數(shù)值分析第2章插值與擬合

1、插值法,插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，早在一千多年前的隋唐時(shí)期定制歷法時(shí)就廣泛應(yīng)用了二次插值。劉焯將等距節(jié)點(diǎn)的二次插值應(yīng)用于天文計(jì)算。插值理論卻是在17世紀(jì)微積分產(chǎn)生后才逐步發(fā)展起來(lái)的，Newton插值公式理論是當(dāng)時(shí)的重要成果。由于計(jì)算機(jī)的使用以及航空、造船、精密儀器的加工，插值法在理論和實(shí)踐上都得到進(jìn)一步發(fā)展，獲得了廣泛的應(yīng)用。,第二章 插值與擬合,§2.1 引言§2.2 拉格朗日插值§2.3

2、 均差與牛頓插值公式§2.4 差分與等距節(jié)點(diǎn)插值§2.5 埃爾米特(Hermite)插值與分段插值§2.6 曲線擬合,,§2.1 引言 問(wèn)題的提出函數(shù)解析式未知,通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)得到的一組數(shù)據(jù), 即在某個(gè)區(qū)間[a, b]上給出一系列點(diǎn)的函數(shù)值 yi= f(xi)或者給出函數(shù)表,,y=f(x),y=p(x),插值法的基本原理設(shè)函數(shù) y=f(x) 定義在區(qū)間[a, b]上,

3、 是[a, b]上取定的n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn),且在這些點(diǎn)處的函數(shù)值 為已知 ,即 若存在一個(gè)f(x)的近似函數(shù) ,滿足則稱(chēng) 為f(x)的一個(gè)插值函數(shù), f(x)為被插函數(shù), 點(diǎn)xi為插值節(jié)點(diǎn), 稱(chēng)(2.1)式為插值條件, 而誤差函數(shù)R(x)= 稱(chēng)為插值余項(xiàng), 區(qū)間[a, b]稱(chēng)為插值區(qū)間, 插值點(diǎn)在

4、插值區(qū)間內(nèi)的稱(chēng)為內(nèi)插, 否則稱(chēng)外插,(2.1),插值函數(shù) 在n+1 個(gè)互異插值節(jié)點(diǎn) (i=0,1,…,n )處與 相等,在其它點(diǎn)x就用 的值作為f(x) 的近似值。這一過(guò)程稱(chēng)為插值，點(diǎn)x稱(chēng)為插值點(diǎn)。換句話說(shuō), 插值就是根據(jù)被插函數(shù)給出的函數(shù)表“插出”所要點(diǎn)的函數(shù)值。用 的值作為f(x)的近似值,不僅希望 能較好地逼近 f(x),而且還希望它計(jì)算簡(jiǎn)單 。,由于代數(shù)多項(xiàng)式具有數(shù)值計(jì)算

5、和理論分析方便的優(yōu)點(diǎn)。所以本章主要介紹代數(shù)插值。即求一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n次的多項(xiàng)式。,滿足,則稱(chēng)P(x)為f(x)的n次插值多項(xiàng)式。這種插值法通常稱(chēng)為代數(shù)插值法。其幾何意義如下圖所示,定理1 n次代數(shù)插值問(wèn)題的解是存在且惟一的,證明: 設(shè)n次多項(xiàng)式,是函數(shù) 在區(qū)間[a, b]上的n+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn) (i=0,1,2,…,n )上的插值多項(xiàng)式,則求插值多項(xiàng)式P(x)的問(wèn)題就歸結(jié)為求它的系數(shù) (i=0,1,2,…,n )

6、。,由插值條件: (i=0,1,2,…,n),可得,這是一個(gè)關(guān)于待定參數(shù) 的n+1階線性方程組,其系數(shù)矩陣行列式為,為Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj（當(dāng)i≠j），故V≠0。根據(jù)解線性方程組的克萊姆（Gramer）法則，方程組的解 存在惟一，從而P(x)被惟一確定。,,惟一性說(shuō)明，不論用何種方法來(lái)構(gòu)造，也不論用何種形式來(lái)表示插值多項(xiàng)式,只要滿足插值條件(2.1)

