[學(xué)習]概率統(tǒng)計課件ch5大數(shù)定律、中心極限定理_第1頁
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文檔簡介

1、5.1 大數(shù)定律5.2 中心極限定理,第五章 大數(shù)定律與中心極限定理,5.1 大數(shù)定律,事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性,即隨著試 驗次數(shù)的增加,事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn) 定于某個常數(shù)。,一、大數(shù)定律引入的客觀背景,,字母使用頻率,生產(chǎn)過程中的廢品率,……,大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性,二、頻率的穩(wěn)定性的實質(zhì),或,有,頻率依概率收斂于概率,設(shè) 是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù), p是每次試驗中事件

2、A發(fā)生的概率,則對任 給的ε> 0,,定理1(貝努里大數(shù)定律),或,貝努里,三、貝努里大數(shù)定律,證明貝努里大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式.,設(shè)隨機變量X有期望E(X)和方差 ,則對于任給 >0,,貝努里大數(shù)定律表明:當重復(fù)試驗次數(shù)n充分大時,事件A發(fā)生的頻率μn /n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.,貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗來確定 事 件概率的方法.,蒲豐投針

3、問題中解法的理論依據(jù)就是大數(shù)定律,當投針次數(shù)n很大時,用針與線相交的頻率m/n近似針與線相交的概率p,從而求得π的近似值.,針長L,線距a,思考 :用蒙特卡洛方法如何計算定積分?(隨機投點法) 設(shè)0?f(x)?1,求定積分,如何計算[a,b]上的定積分呢?,四、 常用的幾個大數(shù)定律,1.大數(shù)定律的一般形式,定義 設(shè)有一隨機變量序列{Xn},如果對任 給的ε> 0,,則稱隨機變量序列{Xn}服從大數(shù)

4、定律,定理2(切比雪夫大數(shù)定律),設(shè) X1,X2, …是一列兩兩不相關(guān)的隨機變量序列,它們都有有限的方差,并且方差有共同的上界,即 Var(Xi) ≤c,i=1,2, …,則對任意的ε>0,,切比雪夫,,2.切比雪夫大數(shù)定律,不再是隨機的了,取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.,即當n充分大時,,差不多,切比雪夫大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述,注:,(2)切比雪夫大數(shù)定律只要求{Xn}互不相關(guān),并不要求同分布.當{Xn}

5、獨立同分布,且方差有限時, {Xn}必定服從大數(shù)定律.即得以下定理3.,定理3(切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況),設(shè)X1,X2, …是獨立且具有相同的期望和方差的隨機變量序列,即E(Xi)= ,D(Xi)= , i=1,2,…,則對任給 >0,,注:貝努里大數(shù)定律是定理3的特特情況.,事實上,設(shè)μn是n重貝努里試驗中事件A發(fā) 生次數(shù), P是事件A發(fā)生的概率,,引入,i=1,2,…,n,是事件A發(fā)生的頻率,,3.

6、馬爾可夫大數(shù)定律,對隨機變量序列{Xn},若,定理4,則隨機變量序列{Xn}服從大數(shù)定律,即對任意的ε>0,有,馬爾可夫條件,注:(1)馬爾可夫大數(shù)定律的條件較弱.它沒有獨立性、不相關(guān)、同分布的假定,容易滿足。(2)切比雪夫大數(shù)定律可由馬爾可夫大數(shù)定律推出.,4.辛欽大數(shù)定律,設(shè)隨機變量序列X1,X2, …獨立同分布,具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ, i=1,2,…, 則對任給ε >0 ,,定理5(辛欽大數(shù)定律),辛

7、欽,辛欽大數(shù)定律不要求隨機變量的方差存在.,注:,辛欽大數(shù)定律為尋找隨機變量的期望值 提供了一條實際可行的途徑.,例如要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量,要收割某些有代表性的地塊,例如n 塊. 計算其平均畝產(chǎn)量,則當n 較大時,可用它作為整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個估計.,用蒙特卡洛方法計算定積分(平均值法),求,的值,例,因此,當n充分大時,,計算原理:,設(shè)X~U(0, 1),由大數(shù)定律,均值法步驟:,1) 產(chǎn)生在(0,1)上均勻分布的隨

8、機數(shù)xi,,2) 計算f(xi), n=1,2,…,N,n=1,2,…,N,即,3) 用平均值近似積分值,應(yīng)如何近似計算?請思考.,問:若用上述方法求,大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學(xué)形式表達了隨機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一:,它是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現(xiàn).,大數(shù)定律在理論和實際中都有廣泛的應(yīng)用.,平均結(jié)果的穩(wěn)定性,(一) 依概率收斂的定義定義 設(shè)隨機變量序列Y1,Y2,Y3,…,a是一常數(shù),若對于任意正數(shù)ε,有:,五、隨機變量序列的依概率收斂,

9、則稱隨機變量序列{Yn}依概率收斂于a 記為,(二) 依概率收斂的性質(zhì),見教材P145-146,補充性質(zhì):設(shè)隨機變量序列 ,f(x)為直線上的連續(xù)函數(shù), 則,5.2 中心極限定理,(一)中心極限定理引入的客觀背景,在實際問題中,常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生總影響.,,,,例如:炮彈射擊的落點與目標的偏差,就受著許多隨機因素的影響.,如瞄準時的誤差、空氣阻力所產(chǎn)生的誤差、炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤

10、差等等.,,,,這些隨機因素的總影響可表示成獨立隨機變量之和,,,當n無限增大時,這個和的極限分布是什么?,觀察表明,如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成,而每一個別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量(隨機變量的和)一般都服從或近似服從正態(tài)分布.,總之,在客觀實際中有許多隨機變量,它們是由大量相互獨立的隨機因素的綜合影響所形成的,而其中每一個因素在總的影響中所起的作用都是微小的,這種隨機變量往往近似地服從正態(tài)分布

11、。這種隨機變量可以表示成相互獨立的隨機變量的和,中心極限定理將研究這種和當 時的統(tǒng)計規(guī)律。,為方便起見,研究n個隨機變量之和的標準化的隨機變量,的分布函數(shù)的極限.,的分布函數(shù)的極限.,可以證明,滿足一定的條件,上述極限分布是標準正態(tài)分布.,考慮,中心極限定理,(二)獨立同分布的中心極限定理(林德貝爾格—勒維(lindeberg—levy)極限定理),[教材p147定理四] 若X1,X2,…是一列獨立同分布的隨機變

12、量,且EXi=μ,Var(Xi)=σ2(σ2>0),i=1,2,…, 則對任給的實數(shù)y,有,例 根據(jù)以往經(jīng)驗,某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布. 現(xiàn)隨機地取16只,設(shè)它們的壽命是相互獨立的. 求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率.,由題給條件知,諸Xi獨立,,16只元件的壽命的總和為,解: 設(shè)第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, …,16,E(Xi)=100, Var(Xi)=10000,依

13、題意,所求為P(Y>1920),由于E(Y)=1600,,Var(Y)=160000,由中心極限定理,,近似服從N(0,1),P(Y>1920)=1-P(Y?1920),=1-?(0.8),?1-,=1-0.7881=0.2119,(三)德莫佛—拉普拉斯(de Moirre-Laplace)極限定理,[教材P150定理六] 設(shè)μn是n重貝努里試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),又A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p(0<p<1

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