拓撲復習題

1、高等微積分復習題――拓撲1設為距離空間，是的子集求證dXFEX（１）；（２），說明其中的“”不能改成“”；000)(FEFE???000)(FEFE?????（３）；（４）研究和是什么關系？FEFE???FE?FE?２設為距離空間，是的子集下面的關系式是否成立？若成立，請證明；若不成立，請舉出dXBAX反例（１）；（２）；（３）若，則00AA?AA?0??0A???0)(A３對于下列距離空間和子集合，求，，，A0AA?AA?（１），；2

2、RX?1sin||0|)(xyxyxA??????（２），，；2RX????????????110001sgn)(xxxxxf)(|)(????????xxfyyxA（３），；（４），；]10[CX?0)21(|]10[???fCfA]10[CX?0d)(|]10[10????xxfCfA（５），；（６），]10[CX?0d)(|]10[10????xxfCfA2lX?0|12???alaAn４設是上所有黎曼可積函數(shù)構成的集合對于任意，

3、規(guī)定][baR][ba][baRgf?求證階梯函數(shù)（分段常值函數(shù)）構成的集合在中稠密???baxxgxfgfdd|)()(|)(][baR５設和是兩個距離空間為映射仿照函數(shù)的一致連續(xù)性給出映射的一致連續(xù)1dX2dYYXf?:性定義并且證明：若為連續(xù)映射，是自列緊集則映射在上一致連續(xù)YXf?:XA?fA６在距離空間中，如果集合可以表示成可列個開集的交集，則稱是型集；如果集合可以表示成AA?GB可列個閉集的并集，則稱是型集求證：B?F（１）

4、在任意距離空間中，型集的余集是型集；型集的余集是型集?G?F?F?G（２）在中，有理點集是型集；無理點集是型集1R?F?G７設是兩個距離空間是連續(xù)映射求證將中的列緊集映為中的列緊集YXYXf?:fXY８設是的一個有界閉集，是的一個閉集求正存在和，使得AnRBnRAx?0By?0|)(min)(00ByAxyxdyxd???９（１）設，是的有界閉集，求證在中存在互不相交的開集，滿足，ABnRnRFEEA?FB?（２）在中，令，能否在找到兩

5、互不相交的2R10|)(xyxyxA???00|)(???yxyxB2R開集，使得，？FEEA?FB?１０（１）敘述集合稠密的概念，敘述稠密的兩個充分必要條件（２）設為有理點集是一個無理數(shù)求證是無理點的子集，并且是中1RQ??|QrrE????1R的稠密集（３）將中的有理數(shù)排成一列對于每個，做開區(qū)間)10(??21nrrrnr)22()2()2(??????nnnnrr根據(jù)你的知覺，這一列開區(qū)間的并集能否覆蓋？)21(??n)10(（４