有限元講義

1、1.4協(xié)調(diào)、非協(xié)調(diào)、廣義協(xié)調(diào)及分電檢驗(yàn)協(xié)調(diào)、非協(xié)調(diào)、廣義協(xié)調(diào)及分電檢驗(yàn)1、4、0引以有限元數(shù)值分析的技術(shù)實(shí)現(xiàn)為目的本門(mén)課程，不僅要求學(xué)生能夠進(jìn)行實(shí)際以有限元數(shù)值分析的技術(shù)實(shí)現(xiàn)為目的本門(mén)課程，不僅要求學(xué)生能夠進(jìn)行實(shí)際的工程運(yùn)算；另一方面也需要對(duì)解的收斂及精確性有所了解，是能從細(xì)節(jié)計(jì)算的工程運(yùn)算；另一方面也需要對(duì)解的收斂及精確性有所了解，是能從細(xì)節(jié)計(jì)算到理論性質(zhì)都有所把握，這樣，才能做到全面深入有助于對(duì)解結(jié)果得理論分析，到理論性質(zhì)都有所把握

2、，這樣，才能做到全面深入有助于對(duì)解結(jié)果得理論分析，此為基本之目的。此為基本之目的。1、4、1協(xié)調(diào)、非協(xié)調(diào)介紹協(xié)調(diào)、非協(xié)調(diào)介紹位移法有限元以位移法有限元以Ritz的結(jié)構(gòu)最小有限元為基礎(chǔ)，該原理在數(shù)學(xué)上是一個(gè)泛的結(jié)構(gòu)最小有限元為基礎(chǔ)，該原理在數(shù)學(xué)上是一個(gè)泛函極值（變分）問(wèn)題，系統(tǒng)勢(shì)能可以表為以下數(shù)學(xué)形式：函極值（變分）問(wèn)題，系統(tǒng)勢(shì)能可以表為以下數(shù)學(xué)形式：==12(1)???????dT?????dpuT??tTdpu＝0。??表述為：在所有

3、滿足內(nèi)部連續(xù)性和運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件的位移中滿足平衡方程的位表述為：在所有滿足內(nèi)部連續(xù)性和運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件的位移中滿足平衡方程的位移使系統(tǒng)勢(shì)能取駐值。如果駐值是極小點(diǎn)的，則平分行是穩(wěn)定階。移使系統(tǒng)勢(shì)能取駐值。如果駐值是極小點(diǎn)的，則平分行是穩(wěn)定階。又：對(duì)于精確于問(wèn)題的位移函數(shù)，系統(tǒng)勢(shì)能的變分可求得關(guān)于問(wèn)題應(yīng)滿足的所又：對(duì)于精確于問(wèn)題的位移函數(shù)，系統(tǒng)勢(shì)能的變分可求得關(guān)于問(wèn)題應(yīng)滿足的所有微分方程：平衡方程邊界條件（幾何關(guān)系及物理方程是自然滿足的）有微

4、分方程：平衡方程邊界條件（幾何關(guān)系及物理方程是自然滿足的）遺憾的是精確位移難得尋找，故一般采用泛函的極小化序列逼近方法。類(lèi)似于遺憾的是精確位移難得尋找，故一般采用泛函的極小化序列逼近方法。類(lèi)似于傅立葉級(jí)數(shù)逼近函數(shù)那樣，把無(wú)窮維空間用有限空間去逼近。在有限元當(dāng)中，傅立葉級(jí)數(shù)逼近函數(shù)那樣，把無(wú)窮維空間用有限空間去逼近。在有限元當(dāng)中，當(dāng)元素尺寸趨近于當(dāng)元素尺寸趨近于0時(shí)（即節(jié)點(diǎn)數(shù)目或節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)趨于時(shí)（即節(jié)點(diǎn)數(shù)目或節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)趨于時(shí)）時(shí)），最

5、后的解答，最后的解答?若能無(wú)限逼近準(zhǔn)確解，那么這樣的位移函數(shù)（或形狀函數(shù)）就稱為收斂的，因若能無(wú)限逼近準(zhǔn)確解，那么這樣的位移函數(shù)（或形狀函數(shù)）就稱為收斂的，因此從收斂性及算收斂速度方面提出幾點(diǎn)對(duì)形狀函數(shù)的要求：此從收斂性及算收斂速度方面提出幾點(diǎn)對(duì)形狀函數(shù)的要求：①、函數(shù)本身及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)在元素上連續(xù)，并含有常數(shù)部分；、函數(shù)本身及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)在元素上連續(xù)，并含有常數(shù)部分；②、元素之間的位移協(xié)調(diào)，不僅節(jié)點(diǎn)處的位移應(yīng)當(dāng)協(xié)調(diào)，沿整個(gè)內(nèi)邊界上的位、元素之

