飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)電子教案5-1

1、飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)——電子教學(xué)教案,西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院航空結(jié)構(gòu)工程系,第五章 位移法Displacement Method ofStructure Analysis,第一講,位移法概述桿元素與桁架的位移法求解,5.1 位移法概述,以結(jié)點位移(廣義位移)作為基本未知量，寫出由未知位移表示的應(yīng)變，由物理方程寫出仍由未知位移表示的應(yīng)力表達式，最后由平衡條件解出所有的未知位移，這就是位移法的基本思路。,在計算機科學(xué)飛速發(fā)展的今

2、天，適合于計算機應(yīng)用的“有限元素法”正在逐步取代其他方法而成為飛行器結(jié)構(gòu)分析方法的主流，并已發(fā)展為一門獨立的新興學(xué)科。本章所討論的位移法，是以矩陣運算作為數(shù)學(xué)工具來處理結(jié)構(gòu)位移計算的，故也稱為矩陣位移法，它是有限元素法的基礎(chǔ)。,矩陣位移法主要內(nèi)容包括兩個部分：,(1)單元分析，即將結(jié)構(gòu)分解為有限個較小的單元，進行所謂離散化。對于桿系結(jié)構(gòu)，一般以一根桿件或桿件的一段作為一個單元，分析單元的內(nèi)力與位移之間的關(guān)系，建立單元剛度矩陣。,(2)整

3、體分析，即將各單元又集合成原來的結(jié)構(gòu)，要求各單元滿足原結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件和平衡條件，從而建立整個結(jié)構(gòu)的剛度方程，以求解原結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力。,在桿系結(jié)構(gòu)中，若單元只受軸力作用，則稱為桿元素，如桁架；若單元不僅受軸力，還受剪力和彎矩作用，則稱為梁元素，如梁、剛架等。,由于桿元素和梁元素是最簡單的元素，對這兩個元素的分析，既有鮮明的物理意義，又能反映位移法的實質(zhì)。所以，本章主要對桿元素和梁元素進行分析，并用于桁架和剛架的位移法求解。,5.2

4、桿元素與桁架位移法求解,本節(jié)將由最簡單的桿元素和桁架開始，逐步介紹矩陣位移法的基本原理和計算過程 。,5.2 桿元素與桁架位移法求解,對于圖示桁架，編號為1、2、3、4、5、6的鉸結(jié)點稱為結(jié)點，兩結(jié)點之間的鏈桿稱為桿元素，如桿元素12、桿元素23等。,位移法中，將以每個結(jié)點處的位移（結(jié)點位移）作為基本未知量，建立關(guān)于未知結(jié)點位移的方程，首先求出結(jié)點位移，然后利用求出的結(jié)點位移，再求出其他的物理量（如元素應(yīng)變、應(yīng)力、內(nèi)力等）。,在圖示坐

5、標(biāo)系中，由于每一桿元素的方位不盡相同，為具普遍性，任取其中一桿元素i j，首先來研究桿元素的平衡關(guān)系。,5.2 桿元素與桁架位移法求解,一、桿元素的平衡方程及剛度矩陣,定義：,為桿元素在局部坐標(biāo)系下的結(jié)點位移列陣和結(jié)點力列陣。,桿元素,結(jié)點上的結(jié)點位移分別記為 和 ，與結(jié)點位移相對應(yīng)的結(jié)點力分別記為 和 ，結(jié)點位移和結(jié)點力一律以順坐標(biāo)系的正方向為正。,如圖所示的桿元素 i j ，建立元素局部坐標(biāo)系

6、 ， 軸沿桿元素的軸線由 i 結(jié)點指向 j 結(jié)點，桿長為Lij 。,5.2 桿元素與桁架位移法求解,關(guān)鍵：將桿元素的其他物理量（如元素內(nèi)位移、應(yīng)變、應(yīng)力、結(jié)點力，應(yīng)變能等）用結(jié)點位移表示。,（1）元素內(nèi)位移,元素內(nèi)各點的位移叫做內(nèi)位移。桿元素的內(nèi)位移可用結(jié)點位移通過線性插值得到：,式中， Ni (x)、Nj (x) 稱為位移形狀函數(shù)； [N(x)] 稱為元素的位移形狀函數(shù)矩陣。,對于桿元素，其位移形狀

7、函數(shù)具有如圖所示的形狀：,式中，[B]稱為元素的幾何矩陣。,（2）變形協(xié)調(diào)條件與幾何矩陣,利用變形協(xié)調(diào)條件，求元素應(yīng)變，并用節(jié)點位移表示：,式中，[ S ]稱為元素的應(yīng)力矩陣。,（3）物理關(guān)系與應(yīng)力矩陣,（4）桿元素軸力N,對于等面積 A 的桿元素，其軸力用節(jié)點位移表示為,對于桿元素，[D] = E，應(yīng)力可以用節(jié)點位移表示為,利用物理關(guān)系， ，[D]為元素彈性矩陣，由材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式得到。,作

