有分層抽樣思想（非隨機）,具有隨機抽樣思想

27、,對樣本概念的分析,“樣本，也稱子樣，是指從被抽樣總體中抽取并要對其進行調查或觀察的部分單位所組成的集合體。”“從所研究對象的全體（即總體）中抽出的部分個體叫做總體的一個樣本。” 統(tǒng)計的基本思想是通過調查或觀察樣本來了解或推斷總體的數(shù)量特征。因此，樣本概念教學應呈現(xiàn)兩層含義，一是樣本與總體的部分與整體的關系，二是樣本對了解總體的意義。兩層中的第一層是基本的。,樣例式歸納概念的效果,王秀軍（2003）：中學生對抽樣知識的理解

28、通過對尚未正式學習過抽樣知識的7年級，8年級，10年級和11年級的共723名學生的測試和對其中76名學生的訪談，主要研究了中學生對樣本概念、抽樣信息的利用和抽樣方法的認識這三個問題。 測試題1．為了知道一鍋湯的味道，媽媽從鍋里舀了一勺湯嘗一嘗，那么這勺湯就是這鍋湯的一個樣本。請你再舉出三個樣本的例子。,王秀軍對第一個問題的發(fā)現(xiàn),各個年級中都有超過60％的學生能夠在閱讀一個說明樣本概念的樣例之后，自己再完整或較完整地給出至少一個樣

29、本的例子，共約有45％的學生能夠完整或較完整地給出三個這樣的例子。高中學生例子中的抽樣背景與樣例中的背景相比有很大的改變，有的還在抽樣過程主動提出了一些抽樣方法。相比之下，初中學生所舉例子的背景變化不大，主要還是以品嘗食品為主，傾向于對概念機械地模仿。,但從學生的回答中也發(fā)現(xiàn)有錯誤認知：認為樣本是樣板、雛形等地球儀就是地球的樣本。 如果復印十張卷子，那么復印原稿就是樣本。隨著學生年齡增長，重點班學生自己能克服，但是普通班的學生卻

30、沒有多大變化。也存在以下幾種回答： 既沒提樣本的意義，也沒有認識到部分與整體關系的回答，例如我要寫字，筆就是樣本。要擦窗，抹布就是窗的樣本。要用花插在瓶中，瓶子就是花的樣本。筆是鉛筆盒的一個樣本。用新筆在紙上寫幾個字來判斷筆油的質量，寫在紙上的字是樣本。,只提樣本意義但沒認識到部分與整體關系的回答 為了知道學生們了解多少知識，老師可以通過考試來檢驗。為了知道筆好不好寫，你可以在紙上試試。為了知道這張錢是真還是假，你可以用驗

31、鈔機來判斷。 為了知道一道菜的味道可以用筷子去夾；為了知道房間里放了什么東西可以用鑰匙打開門。 認識到部分與整體關系但沒提樣本意義的回答一包餅干中的一塊；一包糖中的一個；一包茶葉中的一片。 一桶油漆，倒出一點就是樣本。墻紙，撕下一點也是樣本。要銷售一盒鉛筆，拿出一支也是樣本。,按不同認識水平分類的各年級學生所給的例子總數(shù),樣本的代表性,《中國中學生報》（http://www.ccppg.com.cn）在網上就“你對老師講課時 ‘

32、拖堂’現(xiàn)象的態(tài)度”進行了調查，2001年11月19日網上顯示的調查結果是,統(tǒng)計圖表的制作與閱讀,各種統(tǒng)計圖的特長,不同類數(shù)據在數(shù)量上的差別,不同類數(shù)據在總量中所占的份額,各種統(tǒng)計圖的特長（2）,數(shù)據隨時間的變化發(fā)展趨勢,兩個變量之間的關聯(lián)關系,讀結構簡單統(tǒng)計表,,1990——2002年各種文化程度人口占總人口的比重 單位：％,從標題去尋找主要信息和限定信息,橫行標題,,縱欄標題,,總標題,,主詞欄,,,識破統(tǒng)計圖的誤導,誤導：夸

33、大差異因為面積比是相似比的平方,表達信息,有一個體育記者在寫一篇評論，他希望在文章旁配一個形象的圖給讀者留下奧運會男子100米冠軍成績提高得很快的印象，請你幫他設計這張圖。一般地,如果我們要給讀者留下變化很快的印象，我們可以怎樣設計圖?,每個學生摸10次，要求學生記錄恰好摸出2個黑色棋子的次數(shù),初中生能夠學習散點圖并直觀地判斷變量之間的關系嗎？,下圖是根據某一小隊學生的身高體重所繪制的統(tǒng)計圖，觀察圖形，回答下列問題