7、其結(jié)果都是相互恒等的。,§2.2 拉格朗日（Lagrange）插值 為了構(gòu)造滿足插值條件 (i=0,1,2,…,n )的便于使用的插值多項(xiàng)式 L(x),先考察幾種簡(jiǎn)單情形,然后再推廣到一般形式。（ 線性插值與拋物插值）（1）線性插值線性插值是代數(shù)插值的最簡(jiǎn)單形式。假設(shè)給定了函數(shù)f(x)在兩個(gè)互異的點(diǎn)的值，現(xiàn)要求用線性函數(shù)

8、 近似地代替 f(x)。選擇參數(shù)a和b, 使 。稱(chēng)這樣的線性函數(shù)L1(x) 為 f(x) 的線性插值函數(shù) 。,線性插值的幾何意義:用通過(guò)點(diǎn) 和 的直線近似地代替曲線 y=f(x)由解析幾何知道,這條直線用點(diǎn)斜式表示為,,為了便于推廣，記,這是一次函數(shù),且有性質(zhì),與 稱(chēng)為線性插值基函數(shù)。且有,于是線性

9、插值函數(shù)可以表示為與基函數(shù)的線性組合,例2.1 已知 求,解: 這里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用線性插值,（2）拋物插值 拋物插值又稱(chēng)二次插值，它也是常用的代數(shù)插值之一。設(shè)已知f(x)在三個(gè)互異點(diǎn)x0，x1，x2的函數(shù)值y0，y1，y2，要構(gòu)造次數(shù)不超過(guò)二次的多項(xiàng)式使?jié)M足二次插值條件：這就是二次插值問(wèn)題。其幾何意義是用經(jīng)

10、過(guò)3個(gè)點(diǎn) 的拋物線 近似代替曲線 , 如下圖所示。因此也稱(chēng)之為拋物插值。,L2(x)的參數(shù)直接由插值條件決定，即 滿足下面的代數(shù)方程組：,,該三元一次方程組的系數(shù)矩陣,的行列式是范德蒙行列式，當(dāng) 時(shí)，方程組的解唯一。,為了與下一節(jié)的Lagran

11、ge插值公式比較,仿線性插值,用基函數(shù)的方法求解方程組。先考察一個(gè)特殊的二次插值問(wèn)題： 求二次式 ,使其滿足條件：,這個(gè)問(wèn)題容易求解。由上式的后兩個(gè)條件知: 是 的兩個(gè)零點(diǎn)。于是,再由另一條件 確定系數(shù),從而導(dǎo)出,類(lèi)似地可以構(gòu)造出滿足條件：的插值多項(xiàng)式,及滿足條件： 的插值多項(xiàng)式,這樣構(gòu)造出來(lái)的 稱(chēng)為拋物插值

12、的基函數(shù),取已知數(shù)據(jù) 作為線性組合系數(shù),將基函數(shù) 線性組合可得,容易看出,P(x)滿足條件,2.2.1 拉格朗日插值多項(xiàng)式 兩個(gè)插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)式,而三個(gè)插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式。插值點(diǎn)增加到n+1個(gè)時(shí),也就是通過(guò)n+1個(gè)不同的已知點(diǎn) ,來(lái)構(gòu)造一個(gè)次數(shù)為n的代數(shù)多項(xiàng)式Ln(x)。與推導(dǎo)拋物插值的基函數(shù)類(lèi)似,先構(gòu)造一個(gè)特殊n次多項(xiàng)式 的插值問(wèn)題

13、,使其在各節(jié)點(diǎn) 上滿足,即,由條件 ( )知, 都是n次 的零點(diǎn),故可設(shè),稱(chēng)之為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù).,利用拉格朗日基函數(shù),可以構(gòu)造多項(xiàng)式,插值多項(xiàng)式為：,線性插值多項(xiàng)式：n=1,幾何意義：,拋物插值多項(xiàng)式：n=2,插值多項(xiàng)式為：,幾何意義：,例2.2,解：,,,,定理2.1,反證：若不唯一，則除了Pn(x) 外還有另一 n 階多項(xiàng)式 Ln(x) 滿足 Ln

14、(xi) = yi 。,考察 則 Qn 的階數(shù),? n,而 Qn 有 個(gè)不同的根,注：若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為 n ，則插值多項(xiàng)式不唯一。,例如 也是一個(gè)插值多項(xiàng)式，其中 可以是任意多項(xiàng)式。,例2.3 已知y=