8、用在桿元素上的結(jié)點力與桿軸力，滿足平衡條件：,（5）平衡條件與剛度矩陣,,上式就是位移法中桿元素的平衡方程，也稱為剛度方程。它表示元素結(jié)點力與結(jié)點位移之間的關(guān)系式。,或，,（5）平衡條件與剛度矩陣,,式中的,稱為桿元素在局部坐標(biāo)系中的剛度矩陣。剛度矩陣將元素的結(jié)點位移列陣和結(jié)點力列陣聯(lián)系了起來。,kii、kij、kji 和 kjj 稱為剛度矩陣系數(shù)，簡稱剛度系數(shù)。,或，,將平衡方程展開后，得到：,,可見，剛度系數(shù)的物理意義為：,對線彈性

9、系統(tǒng)：kij = kji ( i≠j )因此，元素剛度矩陣為一對稱方陣 。,平衡方程的物理意義：,,i 點的位移在 i 點上引起的結(jié)點力。,j 點的位移在 i 點上引起的結(jié)點力。,i 點的位移在 j 點上引起的結(jié)點力。,j 點的位移在 j 點上引起的結(jié)點力。,應(yīng)注意以下幾點：,（1）剛度矩陣 的列對應(yīng)于結(jié)點位移，行則對應(yīng)于結(jié)點力；,（2）根據(jù)元素平衡條件，必定有：,由此可以看出，由于結(jié)點位移 都可以有值，所以元素

10、是可移動的，結(jié)點位移列陣中包含有剛體運動，用結(jié)點位移表示的平衡方程是奇異的，剛度矩陣 的行列式等于零。這就意味著在去除剛體運動自由度之前，平衡方程不能直接用來求解位移。,元素剛度方程也可以通過虛功原理導(dǎo)出。,二、元素剛度矩陣的坐標(biāo)變換,由于結(jié)構(gòu)是由許多不同元素組成的，而各個元素的局部坐標(biāo)系又是不全相同的，用位移法求解結(jié)點位移時，必須規(guī)定統(tǒng)一的坐標(biāo)系，各結(jié)點位移的矢量必須按統(tǒng)一的坐標(biāo)系來定義，便于建立全結(jié)構(gòu)的平衡方程。因

11、此，由各個元素局部坐標(biāo)系定義的元素結(jié)點位移和元素剛度矩陣必須向一個統(tǒng)一的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，統(tǒng)一的坐標(biāo)系稱之為“總體坐標(biāo)系”或“結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系”。,總體坐標(biāo)系,,考察圖示平面桿元素的情況，將 x、y 坐標(biāo)系定義為總體坐標(biāo)系，而將 、 坐標(biāo)系定義為局部坐標(biāo)系，總體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系之間的夾角為θ（以逆時針方向為正）。,二、元素剛度矩陣的坐標(biāo)變換,元素在局部坐標(biāo)下的結(jié)點位移列陣、結(jié)點力列陣：,元素剛度矩陣擴階后，變?yōu)椋?局部坐標(biāo)系中的結(jié)點位

12、移與總體坐標(biāo)系中的結(jié)點位移，有以下轉(zhuǎn)換關(guān)系：,二、元素剛度矩陣的坐標(biāo)變換,將其寫成矩陣形式：,則對結(jié)點位移：,記： ， ，則有：,分別表示元素在總體坐標(biāo)系下的結(jié)點位移列陣和結(jié)點力列陣。,T 矩陣稱為坐標(biāo)變換矩陣。,,相應(yīng)地，對結(jié)點力：,元素在局部坐標(biāo)中的作功與元素在總體坐標(biāo)中的作功是相等的，據(jù)此，有：,則元素在總體坐標(biāo)系下的剛度矩陣的變換式為：,即，元素在總體坐標(biāo)系中的剛度方程為：,需要指

13、出：由于T 矩陣中僅僅包含坐標(biāo)的傾角，當(dāng)坐標(biāo)平移時，對剛度矩陣沒有影響。因而如果僅平行移動坐標(biāo)軸，剛度矩陣中元素值不變。,元素剛度矩陣的轉(zhuǎn)換：,平面桿元素在總體坐標(biāo)下的剛度矩陣的展開式：,三、全結(jié)構(gòu)平衡方程及結(jié)構(gòu)總剛度矩陣,利用結(jié)點的力系平衡，建立結(jié)點平衡方程，從而得到全部結(jié)點的平衡方程。,例如圖示平面桁架，考慮結(jié)點2的平衡。作用在結(jié)點2上的沿總體坐標(biāo)系軸正向的外載荷為X 2、Y 2，與結(jié)點2相連的桿元素的結(jié)點力如圖所示，桿元素

