二次規(guī)劃

1、帶約束的二次規(guī)劃,劉鵬,線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃,線性規(guī)劃(Linear Programming)在一組線性約束定義的區(qū)域上，對一個線性函數(shù)進行極小化（或者極大化）的問題，其數(shù)學(xué)模型可以表示為滿足約束條件的點稱可行點，可行點集合構(gòu)成可行域,,線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃,非線性規(guī)劃(Nonlinear Programming)非線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型可以表示為在目標函數(shù)或者約束函數(shù)中至少有一個函數(shù)是非線性的當非線性規(guī)劃問題的可行

2、域為整個實數(shù)域時，稱為無約束優(yōu)化問題， 否則稱為約束優(yōu)化問題,,,凸集、凸函數(shù)與凸優(yōu)化,凸集：如果某個集合中任意兩點連起來的直線都屬于該集 合，則稱其為凸集，否則為非凸集 非凸集 凸集,凸集、凸函數(shù)與凸優(yōu)化,凸集的數(shù)學(xué)定義：Ω是凸集當且僅當

3、 成立,,,凸集、凸函數(shù)與凸優(yōu)化,線性約束的可行集是凸集 證明：,,,,凸集、凸函數(shù)與凸優(yōu)化,凸函數(shù)凸規(guī)劃 目標函數(shù)為凸函數(shù)，可行集為凸集的規(guī)劃問題,,,,,Karush-Kuhn-Tucker條件,對于非線性規(guī)劃問題引入Lagra

4、nge函數(shù)：其關(guān)于x的梯度為：,,,,Karush-Kuhn-Tucker條件,KKT條件可以表述為這三行分別表示可行性條件、目標函數(shù)梯度的線性表示條件以及互補松弛條件對于線性不等式約束的非線性規(guī)劃問題，KKT條件是局部 極小值點的必要條件對于凸規(guī)劃問題，KKT條件是全局最優(yōu)解的充要條件,,,,二次規(guī)劃,二次規(guī)劃是非線性規(guī)劃的一種特殊形式，其數(shù)學(xué)模型為：約束條件為線性約束，故其可行集為凸集目標

5、函數(shù)為非線性函數(shù)，當Hesse矩陣Q是非負定矩陣時， 目標函數(shù)為凸函數(shù)，此時優(yōu)化問題為凸二次規(guī)劃問題,,,,,,二次規(guī)劃,二次規(guī)劃的KKT條件為：凸二次規(guī)劃的KKT解就是全局最優(yōu)解非凸二次規(guī)劃的KKT解為局部極小值點求解凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成求解KKT解的問題,,,,,,,二次規(guī)劃,簡單的KKT條件可以直接求解，復(fù)雜的可以采用投影梯度法求解MATLAB程序線性規(guī)劃,,,,,,,,,,二次規(guī)劃,MATLAB程序二

6、次線性規(guī)劃,,,,,,,,,,,,二次規(guī)劃,輸出可調(diào)整為 為自變量 為目標函數(shù)值 迭代收斂到 超出設(shè)定的迭代次數(shù)

7、 優(yōu)化問題無界或者不可行 優(yōu)化算法類型 算法的迭代次數(shù)

8、 不等式約束的乘子,,,,,,,,,,,,,等式約束的乘子,變量下界和上界,案例分析,假設(shè)有四種投資1,2,3,4，第i種投資的收益率 的預(yù)期收益均值為 ， 方差 表示投資的風(fēng)險大小，即收益率關(guān)于均值的偏離程度令 為第i個項目的投資額占總投資的比例，向量

9、 表示一個投資組合，則其對應(yīng)的收益率為記第i和j種項目投資收益率的相關(guān)系數(shù)投資組合收益率R的方差為,,,,,,,,,,案例分析,令收益率的協(xié)方差矩陣為 ，則上式可記為令預(yù)期收益滿足在滿足收益率條件下最小化風(fēng)險模型：,,,,,,,,,,案例分析,預(yù)期收益不小于8.5,,,,,,,,,,