15、f(x)的函數(shù)表 求線性插值多項(xiàng)式, 并計(jì)算x=1.5 的值,X 1 3 y 1 2,,,解: 由線性插值多項(xiàng)式公式得,例2.4 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用拋物插值公式, 求,例2.5 求過(guò)點(diǎn)(0,1)、(1,2)、(2,3)的三點(diǎn)插值多項(xiàng)式,解 四個(gè)點(diǎn)可構(gòu)造三次Lagrange插值

16、多項(xiàng)式:基函數(shù)為,Lagrange插值多項(xiàng)式為,為便于上機(jī)計(jì)算,常將拉格朗日插值多項(xiàng)式(2.2)改寫(xiě)成,Lagrange插值法的流程圖,,,,,,,,,,,,x0x1 xixi+1 xn-1 xn,,y=f(x),y=Ln(x),a,b,在插值區(qū)間?a, b?上用插值多項(xiàng)式Ln(x)近似代替f(x), 除了在插值節(jié)點(diǎn)xi上沒(méi)有誤差

17、外，在其它點(diǎn)上一般是存在誤差的。,若記 R (x) = f(x) - Ln(x) 則 R(x) 就是用 Ln(x) 近似代替 f(x) 時(shí)的截?cái)嗾`差, 或稱(chēng)插值余項(xiàng)我們可根據(jù)后面的定理來(lái)估計(jì)它的大小。,2.2.2 插值多項(xiàng)式的誤差,定理2.2 設(shè)f(x)在?a, b?有n+1階導(dǎo)數(shù)， x0, x1,…, xn 為 ?a, b?上n+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn), Ln(x)為滿足

18、 Ln(xi) = f(xi) (i=1,2, …, n) 的n 次插值多項(xiàng)式，那么對(duì)于任何x ? ?a, b?有 插值余項(xiàng),其中,a<?<b 且依賴于x,? 插值余項(xiàng) /* Remainder */,Rolle’s Theorem: 若 充分光滑， ，則存在

19、 使得 。,推廣：若,,使得,,Rn(x) 至少有 個(gè)根,n+1,?(t)有 n+2 個(gè)不同的根 x0 … xn x,,注意這里是對(duì) t 求導(dǎo),,,,注：? 若記 ，則插值余項(xiàng)為,?當(dāng) f(x) 為任一個(gè)次數(shù)? n 的多項(xiàng)式時(shí)， , 可知 ，即插

20、值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù)? n 的多項(xiàng)式是精確的。(若是代數(shù)插值,其插值函數(shù)就是f(x) ),定義：,當(dāng)點(diǎn)x位于基本插值區(qū)間內(nèi)時(shí),插值過(guò)程稱(chēng)為內(nèi)插,否則稱(chēng)為外推.,? 通常不能確定 ? , 而是估計(jì) , ?x?(a,b) 于是將 作為誤差估計(jì)上限。,外推比內(nèi)插效果差。,對(duì)于線性插值，其誤差為對(duì)于拋物插值（二次插值），其

21、誤差為,,例2.7 已知 =100, =121, 用線性插值估計(jì) 在x=115時(shí)的截?cái)嗾`差,解: 由插值余項(xiàng)公式知,因?yàn)?例2.8 已知x0=100, x1=121, x2=144,當(dāng)用拋物插值求 在x=115時(shí)的近似值，估計(jì)其的截?cái)嗾`差,,例2.9 設(shè)f(x)=x4, 用余項(xiàng)定理寫(xiě)出節(jié)點(diǎn) -1, 0, 1, 2的三次插值多項(xiàng)式,解: 根據(jù)

22、余項(xiàng)定理,例2.10 已知 sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274，分別用一、二次Lagrange插值計(jì)算 sin0.3367的值，并估計(jì)截?cái)嗾`差。,得,由,于是,（2）,得,由,于是,由此可知 稍好于,（3）,因?yàn)?,,則,,,解：,,n = 1,分別利用x0, x1 以及 x1, x2 計(jì)算,?利用,,這里,而,,?sin 50? = 0.766044

23、4…,外推 的實(shí)際誤差 ? ?0.0101,?利用,內(nèi)插 的實(shí)際誤差 ? 0.00596,內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的 x 所在的區(qū)間的端點(diǎn)，插值效果較好。,n = 2,,?sin 50? = 0.7660444…,2次插值的實(shí)際誤差 ? 0.00061,高次插值通常優(yōu)于低次插值,但絕對(duì)不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿……,§2.3 均差與牛頓插值多項(xiàng)式 拉格朗日插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，使用方便。但由于是用基函數(shù)構(gòu)成的插值，這