14、給結(jié)點2提供的力與桿元素的結(jié)點力大小相等，但方向相反，在結(jié)點2處形成平衡的共點力系。,結(jié)點2上的平衡方程為,或?qū)懗桑?利用桿元素的平衡方程，可以得到桿元素的結(jié)點力。,例如桿元素1-2的平衡方程為：,由此得到桿元素1-2在結(jié)點2處的結(jié)點力為：,結(jié)構(gòu)在結(jié)點2處的平衡方程，就可寫作：,一般地，對于結(jié)構(gòu)中的結(jié)點 i 的平衡方程，可寫作：,設(shè)全結(jié)構(gòu)有 N 個結(jié)點，將 N 個結(jié)點的平衡方程聯(lián)立起來，組成全結(jié)構(gòu)的平衡方程為：,簡記為：,稱之為

15、全結(jié)構(gòu)的平衡方程或總剛度方程，[K ]稱之為全結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，簡稱為總剛度矩陣。,四、總剛度矩陣[K ]的組集,總剛度矩陣[K ]實際上是由各個元素的剛度矩陣組集而成的。元素的剛度矩陣只需按其結(jié)點位移在總剛度矩陣中的位置“按號就座”。,設(shè)全結(jié)構(gòu)有 N 個結(jié)點，這 N 個結(jié)點的結(jié)點位移列陣為：,按結(jié)點位移列陣，排列結(jié)點外載荷列陣。,四、總剛度矩陣[K ]的組集,對于元素i j 的剛度矩陣， 遵照“按號就座”的原則，放置在總剛度矩陣[K ]

16、中的{δ i } 和{δ j } 所在行和列的交叉點處。,,,,,,,,,注意：剛度系數(shù)在此疊加。,五、總剛度方程的求解,總剛度方程在沒有引入位移約束條件之前，是不能求解的。這是因為，結(jié)構(gòu)在沒有引入位移約束條件之前是自由體，整體上存在3個(空間體6個)靜力平衡條件，結(jié)點力列陣{P}中的項并不是完全獨立的，或剛度矩陣[ K ]中的相關(guān)行和列有線性相關(guān)性，導(dǎo)致剛度矩陣的逆陣不存在，是奇異矩陣。,在結(jié)構(gòu)分析中，采用引入邊界條件的辦法刪去相關(guān)的

17、行(列)。如果一個結(jié)構(gòu)的剛體位移被限制，則與限制位移相對應(yīng)的支反力自行保持全結(jié)構(gòu)的平衡，也即這些支反力必然是其他外力的線性組合，而它所對應(yīng)的行(列)，恰恰是線性相關(guān)的行列。位移邊界條件處理之后，線性相關(guān)的行(列)就刪去，處理之后的總剛度矩陣[ K ]變成可逆的，此時，總剛度方程才能求解。,對零位移邊界條件，從總剛度矩陣中刪去零位移所對應(yīng)的行和列，這種方法稱為刪行刪列法。,六、桁架的位移法求解,【例題1】試用位移法求圖示桁架中3點的位移以

18、及元素內(nèi)力和支反力。設(shè)全部桿件的拉伸剛度均為EA。,解：以此例說明位移法的解題步驟。,1、結(jié)點編號、元素編號。,2、建立總體坐標(biāo)系xoy 。,3、建立元素在總體坐標(biāo)系xoy 中的剛度矩陣。,元素1-2，長度為L，,,元素1-3，長度為,元素2-3，長度為L，,,4、組集總剛度矩陣，建立總剛度方程。,按編號順序列出結(jié)點位移和結(jié)點力列陣：,,5、引入位移約束條件：,消除剛體位移。,簡單做法：從總剛度方程中，刪去等式兩端零位移所在的行和列。,

19、6、解引入位移約束條件后的總剛度方程，求出結(jié)點位移。,,7、求支反力。,可以從總剛度方程中，求出支反力。,,8、求元素內(nèi)力，即桿軸力。,方法1：將已求出的結(jié)點位移代入到元素剛度方程中，可得到元素的結(jié)點力，然后合成得到桿的軸力。,對于元素i-j ：,注意：這里需要根據(jù)結(jié)點力的正負，來判斷桿子是受拉、還是受壓。,,8、求元素內(nèi)力，即桿軸力。,方法2：將總體坐標(biāo)系中的結(jié)點位移，轉(zhuǎn)化到元素局部坐標(biāo)系中，在元素坐標(biāo)系中計算桿的軸力。,對于元素i-

20、j ：,并且：Nij > 0，桿受拉； Nij > 0，桿受壓。,【例題2】用位移法求圖示桁架中結(jié)點1、3的位移，以及元素內(nèi)力，設(shè)全部桿件的拉伸剛度均為EA。,解：,1、結(jié)點編號、元素編號。,2、建立總體坐標(biāo)系xoy ，考慮到對稱性，取一半結(jié)構(gòu)來分析。,3、建立元素剛度矩陣。,元素2-1，,元素2-3，,元素1-3，,4、組集總剛度矩陣，建立總剛度方程。,按編號順序列出結(jié)點位移和結(jié)點力列陣：,考慮到位移約束條件：,因為要從總