34、：1、這一組中，身高最高的同學體重大致為 公斤；最矮的同學體重大致有 公斤；2、這一組中，身高最高的同學是體重最重的嗎？ ；身高最矮的同學是最輕的嗎？ ；3、觀察上圖，請你描述一下這組同學身高與體重的關系？,,閱讀統(tǒng)計圖獲取信息的3個水平,年齡與消費支出結構變化,哪一年齡段的消費支出最大？ （基礎水平）哪一年齡段有回報的消費支出（包括投資理財、教育支出）投入最多？（

35、中級水平）你能分析一下不同年齡的人在消費支出上有何不同特點？（高級水平）,概括一組數(shù)據的信息,中位數(shù)和眾數(shù)有認識基礎，平均數(shù)的意義最復雜平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各有優(yōu)缺點，使用什么指標作為一組數(shù)據的代表，取決于這組數(shù)據分布本身。方差的教學要講道理概括提煉總體中心位置、離散程度的統(tǒng)計量拋棄了許多總體信息，把握總體最直接的辦法還是看分布,平均數(shù)的意義,平均數(shù)的意義,假設我們得到了2個數(shù)據。令 為平均數(shù)，證明 a是與

36、x、y這2個數(shù)據差的平方和達到最小的實數(shù)，即對任意的實數(shù)b有 ≤ 。平均數(shù)使誤差平方和達到最小樣本容量很大時，樣本平均數(shù)近似服從正態(tài)分布,,,,,錯誤1 在計算平均數(shù)時不把數(shù)值為0的數(shù)據考慮在內錯誤2 看平均水平就是看平均數(shù)錯誤3 將加權平均數(shù)的問題處理成簡單的算術平均數(shù)問題,關于平均收入的熱點新聞,2004年初的新聞：“北京近六成居民

37、收入低于全市平均線，貧富差距繼續(xù)拉大”；2008年7月國家統(tǒng)計局發(fā)布的全國城鎮(zhèn)單位在崗職工平均工資及同比漲幅的數(shù)據，再次引出一片質疑和爭議。 受人關注的主要原因關系國家民生問題，與每一個國民都有切身利益的相關，老百姓不禁要問：我們這里情況如何？這個結果與有些人心中期望的“平均線”位置不符，引起警覺，他們認為有一半人高于平均線一半人低于平均線才是正常的，現(xiàn)在是六成低于平均線，應該是經濟領域或分配出問題了。,高一（2）班有45人，擬采

38、用無記名投票方式從5名候選人中選出3名干部，選舉規(guī)則為每人必須投且只投一票，限在候選人中選擇，候選人獲票數(shù)居前3名的當選。在當選的3名候選人中，由票數(shù)高低決定分別進入校學生會、擔任班長和副班長。由事前的民意調查得知，候選人張某的支持率剛好達平均數(shù)，如果張某決定投自己一票，請在下面預測張某當選結果的正確選項后的括號內打“√”：A．可能進入校學生會（ ） B．可能擔任班長（ ）C．一定當選（）　　　　　D．可能落選（ ）,促進理解

39、－－以標準差概念為例,公式怎么來的？為什么要求差？為什么要平方？為什么要相加？為什么要除以n？為什么要開方？,,數(shù)學現(xiàn)實,問題1上海每日最高氣溫統(tǒng)計表（單位：℃）2月21日2月22日2月23日2月24日2月25日2月26日2月27日2月28日2001年 12 1314 22 6 8 9 122002年 13 1312

40、 9 11 16 12 10據此這兩年同期8天氣溫孰高孰低？氣溫變化哪個更大？,平均氣溫都是12℃說說你對兩組氣溫數(shù)據觀察之后的感覺思考：什么樣的指標可以反映一組數(shù)據變化范圍的大?。繕O差,引向方差,問題2,平均數(shù)都是13，但是小明的成績大都集中在13分附近，感覺比較穩(wěn)定，而小兵的成績則不然。那么什么樣的指標能反映這種“散”的感覺？ 離開平均數(shù)的遠近程度