24、樣要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，所有的基函數(shù)必須全部重新計(jì)算，不具備承襲性，還造成計(jì)算量的浪費(fèi)。這就啟發(fā)我們?nèi)?gòu)造一種具有承襲性的插值多項(xiàng)式來(lái)克服這個(gè)缺點(diǎn)，也就是說(shuō)，每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只需增加相應(yīng)的一項(xiàng)即可。這就是牛頓插值多項(xiàng)式。,由線性代數(shù)知,任何一個(gè)不高于n次的多項(xiàng)式, 都可以表示成函數(shù),的線性組合, 也就是說(shuō), 可以把滿足插值條件p(xi)=yi (i=0,1,…,n)的n次插值多項(xiàng)式, 寫(xiě)成如下形式,其中ak (k=0,1,2,…,n

25、)為待定系數(shù),這種形式的插值多項(xiàng)式稱(chēng)為Newton插值多項(xiàng)式。我們把它記為Nn(x)即,（2.5）,可見(jiàn)，牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x)是插值多項(xiàng)式Pn(x)的另一種表示形式, 與Lagrange多項(xiàng)式相比它不僅克服了“增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整個(gè)計(jì)算工作重新開(kāi)始”的缺點(diǎn), 且可以節(jié)省乘除法運(yùn)算次數(shù), 同時(shí)在Newton插值多項(xiàng)式中用到差分與差商等概念，又與數(shù)值計(jì)算的其他方面有密切的關(guān)系.,它滿足其中ak (k=0,1,2,…,n)為待定系數(shù)，形

26、如（2.5）的插值多項(xiàng)式稱(chēng)為牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式。,1、差商的定義,稱(chēng),為 關(guān)于點(diǎn) 的二階差商。,2.3.1 差商及其性質(zhì),一般，稱(chēng),為 于點(diǎn) 的 k 階差商。,2、差商的計(jì)算,,例2.12 求 f(x)= x3在節(jié)點(diǎn) x=0, 2, 3, 5, 6上的各階差商值解: 計(jì)算得如下表,這個(gè)性質(zhì)可用數(shù)學(xué)歸納法證明（用Lagrange插值多項(xiàng)式比較最高項(xiàng)系

27、數(shù)來(lái)得到）,性質(zhì)1 函數(shù) f(x) 的 n 階差商 f [x0, x1 , …, xn ] 可由 函數(shù)值 f (x0), f (x1 ), … , f (xn ) 的線性組 合表示, 且,差商的性質(zhì),f[x0 , x1]=,f[x1 , x0],f(x1)- f(x0),x1 – x0,,,性質(zhì)2 差商具有對(duì)稱(chēng)性,即在k階差商中 任意交換兩個(gè)節(jié)點(diǎn) 和 的

28、次序,其值不變。 例如,性質(zhì)3 k階差商 和k階導(dǎo)數(shù)之間有下 列關(guān)系 這個(gè)性質(zhì)可直接用羅爾（Rolle）定理證明,性質(zhì)4 若f[x, x0, x1 , …, xk ]是 x 的 m 次多項(xiàng)式, 則 f[x, x0, x1 ,…, xk , xk+1]是 x 的 m-1 次多項(xiàng)式證：由差商定義,右端分子為 m 次多項(xiàng)式,

29、且當(dāng) x = xk+1 時(shí), 分子為0 ,故分子含有因子 xk+1 – x，與分母相消后，右端為m-1 次多項(xiàng)式。,4.4 .1 差商及其性質(zhì),,性質(zhì)5 若 f(x)是n次多項(xiàng)式, 則f [x, x0, x1 , …, xn ] 恒為0 證： f (x)是n次多項(xiàng)式，則f [x, x0 ]是 n-1次多 項(xiàng)式, f [x, x0, x

30、1 ]是 n-2 次多項(xiàng)式, 依次遞推 … …， f [x, x0, x1 , …, xn-1 ] 是零次多項(xiàng)式，所以 f[x,x0,x1 ,…,xn ]?0,2.3.2 牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式,的系數(shù) 可根據(jù)插值條件推

31、出, 即由 有,……,這是關(guān)于 的下三角方程組,可以求得,一般，用數(shù)學(xué)歸納法可證明,所以n次牛頓(Newton)插值公式為,其余項(xiàng),為牛頓插值多項(xiàng)式的誤差。由插值多項(xiàng)式的存在惟一性定理知，滿足同一組插值條件的拉格朗日插值多項(xiàng)式P(x)與牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x)實(shí)際上是同一個(gè)多項(xiàng)式，