6、間的位移協(xié)調(diào)，不僅節(jié)點(diǎn)處的位移應(yīng)當(dāng)協(xié)調(diào)，沿整個(gè)內(nèi)邊界上的位移也應(yīng)當(dāng)協(xié)調(diào)（或稱相容移也應(yīng)當(dāng)協(xié)調(diào)（或稱相容）。③、多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)越多越好，因用高次比低次多項(xiàng)式收斂快。、多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)越多越好，因用高次比低次多項(xiàng)式收斂快。④、含有剛體位移（平動(dòng)包含常數(shù)項(xiàng)，轉(zhuǎn)動(dòng)包含線性項(xiàng)）、含有剛體位移（平動(dòng)包含常數(shù)項(xiàng)，轉(zhuǎn)動(dòng)包含線性項(xiàng)）。協(xié)調(diào)之：協(xié)調(diào)之：即滿足即滿足①、②條件的形狀函數(shù)的元素，當(dāng)然能滿足條件的形狀函數(shù)的元素，當(dāng)然能滿足3)4)條件協(xié)調(diào)條件協(xié)調(diào)元的收

7、斂率就更高。元的收斂率就更高。協(xié)調(diào)元的性質(zhì)：協(xié)調(diào)元的性質(zhì)：1)能夠以單調(diào)趨勢(shì)逼近于正確解。如曲線能夠以單調(diào)趨勢(shì)逼近于正確解。如曲線①.①.2)勢(shì)能總是大于最小狀態(tài)，故解得上界。勢(shì)能總是大于最小狀態(tài)，故解得上界。3)近似剛度近似剛度k偏大，即元素偏偏大，即元素偏“硬”。4)近似的位移偏小，即求得位移的下界。近似的位移偏小，即求得位移的下界。能夠以單調(diào)趨勢(shì)逼近于正確解。如曲線能夠以單調(diào)趨勢(shì)逼近于正確解。如曲線②.勢(shì)能總是大于最小狀態(tài)，故解得

8、上界。勢(shì)能總是大于最小狀態(tài)，故解得上界。近似剛度近似剛度k偏大，即元素偏偏大，即元素偏“硬”。近似的位移偏小，即求得位移的下界近似的位移偏小，即求得位移的下界非協(xié)調(diào)元：在彈性力學(xué)中，如板彎曲，相鄰元素不僅要求位移本身連續(xù)，而且非協(xié)調(diào)元：在彈性力學(xué)中，如板彎曲，相鄰元素不僅要求位移本身連續(xù)，而且要求位移的導(dǎo)數(shù)連續(xù)（板彎邊界上的相容性）要求位移的導(dǎo)數(shù)連續(xù)（板彎邊界上的相容性）。而在工程上能夠保證導(dǎo)數(shù)相容的。而在工程上能夠保證導(dǎo)數(shù)相容的形變往

9、往難以找到，以致工程上只能采用違反相容原則的一些形狀函數(shù)，由違形變往往難以找到，以致工程上只能采用違反相容原則的一些形狀函數(shù)，由違min?內(nèi)力勢(shì)能體力勢(shì)能面力勢(shì)能給點(diǎn)數(shù)?①②①②③④邊上，其變化規(guī)律位一條二次拋物線，需要三個(gè)點(diǎn)上法向?qū)?shù)的相等條件才能邊上，其變化規(guī)律位一條二次拋物線，需要三個(gè)點(diǎn)上法向?qū)?shù)的相等條件才能維一確定，故相鄰兩條曲線一般不全重合。維一確定，故相鄰兩條曲線一般不全重合。故所舉三角板彎元為非協(xié)調(diào)元。故所舉三角板彎元為

