數(shù)學(xué)模型答案

1、長方形椅子能否在不平的地面上放穩(wěn)嗎？【問題提出】日常生活中有這樣的現(xiàn)象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需稍微挪動(dòng)幾次，一般都可以使四只腳同時(shí)著地試從數(shù)學(xué)的角度加以解釋【模型假設(shè)】為了明確問題，對(duì)上述現(xiàn)象中的有關(guān)因素在符合日常生活的前提下，作出如下假設(shè)：（1）椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處視為一點(diǎn)，四腳的連線呈長方形（2）地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷(沒有像臺(tái)階那樣的情況)，即從數(shù)學(xué)的角

2、度看，地面是連續(xù)曲面這個(gè)假設(shè)相當(dāng)于給出了椅子能放穩(wěn)的必要條件（3）椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地為保證這一點(diǎn)，要求對(duì)于椅腳的間距和椅腿的長度而言，地面是相對(duì)平坦的因?yàn)樵诘孛嫔吓c椅腳間距和椅腿長度的尺寸大小相當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)，如果出現(xiàn)深溝或凸峰(即使是連續(xù)變化的)，此時(shí)三只腳是無法同時(shí)著地的【建立模型】在上述假設(shè)下，解決問題的關(guān)鍵在于選擇合適的變量，把椅子四只腳同時(shí)著地表示出來首先，引入合適的變量來表示椅子位置的挪動(dòng)生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，要把椅

3、子通過挪動(dòng)放穩(wěn)，通常有拖動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)椅子兩種辦法，也就是數(shù)學(xué)上所說的平移與旋轉(zhuǎn)變換然而，平移椅子后問題的條件沒有發(fā)生本質(zhì)變化，所以用平移的辦法是不能解決問題的于是可嘗試將椅子就地旋轉(zhuǎn)，并試圖在旋轉(zhuǎn)過程中找到一種椅子能放穩(wěn)的情形注意到椅腳連線呈長方形，長方形是中心對(duì)稱圖形，繞它的對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180度后，椅子仍在原地把長方形繞它的對(duì)稱中心O旋轉(zhuǎn)，這可以表示椅子位置的改變。于是，旋轉(zhuǎn)角度θ這一變量就表示了椅子的位置為此，在平面上建立直角坐標(biāo)系來解

4、決問題如下圖所示，設(shè)椅腳連線為長方形ABCD，以對(duì)角線AC所在的直線為x軸，對(duì)稱中心O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系椅子繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度θ后，長方形ABCD轉(zhuǎn)至A1B1C1D1的位置，這樣就可以用旋轉(zhuǎn)角θ（0≤θ≤π）表示出椅子繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)θ后的位置其次，把椅腳是否著地用數(shù)學(xué)形式表示出來我們知道，當(dāng)椅腳與地面的豎直距離為零時(shí)，椅腳就著地了，而當(dāng)這個(gè)距離大于零時(shí)，椅腳不著地由于椅子在不同的位置是θ的函數(shù)，因此，椅腳與地面的豎直距離也是

5、θ的函數(shù)由于椅子有四只腳，因而椅腳與地面的豎直距離有四個(gè)，它們都是θ的函數(shù)而由假設(shè)(3)可知，椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地，即這四個(gè)函數(shù)對(duì)于任意的θ，其函數(shù)值至少有三個(gè)同時(shí)為0因此，只需引入兩個(gè)距離函數(shù)即可考慮到長方形ABCD是中心對(duì)稱圖形，繞其對(duì)稱中心O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180后，長方形位置不變，但AC和BD對(duì)換了因此，記（1111），（1110），（1101），（1011），（1010）；（0000），（0001），（0010）

6、，（0100）（0101）.六模型的求解模型的求解經(jīng)過連線求解可以知道有以下圖形：上圖又可以簡化為：即：圖6.1人貓雞米過河示意圖七結(jié)果分析結(jié)果分析從圖看出有二解，分別是經(jīng)過（0001）到（0000）和經(jīng)過（0100）到（0000）而它們是等優(yōu)的。實(shí)物交換一問題描述：用實(shí)物交換模型中介紹的無差別曲線的概念，討論以下雇員與雇主之間的協(xié)議關(guān)系:(1)以雇員一天的工作時(shí)間和工資分別為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，畫出雇員無差別曲線族的示意圖.解tw釋曲線問

7、什么是你畫的那種形狀。(2)如果雇主付計(jì)時(shí)工資，對(duì)不同的工資率（單位時(shí)間的工資）畫出計(jì)時(shí)工資線族，根據(jù)雇員的無差別曲線族和雇主的計(jì)時(shí)工資線族，討論雙方將在怎樣的一條曲線上達(dá)成協(xié)議。(3)雇員和雇主已經(jīng)達(dá)成了一個(gè)協(xié)議（工作時(shí)間和工資）。如果雇主想使雇員的工作時(shí)間增加到1t1w，他有兩種辦法：一是提高計(jì)時(shí)工資率，在協(xié)議線的另一點(diǎn)（，）達(dá)成新的協(xié)議；而是實(shí)行超2t2t2w時(shí)工資制，即對(duì)工時(shí)仍付原計(jì)時(shí)工資，對(duì)工時(shí)付給更高的超時(shí)工資。試用作圖的方