32、僅是同一插值多項(xiàng)式的不同表達(dá)形式而已，因此得到牛頓插值多項(xiàng)式的誤差與拉格朗日插值多項(xiàng)式的誤差也完全相等。故有,由,（性質(zhì)3）建起了差商和,導(dǎo)數(shù)的關(guān)系用導(dǎo)數(shù)代替牛頓插值多項(xiàng)式中的差商，有,可以看出，牛頓插值公式計(jì)算方便，增加一個(gè)插值點(diǎn)，只要多計(jì)算一項(xiàng)，而Nn(x)的各項(xiàng)系數(shù)恰好是各階差商值，很有規(guī)律.,牛頓插值多項(xiàng)式可以寫(xiě)成：,,f[x0,x](x- x0),= f(x) - f(x0),,f(x),+ f[x0,x](x- x0),=f

33、(x0),f[x1,x0,x](x-x1),=f[x0,x]-f[x1,x0],,f[x0,x],+ f[x1,x0,x](x-x1),= f[x1,x0],,,,f(x),+ (x- x0) f[x1,x0],=f(x0),+ (x- x0) (x-x1) f[x1,x0,x],牛頓插值公式(另一種推導(dǎo)方法）,,f(x)=f(x0)+(x- x0)f[x1,x0]+(x- x0)(x-x1)f[x1,x0,x],,,f[x1,x0,x

34、],= (x-x2) f[x2,x1,x0,x],+f[x2,x1,x0],f(x)=f(x0)+(x- x0)f[x1,x0],+ (x- x0)(x-x1)f[x2,x1,x0] + (x- x0)(x-x1)(x-x2) f[x2,x1,x0,x],,,Nn(x),Rn(x),,如當(dāng)n=1時(shí)，f(x) = f(x0) + (x- x0)f[x1,x0] + (x- x0)(x-x1) f[x1,x0,x]Nn(x)= f

35、(x0) + (x- x0)f[x1,x0],其中Nn(x)稱(chēng)為牛頓插值多項(xiàng)式 Rn(x)稱(chēng)為牛頓插值余項(xiàng),,4.4.2 牛頓插值公式,,4.4 .1 差商及其性質(zhì),,例2.13 已知 x=0, 2, 3, 5 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 y=1, 3, 2, 5 , 作三次Newton插值多項(xiàng)式。 xi f(xi) 一階差商 二階差商

36、 三階差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 ∴ 所求的三次Newton插值多項(xiàng)式為,

37、4.4 .1 差商及其性質(zhì),,例2.14 已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求 f [20, 21, … 27 ] 及 f [20, 21, … 27, 28 ]分析：本題 f(x)是一個(gè)多項(xiàng)式, 故應(yīng)利用差商的性質(zhì)解: 由差商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,,例2.15 利用二次牛頓插值多項(xiàng)式求 ，并估計(jì)其誤差,解：作函數(shù) f(x) =,取

38、x0=4, x1=9, x2=6.25 , 建立差商表,f 3(x) =,Rn (x),在區(qū)間[ 4 , 9 ]上，,余式近似 0.5 *10 -2, N2(7) = 2.64848 可舍入為2.65,| f(x)(n+1) | ? Mn+1,由,已知函數(shù)表如下x 10 11 12 13lnx2.3026 2.3979 2.4849 2

39、.5649試分別用牛頓線形插值與二次插值計(jì)算ln11.75的近似值，并估計(jì)截?cái)嗾`差。,課堂作業(yè),已知等距節(jié)點(diǎn),§2.4 差分與等距節(jié)點(diǎn)插值,1、差分,簡(jiǎn)記為,簡(jiǎn)記為,高階向前差分,高階向后差分,如,2、高階差分,又如,3、前差與后差的關(guān)系,一般有,則有,,,因此,,,4、差商與差分的關(guān)系,m階向前差商與m階向前差分的關(guān)系,m階向后差商與m階向后差分的關(guān)系,又,所以,,,,,5、差分的計(jì)算,,,,,,,,,,,,,6、等距節(jié)