41、？各數(shù)據與平均值的差再累加？試一試，不行？再想新的指標，試一試，比一比若有7次測試，小明缺席2次，你的指標還合理嗎？,背離均值,兩組數(shù)據的平均數(shù)不相等呢？,這時通過比較方差來判別差異大小的方法還管用嗎？要比較初一學生之間身高差異大還是初三學生之間身高差異大要比較身高差異大還是體重差異大（測量單位都不同了）,窗戶紙上捅個洞,兩組數(shù)據：5，6，7，8，9和105，106，107，108，109，它們是兩種產品加工后的尺寸，第一

42、組要求加工后產品的尺寸是7cm，第二組則要求是107cm。憑直覺（或者在同一個坐標系中表示它們），生產第二組產品的工藝好于第一組，因為第二組產品的尺寸比第一組產品的尺寸穩(wěn)定。但是這兩組數(shù)據的方差一樣大引入一個新指標――標準差除以平均數(shù)后得到的比值，就與我們的感覺一致了，這個新指標統(tǒng)計上叫做標準差變異系數(shù)，它更能體現(xiàn)變異的相對性。,比較兩個班級同學的身高狀況,通常可以通過平均值來判斷，但有時候僅僅通過平均數(shù)是不夠的，如果一個班同學之間

43、身高差異很大，而另一個班同學之間身高差異很小，即使前一個班的平均高一些，也不能說這個班的整體身高較高。因此，在判斷身高狀況時，不僅要看平均值，還需要參考方差，甚至可以進一步要求學生把身高分段，畫出頻數(shù)直方圖，并引導學生討論：通過直方圖是否能得到更多的信息？,通過樣本了解總體,觀察、試驗等調查手段是人們了解和認識世界的重要途經，通過樣本了解總體是統(tǒng)計的基本思想，但重新抽樣可能得到另一個樣本、另一個結果，這是隨機性的體現(xiàn)。如果結果變化較大，

44、需要增加樣本容量了解總體估計概率、數(shù)學期望,抽樣的“放回”與“不放回”,有放回的抽樣能夠使一個個體是否被抽到不影響其他個體被抽到的概率，于是個體之間保持相互獨立的關系。從理論上說有無放回對研究結果應該是有影響的。我們對總體作抽樣調查時，常常一下子選取數(shù)十個或數(shù)百個調查對象，這就不是放回的抽樣，但當總體足夠大時，這樣得到的結果與放回的抽樣得到的結果非常接近。統(tǒng)計人員通常約定，當樣本數(shù)不超過總體數(shù)的5％時，就稱為總體是足夠大的。,讓學生

45、相信抽樣方法有效是關鍵,總體情況是客觀存在的，但是它并不總是能夠用明確的一個數(shù)字或式子來表達。比如，全世界的人口數(shù)。說不出真實值，能夠說出近似值也很好。用抽樣調查方法，就是在借助理論盡量給出與真實值接近的估計值。,讓學生相信抽樣方法有效（續(xù)）,2.“當樣本容量足夠大時，將由幾個樣本得到的估計值取平均數(shù)，該數(shù)與總體的真實值非常接近”這一點雖然已經被證明，但教學中仍應經常組織學生經歷相關的驗證活動，如用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù),樣本平均數(shù)估

46、計總體平均數(shù)行嗎？,樣本數(shù)：10,樣本大小不同的幾次抽樣,樣本數(shù)：50,樣本數(shù)：100,樣本大小為５００的三次抽樣,用樣本百分比估計總體百分比,,,30天樣本各級別空氣質量天數(shù)及所占百分比,全年各級別空氣質量天數(shù)及所占百分比,對樣本的要求,樣本容量合適有代表性學生更相信分層抽樣能夠得到好的樣本而不是簡單隨機抽樣（抽簽法）各有適用范圍，要選用合適的。在樣本數(shù)目較小，而樣本之間差異又較大時，經過合理分層的分層抽樣的確優(yōu)于簡單隨機抽樣

47、在教簡單隨機抽樣時，要重視組織學生開展統(tǒng)計活動，讓學生切實感受在很多情形下，簡單隨機抽樣得到的樣本對總體有著令人滿意的代表性,簡單隨機抽樣5名學生,簡單隨機抽樣20名學生,簡單隨機抽樣40名學生,,隨機事件的概率,隨機事件的概率（可能性、機會是通俗稱呼）概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量。概率有多種定義，不同的場合可能需要不同的定義概率的古典定義概率的頻率定義概率的幾何定義（如圓周率的概率求法）概率的主觀定義概率的公理化定

