04專項(xiàng)-奇妙的方格表

1、奇妙的方格表奇妙的方格表方格表是人們最熟悉最簡(jiǎn)單的圖形之一，但這個(gè)簡(jiǎn)單的圖形卻可以說是一個(gè)廣闊的數(shù)學(xué)天地，其中包含著許許多多奇妙的數(shù)學(xué)問題許多問題看起來非常簡(jiǎn)單非常有趣，但卻要用到許多數(shù)學(xué)方法，蘊(yùn)含著許多深刻的道理這些方法和道理在我們以后的學(xué)習(xí)中將經(jīng)常用到一、計(jì)數(shù)問題一、計(jì)數(shù)問題例1下圖中共有多少個(gè)矩形？分析分析如果直接數(shù)，很容易遺漏或者重復(fù)為了避免遺漏或重復(fù)，可以將圖形中的各種矩形按形狀大小分類，分別計(jì)數(shù)后再相加在分類計(jì)數(shù)中如果能發(fā)現(xiàn)

2、規(guī)律，那就更簡(jiǎn)單了解法1：在已知的方格表中，“□”共有53=15個(gè)，“□□”共有43=12個(gè)，“□□□”共有33＝9個(gè)，…如此進(jìn)行下去，把各類矩形的個(gè)數(shù)相加，可得矩形總數(shù)為90個(gè)解法2：將各類矩形列出表來（如下頁(yè)圖），分析各類矩形個(gè)數(shù)的算式，很容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，于是可得矩形總個(gè)數(shù)為：（1＋23＋45）（3＋2＋1）=90個(gè)格組成的正方形中都含有4個(gè)L形因此為了求L形的個(gè)數(shù)，只需先求“田”字形的個(gè)數(shù)解：在上頁(yè)的方格表的第1、2行中含有“田”字

3、形4個(gè)，第2、3行中也含4個(gè)，共有“田”字形8個(gè)，每個(gè)“田”字形對(duì)應(yīng)4個(gè)L形，因此共有L形48=32個(gè)說明：計(jì)數(shù)最基本的方法是分類討論如果在分類討論中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，就可以改進(jìn)算法例2中的計(jì)數(shù)方法利用了對(duì)應(yīng)的思想當(dāng)直接計(jì)算某一事物的個(gè)數(shù)有困難時(shí)，往往可以先轉(zhuǎn)化成計(jì)算另一事物的個(gè)數(shù)，有一門通向外面一只耗子從最中間的房間出發(fā)，想走遍各個(gè)房間，且每個(gè)房間只經(jīng)過一次，最后從右下角出來，這樣是可否能？如果可能，該怎么走？解：將27個(gè)小正方體相間染成黑、

4、白兩色（如圖），共13個(gè)房黑間，14個(gè)白房間，中間房間是黑色如果從中間房間出發(fā)，每個(gè)房間經(jīng)過一次，共需經(jīng)過12個(gè)黑房間（除中間房間外）、14個(gè)白房間但是與黑房間相鄰的都是白房間，與白房間相鄰的都是黑房間，路線只能是：黑—白—黑—白…這是不可能實(shí)現(xiàn)的如果改從任一個(gè)（不是右下角的）白房間出發(fā)，就能達(dá)到目的請(qǐng)自己設(shè)計(jì)路線三、抽屜原理三、抽屜原理例6能否在88的方格表的每個(gè)方格中寫上0、1、2中的一個(gè)數(shù)，使每行、每列以及兩條對(duì)角線上各數(shù)之和都互

5、不相等？解：8行、8列及兩條對(duì)角線共有18個(gè)和數(shù)，將這18個(gè)和數(shù)作為“蘋果”8個(gè)數(shù)（每個(gè)數(shù)是0、1、2中的一個(gè)）的和最小是0，最大是16，共有17種不同的和，將這17個(gè)不同的和作為“抽屜”根據(jù)抽屜原理，必有一個(gè)“抽屜”中存在2個(gè)或2個(gè)以上的“蘋果”，這就是說，在18個(gè)和數(shù)中至少有2個(gè)相等，不可能都互不相等例7在55的方格表中，任意挖去一個(gè)方格后，是否總能用8個(gè)解法1：如右圖，將55的方格表挖去一格（陰影）后，剩下的24住a格，需要用一個(gè)