40、點(diǎn)的Newton插值,已知等距節(jié)點(diǎn),得,令 由Newton插值公式,其中,即,其中 ,公式 稱(chēng)之為牛頓向前插值公式余項(xiàng)。,,同理可得后插公式,其中 ,公式 稱(chēng)之為牛頓向后插值公式余項(xiàng)。,,例2.16 計(jì)算 f (x) = x3在等

41、距節(jié)點(diǎn)0，1，2，3, 4上的各 階差分值,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,7,19,37,6,12,18,6,6,0,,,解：建立差分表,,= -1+1+0+0.375,= 0.375,例2.17 按下列數(shù)值表用牛頓前插公式求y(-0.5) 的近似值,N3(x),已知函數(shù)表如下 x 0.0 0.2 0.4 0.6 0

42、.8 ex 1.0000 1.2214 1.4918 1.8221 2.2255(1)    分別構(gòu)造向前差分表與向后差分表;(2)   分別用三點(diǎn)與四點(diǎn)前插公式計(jì)算e0.13 的近似值，并估計(jì)誤差；(3)   分別用三點(diǎn)與四點(diǎn)后插公式計(jì)算e0.72 的近似值，并估計(jì)誤差；(4)  構(gòu)造差商表，并分別用三點(diǎn)

43、與四點(diǎn)牛頓基本插值公式計(jì)算e0.12 的近似值．,許多實(shí)際問(wèn)題不但要求插值函數(shù)p(x)在插值節(jié)點(diǎn)處與被插函數(shù)f(x)有相同的函數(shù)值p(xi)=f(xi) (i=0,1,2,…,n), 而且要求在有些節(jié)點(diǎn)或全部節(jié)點(diǎn)上與f(x)的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)值也相等，能滿足這種要求的插值問(wèn)題就稱(chēng)為埃爾米特插值(Hermite),2.5 埃爾米特(Hermite)插值與分段插值,埃爾米特(Hermite)插值,求多項(xiàng)式

44、 滿足,則 稱(chēng)為Hermite插值多項(xiàng)式,因?yàn)閿?shù)表中有 個(gè)已知數(shù)，可確定一個(gè) 次多項(xiàng)式。,,定義 已知 n+1個(gè)互異點(diǎn)上 的函數(shù)值 和導(dǎo)數(shù)值 ,若存在 一個(gè)次數(shù)不超過(guò)2n+1的多項(xiàng)式H(x)，滿足 則稱(chēng)H(x)為f(x)的2n+1次埃爾米特(Hermite)插值多

45、項(xiàng)式,上式給出了2n+2個(gè)條件，可惟一確定一個(gè)次數(shù)不超過(guò)2n+1的多項(xiàng)式H2n+1(x)，采用類(lèi)似于求Lagrange插值多項(xiàng)式的基函數(shù)方法求埃爾米特(Hermite)插值多項(xiàng)式H2n+1(x),當(dāng) 較大時(shí)用待定系數(shù)法求 是困難的,且滿足,其中,且滿足,所以 為Hermite插值多項(xiàng)式。,Kronecker（克羅內(nèi)克）符號(hào),Hermite插值多項(xiàng)式可寫(xiě)成插

46、值基函數(shù)表示的形式,´,驗(yàn)證：,令,則,其中,又,則,得,所以,其中,則,所以,令,則,又,由,得,所以,同理：,定理2.3 滿足插值條件 的Hermite插值多項(xiàng)式是惟一的。證: 設(shè) 和 都滿足上述插值條件,令則每個(gè)節(jié)點(diǎn) 均為 的二重根,即有2n+2個(gè)根，但 是不高于2n+1次的多項(xiàng)式，所以 ，即 惟一性得證。,定

47、理2.4 若f(x)在?a,b?上存在2n+2階導(dǎo)數(shù)，則 2n+1次Hermite插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為,其中,定理的證明可仿照Lagrange插值余項(xiàng)的證明方法請(qǐng)同學(xué)們自行證明,實(shí)際中使用最廣泛的是三次Hermite插值多項(xiàng)式,即n=1的情況,余項(xiàng),例2.18 給定 , 求 并計(jì)算,解 x0 = ? 1, x1 = 1,,f (0.5)≈H3(0.