48、義,古典概率,在古典方法中，事件A的概率主要是通過計算A中所含的樣本點的個數(shù)和樣本空間中所含的樣本點的個數(shù)之比得到的，所以經常要用到排列數(shù)和組合數(shù)。隨機現(xiàn)象只有有限個樣本點，且每個樣本點發(fā)生的可能性相等 中小學多用樹狀圖和列表法，復雜情況才去用排列組合不需要做大量重復試驗，進行的是邏輯分析,通過反復試驗估計概率,頻率肯定會穩(wěn)定，用穩(wěn)定的頻率值估計概率值試驗次數(shù)足夠多時，理論概率與試驗中隨機事件實際的發(fā)生頻率非常接近，用概率論的貝

49、努里大數(shù)定律來說，就是“隨機事件發(fā)生的頻率依概率收斂于其概率”。,頻率是近似值，求它有意思嗎？,一些情況下不能使用古典概率模型或幾何概率模型一些情況下你不會從理論上計算概率值近似的精度可以達到很高,還不會從理論上計算,生日問題：45個人中至少有兩人生于同月同日的概率是多大？,,模擬實驗的方法,理論的方法,全班討論--分頭實驗，記錄數(shù)據--小組匯總數(shù)據--全班匯總數(shù)據--全班討論,全班實驗中一共成功的次數(shù)/全班一共實驗的次數(shù)?？,

50、,也可以借助隨機數(shù)的實驗模擬,一年365天某人出生于某一天 45人中至少有兩人生日相同第一批45個人中有相同生日的人嗎？第二批呢？。。。第1000批呢？,1,2,3…,365在這365個數(shù)中產生一個隨機數(shù) 產生的45個隨機數(shù)中至少有兩個數(shù)相同若有相同生日的人,放一顆豆進筐做了1000次實驗后,統(tǒng)計筐內共有多少豆,估計的精度如何,REPEAT 1000 GENERATE 45 1,365 a MULTIPLE

51、S a >= 2 j SCORE j zENDCOUNT z >= 1 kDIVIDE k 1000 kkPRINT z kkHISTOGRAM z,只用了1.5秒，計算機就完成了這個1000次的模擬試驗，有940次都出現(xiàn)了45個人中至少有兩人生于同月同日這種情況，所以估計所求概率為0.940,一廠家為推銷其產品，在其每一份產品中都夾入一張明星的照片。假設廠家一共選擇了三位明星，每份產品夾入哪位明星的照片是等

52、可能的，問平均要買多少份該產品才能集齊一套明星照？,用計算器模擬,理論解法,第一次買，得到第一張圖片的概率1第二次買，得到第二張圖片的概率是多少？平均買多少包可以得到第二張圖片？n2第三次買，得到第三張圖片的概率是多少？平均買多少包可以得到第三張圖片？n3要湊齊3張圖片，平均要買1＋n2＋n3一個準備問題：已知概率p，平均要嘗試多少次才發(fā)生？,已知概率p，平均要嘗試多少次才發(fā)生？,要擲出“6”，平均要嘗試多少次？擲1

53、次，得“6”的概率是1/6擲2次，才得“6”的概率是(5/6)(1/6)擲3次，才得“6”的概率是(5/6)2(1/6)擲n次，才得“6”的概率是(5/6)n-1(1/6)平均值（期望）M＝M-5/6M?M＝6一般地，平均要嘗試1/p次 （從概率的意義再理解）,理論解法,第一次買，得到第一張圖片的概率1第二次買，得到第二張圖片的概率是2/3 平均買3/2包可以得到第二張圖片第三次買，得到第三張圖片

54、的概率是1/3 平均買3包可以得到第三張圖片要湊齊3張圖片，平均要買 1＋3/2＋3/1= 5.5 (包）,Monty Hall Dilemma（羊與車）,在一個游戲中有三個門，只有一個門后面有車，另外兩個門后面是羊。你想要車，但你不知道哪一個門后面有車。主持人讓你隨便選了一個門。比如說，你選擇了1號門。但你還不知道你是否選到了車。然后主持人打開了另一扇門，比如3號。你清楚地看到3號門后面是一只