10、非協(xié)調(diào)元。例②書(shū)P的矩形元，由于坐標(biāo)的交叉雙乘積（不完備）的矩形元，由于坐標(biāo)的交叉雙乘積（不完備），可發(fā)現(xiàn)不該是，可發(fā)現(xiàn)不該是w或53其導(dǎo)數(shù)其導(dǎo)數(shù)，都是連續(xù)的，這樣只要節(jié)點(diǎn)的這些參數(shù)相同，邊界上的這些是都是連續(xù)的，這樣只要節(jié)點(diǎn)的這些參數(shù)相同，邊界上的這些是yx??yw??沒(méi)有問(wèn)題的，但展開(kāi)沒(méi)有問(wèn)題的，但展開(kāi)N的項(xiàng)，可以發(fā)現(xiàn)的項(xiàng)，可以發(fā)現(xiàn)xy項(xiàng)，或者說(shuō)缺少了代表熱率變形項(xiàng)，或者說(shuō)缺少了代表熱率變形22的一項(xiàng)，因此，作為形狀函數(shù)，是不能保證

11、向正確的解答收斂，因而是非協(xié)調(diào)的一項(xiàng)，因此，作為形狀函數(shù)，是不能保證向正確的解答收斂，因而是非協(xié)調(diào)元。改進(jìn)方案之一，是在節(jié)點(diǎn)處增加節(jié)點(diǎn)參數(shù)元。改進(jìn)方案之一，是在節(jié)點(diǎn)處增加節(jié)點(diǎn)參數(shù)，并采用完全的埃爾米特三，并采用完全的埃爾米特三yxw???2次多項(xiàng)式。次多項(xiàng)式。1、4、2非協(xié)調(diào)元的排先檢檢驗(yàn)非協(xié)調(diào)元的排先檢檢驗(yàn)協(xié)調(diào)元雖可以保證總位能從上往下地正確結(jié)果單調(diào)收斂，但往往過(guò)于復(fù)雜，使協(xié)調(diào)元雖可以保證總位能從上往下地正確結(jié)果單調(diào)收斂，但往往過(guò)于復(fù)

12、雜，使用麻煩。用麻煩。在工程上往往使用形式簡(jiǎn)單的非協(xié)調(diào)元，自然，最小位能原理對(duì)此不再適用，在工程上往往使用形式簡(jiǎn)單的非協(xié)調(diào)元，自然，最小位能原理對(duì)此不再適用，那么在什么條件下，這類(lèi)元素才能導(dǎo)致向正確解收斂呢？那么在什么條件下，這類(lèi)元素才能導(dǎo)致向正確解收斂呢？Irons提出了一個(gè)稱提出了一個(gè)稱作“拼片實(shí)驗(yàn)拼片實(shí)驗(yàn)”（patchtest）的檢驗(yàn)方法。實(shí)踐表明，這種檢驗(yàn)方法是有效的，的檢驗(yàn)方法。實(shí)踐表明，這種檢驗(yàn)方法是有效的，但“拼片實(shí)驗(yàn)拼片

13、實(shí)驗(yàn)”的理論證明尚不清楚。拼片試驗(yàn)內(nèi)容為的理論證明尚不清楚。拼片試驗(yàn)內(nèi)容為“假設(shè)由若干元素拼成假設(shè)由若干元素拼成的一個(gè)任意拼片處于等應(yīng)力狀態(tài)，這時(shí)，其位移函數(shù)的一個(gè)任意拼片處于等應(yīng)力狀態(tài)，這時(shí)，其位移函數(shù)w(xy)一般可用一一般可用一m階完全多項(xiàng)式函數(shù)完全多項(xiàng)式函數(shù)P(xy)表示，表示，（入在薄板問(wèn)題中，（入在薄板問(wèn)題中，m=2），而且，在這，而且，在這m一拼片的邊界上，也設(shè)置了符合等應(yīng)變狀態(tài)的位移邊界條件。然后，將需要檢一拼片的邊界上

14、，也設(shè)置了符合等應(yīng)變狀態(tài)的位移邊界條件。然后，將需要檢驗(yàn)的某種元素按此條件進(jìn)行計(jì)算。如果最后得到的有限元法解答能和驗(yàn)的某種元素按此條件進(jìn)行計(jì)算。如果最后得到的有限元法解答能和P(xy)m一致，那么，稱這種元素能夠通過(guò)拼片試驗(yàn)，而通過(guò)拼片試驗(yàn)的元素將給出收一致，那么，稱這種元素能夠通過(guò)拼片試驗(yàn)，而通過(guò)拼片試驗(yàn)的元素將給出收斂的結(jié)果。注：斂的結(jié)果。注：P(xy)至少應(yīng)能代表各種等應(yīng)變狀態(tài)。至少應(yīng)能代表各種等應(yīng)變狀態(tài)。m如：如：拼片：拼片：9