48、5) = 3.5625.,例 2.19 已知,求三次多項(xiàng)式 滿足,解,所以,驗(yàn)證：,分段插值,高次插值的龍格現(xiàn)象 插值多項(xiàng)式余項(xiàng)公式說(shuō)明插值節(jié)點(diǎn)越多，一般說(shuō)來(lái)誤差越小，函數(shù)逼近越好，但這也不是絕對(duì)的，因?yàn)橛囗?xiàng)的大小既與插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)有關(guān)，也與函數(shù)f(x)的高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)。換句話說(shuō)，適當(dāng)?shù)靥岣卟逯刀囗?xiàng)式的次數(shù)，有可能提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確程度，但并非插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高越好。當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增多時(shí)，不能保證

49、非節(jié)點(diǎn)處的插值精度得到改善，有時(shí)反而誤差更大?？疾旌瘮?shù),考察函數(shù),右圖給出了的圖像,當(dāng)n增大時(shí), 在兩端會(huì)發(fā)出激烈的振蕩,這就是所謂龍格現(xiàn)象。該現(xiàn)象表明,在大范圍內(nèi)使用高次插值,逼近的效果往往是不理想的,,,另外，從舍入誤差來(lái)看，高次插值誤差的傳播也較為嚴(yán)重，在一個(gè)節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的舍入誤差會(huì)在計(jì)算中不斷擴(kuò)大，并傳播到其它節(jié)點(diǎn)上。因此，次數(shù)太高的高次插值多項(xiàng)式并不實(shí)用，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)數(shù)增加時(shí)，計(jì)算量增大了，但插值函數(shù)

50、的精度并未提高。為克服在區(qū)間上進(jìn)行高次插值所造成的龍格現(xiàn)象，采用分段插值的方法，將插值區(qū)間分成若干個(gè)小的區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間進(jìn)行線性插值，然后相互連接，用連接相鄰節(jié)點(diǎn)的折線逼近被插函數(shù)，這種把插值區(qū)間分段的方法就是分段線性插值法。,1、分段線性插值,記步長(zhǎng),（2）,則稱(chēng) 為分段線性插值,,在幾何上就是用折線替代曲線,如右圖所示若用插值基函數(shù)表示,則在?a,b?上,其中,顯然， 是分段線性連續(xù)函數(shù)，且

51、 稱(chēng)Ih(x)為f(x)的分段線性插值函數(shù)。由線性插值的余項(xiàng)估計(jì)式知,f(x)在每個(gè)子段上有誤差估計(jì)式其中,例2.21 已知f(x)在四個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值如下表所示,,,30 45 60 90,1,求f(x)在區(qū)間?30,90?上的分段連續(xù)線性插值函數(shù)S(x),解 將插值區(qū)間?30,90?分成連續(xù)的三個(gè)小區(qū)間 ?30,45?,?45,60?,?60,90?

52、 則S(x)在區(qū)間?30,45?上的線性插值為,S(x)在區(qū)間?45,60?上的線性插值為,S(x)在區(qū)間?60,90?上的線性插值為,將各小區(qū)間的線性插值函數(shù)連接在一起，得,2、分段三次Hermite插值,（2）,為分段三次Hermite插值,插值小結(jié),插值法是實(shí)用性很強(qiáng)的方法，它們解決的實(shí)際問(wèn)題雖然各式各樣，但抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題卻有它的共性，即利用已知的數(shù)據(jù)去尋求某個(gè)較為簡(jiǎn)單的函數(shù)P(x)來(lái)逼近f(x)。插值法給出了尋求這種近似函數(shù)的原

53、則，以及構(gòu)造近似函數(shù)的幾種具體方法。插值法要求近似函數(shù)在已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)必須與f(x)完全一致。,引言,什么是最小二乘法,最小二乘法的求解,加權(quán)最小二乘法,2.6 曲線擬合的最小二乘法,實(shí)例：考察某種纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)的關(guān)系,下表是實(shí)際測(cè)定的24個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)的拉伸倍數(shù)是記錄:,1、引言,纖維強(qiáng)度隨拉伸倍數(shù)增加而增加,,并且24個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線附近,---------(1),必須找到一種度量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量什么曲線最接近所

54、有數(shù)據(jù)點(diǎn)。,一般使用,在回歸分析中稱(chēng)為殘差,稱(chēng)為平方誤差。,可以考慮上面平方誤差的最小值，來(lái)確定(1)中的待定系數(shù):,2、最小二乘法,仍然定義平方誤差,我們選取的度量標(biāo)準(zhǔn)是,---------(2),---------(3),,,,,,由,因此可假設(shè),因此求最小二乘解轉(zhuǎn)化為,二次函數(shù),3、最小二乘法的求法,由多元函數(shù)取極值的必要條件,得,即,---------(4),即,引入記號(hào),定義向量的內(nèi)積,---------(5),-------

