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1、第四章一維搜索法由第一章關(guān)于求解最優(yōu)化問題概述中我們知道,從已知迭代點(diǎn)nkRX?出發(fā)按照基本迭代公式kkkkPtXX???1來求解最優(yōu)化問題,其關(guān)鍵在于如何構(gòu)造一個(gè)搜索方向nkRP?和確定一個(gè)步長(zhǎng)1Rtk?,使下一迭代點(diǎn)1?kX處的目標(biāo)函數(shù)值下降,即)()(1kkXfXf??現(xiàn)在我們來討論,當(dāng)搜索方向kP已經(jīng)確定的情況下,如何來確定步長(zhǎng)kt?步長(zhǎng)因子的選取有多種方法,如取步長(zhǎng)為常數(shù),但這樣選取的步長(zhǎng)并不最好,如何選取最好步長(zhǎng)呢?實(shí)際計(jì)算
2、通常采用一維搜索來確定最優(yōu)步長(zhǎng)對(duì)無約束最優(yōu)化問題)(minXfnRX?,當(dāng)已知迭代點(diǎn)kX和下降方向kP時(shí),要確定適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)kt使??)(1kXf)(kkkPtXf?比)(kXf有所下降,即相當(dāng)于對(duì)于參變量t的函數(shù))()(kktPXft???要在區(qū)間]0[??上選取ktt?使)()(1kkXfXf??,即)0()()()(??????kkkkkXfPtXft由于這種從已知點(diǎn)kX出發(fā),沿某一下降的探索方向kP來確定步長(zhǎng)kt的問題,實(shí)質(zhì)上是單
3、變量函數(shù)()t?關(guān)于變量t的一維搜索選取問題,故通常叫做一維搜索按這種方法確定的步長(zhǎng)kt又稱為最優(yōu)步長(zhǎng),這種方法的優(yōu)點(diǎn)是,它使目標(biāo)函數(shù)值在搜索方向上下降得最多今后為了簡(jiǎn)便起見,我們用記號(hào))(1kkkPXlsX,??(4.1)表示從點(diǎn)kX出發(fā)沿kP方向?qū)δ繕?biāo)函數(shù))(Xf作直線搜索所得到的極小點(diǎn)是1?kX其中l(wèi)和s分別是Linearsearch(直線搜索)兩詞的詞首在目標(biāo)函數(shù))(Xf已確定的條件下(4.1)等價(jià)于如下兩式:?????????
4、???kkkktkktkkkPtXXttPXfPtXf1)(min)(min)(,?下面進(jìn)一步解釋迭代點(diǎn)kkkkPtXX???1的空間位置容易證明,若從kX出發(fā),沿kP方向進(jìn)行一維搜索得極小點(diǎn)kkkkPtXX???1,則該點(diǎn)1??kXX處的梯度方向)(1??kXf與搜索方向kP之間應(yīng)滿足0)(1???kTkPXf(4.2)事實(shí)上,設(shè))()(kktPXft???,對(duì)t求導(dǎo)有11minmaxkkattbtt????,,,輸出][ba,加步探
5、索法算法的流程圖如圖4.2所示。在加步探索法中,一般建議2??若能估計(jì)問題(4.3)的最優(yōu)解的大體位置的話,初始點(diǎn)0t要盡量取接近于問題(4.3)的最優(yōu)解在具體運(yùn)用上述加步探索法時(shí),有時(shí)還要考慮一些細(xì)節(jié)問題例如,當(dāng)探索得到新點(diǎn)處的目標(biāo)函數(shù)值和出發(fā)點(diǎn)處相同時(shí),以及初始步長(zhǎng)應(yīng)如何選取等,都需作適當(dāng)處理三、單谷區(qū)間與單谷函數(shù)由于以后要介紹的一些維搜索方法,主要適用于問題(4.3)在搜索區(qū)間中只有唯一的最優(yōu)解的情況,為此,我們?cè)俳o出下面單谷區(qū)間
6、與單谷函數(shù)概念定義4.2設(shè)11RR?:?,閉區(qū)間1][Rba?,若存在點(diǎn)][bat,?,使得)(t?在][ta,上嚴(yán)格遞減,()t?在][bt,上嚴(yán)格遞增,則稱][ba,是函數(shù))(t?的單谷區(qū)間,)(t?是][ba,上單谷函數(shù)開始選取初始點(diǎn)t0,初始步長(zhǎng)h00,加步系數(shù)α1,令k=0φ0=φ(t0),比較目標(biāo)函數(shù)值tk1=tkhkφk1=φ(tk1)a=mint,tk1b=maxt,tk1結(jié)束NYNYφk1φkhk1=hkt=tktk=
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