55、羊。現(xiàn)在主持人給你一個改變主意的機會。請問你是否會換（選成2號門）？,對概率的常見錯誤認知,誤以為概率與運氣、如何操作等有關，不可度量誤以為概率是用來預測結果是否發(fā)生的誤以為每個結果發(fā)生的概率都一樣誤以為重復試驗是需要，但是不要做大數(shù)次分解多步試驗再用“簡單合成”來判斷,題目,學校里有200個女同學，1000個男同學，學校里每個同學的名字都各自寫在一張小紙條上，放入一個盒中攪勻。如果校長閉上眼睛隨便從盒中取出1張紙條，那么下面哪

56、個說法是正確的？a) 抽到男同學的可能性比抽到女同學的可能性大b) 抽到男同學的可能性比抽到女同學的可能性小c) 抽到男同學的可能性與抽到女同學的可能性一樣大d) 無法比較這兩種可能性的大小,一個高三學生對我說… …,可能性和概率不能劃等號，可能性說的是日常生活中的問題，概率是數(shù)學，看問題時可以結合概率考慮。我們數(shù)學老師說拋擲一個硬幣那么得到正面的概率是1/2，但是，如果拋1000次，按概率應該500對500，但我敢保證她擲出的

57、結果肯定不會是500對500，所以，我認為無法判斷取出男同學名字的可能性大還是取出女同學名字的可能性大。,隨機與規(guī)律,機會不可比較的例子,因為這張紙條可以是男同學的名字也可以是女同學的名字。當抽出一個女同學的名字的時候，說明抽出一個女同學的可能性大。 當抽出一個男同學的名字的時候，又說明抽出一個男同學的可能性大，所以我認為無法比較這兩種可能性的大小。,機會均等的例子,可能性一樣大。第一次抽出70張紙條后，盒子里還剩 770 張紙條，36

58、5 張女同學的 405 張男同學的名字。女同學的概率是 47%，男同學的是53%. 也就是說，如果抽 100 次, 那么 47 次會是女同學的名字，53 次會是男同學的名字。兩者的區(qū)別不大，如果你只抽一次的話，那么男同學和女同學機會應該是一樣的。,一道給7年級（下）學生的考題,在一個黑色不透明的口袋中放了一個紅球，一個黑球，八個黃球，如果一次從口袋中拿出三個球，①請寫出拿球過程中的必然事件、可能事件、不可能事件各一件；②如果一次取出三

59、個球，有一個紅球的機會有多大（不能只寫出結果，要說明理由）,天氣預報問題,“明天下雨的機會是80%”是什么意思?,一位6年級學生這樣回答：意思就是明天會下雨。因為80% 很接近100%了，通常超過50%時,意思就是會下雨。,真實的意思是：如果有100個這樣的天氣情況，那么在這100天中，大約會有80天下雨。,一位數(shù)學家將一些黑球和一些白球裝入一個布袋中并攪勻，他并不確切地知道袋里有多少只黑球和白球。攪勻后他看了看，然后預言說: “蒙上

60、眼睛從袋中取出一只球，正好是一只白球的機會是50％。”與“取出一只球，正好是一只白球的機會是50％”意思最接近的是 a) 他取出的球可能是白球，也可能是黑球，他自己也不知道會取出什么結果b) 假如這個游戲重復10次，在這10次游戲中，有5次左右他會取出白球c) 假如這個游戲重復100次，在這100次游戲中，恰

61、好有50次他會取出白球d) 假如這個游戲重復100次，在這100次游戲中，有50次左右他會取出白球,重復無益,題目中有重復次數(shù)少的與多的，他們會兩個都選或者選小的,選兩個，因為一樣的，數(shù)據正好匹配選小的，因為不必重復，多做容易不準；做得少才說明有本事,簡單復合法的例子,甲袋: 8 只紅球，16只黑球 乙袋: 50只紅球，70只黑球 閉上眼睛從兩個口袋中各取出一球,一學生回答說：取出兩個黑球的可能性最大，因為甲袋中取出一只黑球的可

62、能性更大，乙袋中也是取出一個黑球的可能性更大，所以取出兩個黑球的可能性最大。,反復拋擲一枚硬幣，對記錄的數(shù)據進行統(tǒng)計與觀察，你會發(fā)現(xiàn)正面朝上與反面朝上的次數(shù)這兩個數(shù)據逐漸接近，當拋擲硬幣的次數(shù)趨向無限大時，正面朝上與反面朝上的機會是相等的有三個問題：頻率變化變小卻有可能相應的頻數(shù)變化變大。實驗次數(shù)從400增加到1000，頻數(shù)差距擴大但頻率差距縮小沒什么可奇怪的。觀察實驗結果時，我們應該關注頻率而不是頻數(shù)硬幣正面朝上和朝下的機會都是