55、--(6),顯然內(nèi)積滿足交換律,方程組(4)便可化為,---------(7),將其表示成矩陣形式,-----(8),,并且其系數(shù)矩陣為對(duì)稱(chēng)陣,所以法方程組的系數(shù)矩陣非奇異,即,根據(jù)Cramer法則,法方程組有唯一解,即,是,的最小值,所以,因此,作為一種簡(jiǎn)單的情況,,基函數(shù)之間的內(nèi)積為,平方誤差,例1. 回到本節(jié)開(kāi)始的實(shí)例，從散點(diǎn)圖可以看出,纖維強(qiáng)度和拉伸倍數(shù)之間近似與線性關(guān)系,故可選取線性函數(shù),為擬合函數(shù)，其基函數(shù)為,建立法方程組

56、,根據(jù)內(nèi)積公式，可得,實(shí)例：考察某種纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)的關(guān)系,下表是實(shí)際測(cè)定的24個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)的拉伸倍數(shù)是記錄:,1、引言,法方程組為,解得,平方誤差為,擬合曲線與散點(diǎn)的關(guān)系如右圖:,例2.,求擬合下列數(shù)據(jù)的最小二乘解,x=.24 .65 .95 1.24 1.73 2.01 2.23 2.52 2.77 2.99y=.23 -.26 -1.10 -.45 .27 .10 -.29 .24.56 1,解:,從數(shù)據(jù)的散點(diǎn)

57、圖可以看出,因此假設(shè)擬合函數(shù)與基函數(shù)分別為,6.7941 -5.3475 63.2589-5.3475 5.1084 -49.008663.2589 -49.0086 1002.5,1.6163-2.382726.7728,通過(guò)計(jì)算,得法方程組的系數(shù)矩陣及常數(shù)項(xiàng)矩陣為,用Gauss列主元消去法,得,-1.0410 -1.2613 0.030735,擬合的平方誤差為,例3.,在某化學(xué)反應(yīng)里,測(cè)得生成物濃度

58、y%與時(shí)間t的數(shù)據(jù)如下，試建立y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)公式,t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00, 10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60,解:,,具有圖示的圖形的曲線很多，本題特提供兩種形式,兩邊取對(duì)數(shù),得,得,即為擬合函數(shù),基函數(shù)為,解法方程組得,,平方

59、誤差為,用最小二乘法得,即,無(wú)論從圖形還是從平方誤差考慮,在本例中指數(shù)函數(shù)擬合比雙曲線擬合要好,平方誤差為,從本例看到，擬合曲線的數(shù)學(xué)模型并不是一開(kāi)始就能選好的，往往要通過(guò)分析確定若干模型之后，再經(jīng)過(guò)實(shí)際計(jì)算，才能選到較好的模型。,各點(diǎn)的重要性可能是不一樣的,重度:,即權(quán)重或者密度，統(tǒng)稱(chēng)為權(quán)系數(shù),定義加權(quán)平方誤差為:,-----(9),4、加權(quán)最小二乘法,使得,由多元函數(shù)取極值的必要條件,得,即,引入記號(hào),定義加權(quán)內(nèi)積,-----(1

60、0),矩陣形式(法方程組)為,方程組(10)式化為,-----(11),---(12),平方誤差為,作為特殊情形,用多項(xiàng)式作擬合函數(shù)的法方程組為,-----(13),,,,對(duì)此新的數(shù)據(jù)點(diǎn)作線性擬合,,易得法方程為,,解之得,,給出數(shù)據(jù),練習(xí),,擬合函數(shù),,試確定,,,例2.4 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用拋物插值公式, 求,(x0–x1)(x0–x2),(x–x1)(x–x2),y0,,+,(x1–x0)(x1–x2

61、),(x–x0)(x–x2),,y1,+,(x2–x0)(x2–x1),(x–x0)(x–x1),,y2,L2(7) =,x0=1, x1=4, x2=9,y0=1, y1=2, y2=3,(1–4)(1–9),(7–4)(7–9),* 1,,+,(4–1)(4–9),(7–1)(7–9),,* 2,+,(9–1)(9–4),(7–1)(7–4),,* 3,= 2.7,L2(x) =,解:,例2.5 求過(guò)點(diǎn)(0,1)、(1,2)