63、確定的，并不要求次數(shù)趨向無限大這樣的前提 這里的極限并不是數(shù)學分析中定義的極限，而是“依概率收斂”于概率,開展統(tǒng)計活動：對教師的挑戰(zhàn),寓教于樂但要落實教學目標割裂三維目標，空泛羅列理念；憑教學者的個人感覺和愿望設計教學目標，缺乏課時操作性 ；完成教學目標的行為主體不明 美國學者馬杰（R.Mager）提出，教學目標主要有五個方面的功能：導向功能；測度功能；控制功能；交流功能；激勵功能. 應具有3個要素：行為、條件、標準,知識與技能

64、掌握并運用列表法、樹狀圖來計算簡單事件發(fā)生的概率過程與方法經歷實驗、統(tǒng)計等活動過程，在活動中進一步發(fā)展學生的合作交流意識，學會求簡單事件的概率的方法情感態(tài)度價值觀培養(yǎng)應用概率解決問題的能力，感受其實際價值,一教師 “概率的預測”教學目標,下面是從天河區(qū)東圃鎮(zhèn)走高速公路來星海中學的示意地圖，若在①、②兩岔路口沒有路標的指引，請同學們算一算老師們從東圃出發(fā)，無需繞道能準確到達星海中學的概率。,,答：,但學生答：,人類的性別比是

65、自然平衡的，男女性別比約為1∶1。但在我國少數(shù)地區(qū)由于受“傳宗接代”的思想影響，某地近十年來新生兒性別比嚴重失調，男女性別比達到了1.2∶1。有人分析認為，導致新生兒性別比例嚴重失調的主要原因有以下三種：（1）當?shù)卣?guī)定：任何一位母親，若第一胎生男孩就不能再生第二胎了；如果第一胎生的是女孩，還可以生第二胎，但絕不能生第三胎。（2）當?shù)卣疀]有采取措施獎勵生女孩的家庭。（3）當?shù)蒯t(yī)院有用“B超”進行非法性別鑒定的現(xiàn)象，導致許多被鑒

66、定為女性的胎兒人為流產了。 請你用所學概率知識分析一下，如果不考慮其他因素，在上面提到的三種因素中，哪些因素真正能引起新生兒性別比失調？哪些因素則對性別比影響不大，甚至根本沒有影響？如果你是決策者，你準備采取何種措施？,2006年德國世界杯賽德國隊與阿根廷隊晉級半決賽的關鍵比賽中，當?shù)聡桶⒏蓮姴坏貌煌ㄟ^點球決勝時，德國隊守門員教練科普克遞給萊曼一張紙條，結果后者四次全部判斷對方向，并先后撲出阿亞拉和坎比亞索的射門。這張神

67、奇的“點球紙條” 最終幫助德國隊在點球決戰(zhàn)中以4∶2淘汰了阿根廷隊。,聯(lián)系相關的統(tǒng)計概率知識，談談你對這則故事的看法。,萊曼的神秘紙條,教學目標中“過程與方法”、“情感與態(tài)度”,基本活動經驗是指學生親自或間接經歷了活動過程而獲得的經驗。它獲得于知識、技能、思想、態(tài)度的形成過程之中?；舅枷胫饕敢婚T學科教學的主線或一門學科內容的詮釋架構和邏輯架構，它揭示知識本身蘊涵的思維形式和思維方法。要寫好第二維目標好奇心、求知欲、成功體驗、

68、意志、自信心、鑒賞、數(shù)學特征與精神、意識、態(tài)度、習慣,“概率的預測”教學目標,（1）能正確畫出兩步隨機事件的樹狀圖，列舉出所有機會均等的結果，利用概率計算公式求出概率。（2）通過對錯誤想法的辨別或拋硬幣和摸球實驗，體會到“排序”和“編號”在分析多步事件的概率，得出機會均等的所有結果這個過程中的重要性，認識到預測概率是實驗概率之外研究概率的另一重要途徑。（3）體會用樹狀圖來預測概率的合理性與便利性，認可從理論上預測概率的價值。,利用概