07-概率統(tǒng)計-假設檢驗

1、概率論與數理統(tǒng)計,第七章 假設檢驗,主要內容,假設檢驗的基本概念正態(tài)總體參數的假設檢驗*多個正態(tài)總體均值的比較——單因素方差分析*?2擬合優(yōu)度檢驗,§7.1 假設檢驗的基本概念,一、統(tǒng)計假設與統(tǒng)計假設檢驗,統(tǒng)計假設：通過實際觀察或理論分析對總體分布形式或對總體分布形式中的某些參數作出某種假設。同一問題中的統(tǒng)計假設有兩個：原假設和備擇假設,統(tǒng)計假設檢驗：根據問題的要求提出假設，構造適當的統(tǒng)計量，按照樣本提供的信息，以及

2、一定的規(guī)則，在原假設和備擇假設之間作出接受哪一個的合理判斷。,基本原則——小概率事件在一次試驗中是不可能發(fā)生的。,引例：已知某班《概率統(tǒng)計》的期末考試成績服從正態(tài)分布。根據平時的學習情況及試卷的難易程度，估計平均成績?yōu)?5分，考試后隨機抽樣5位同學的試卷，得平均成績?yōu)?2分，試問所估計的75分是否正確？,“全班平均成績是75分”，這就是一個假設,根據樣本均值為72分，和已有的定理結論，對EX=75是否正確作出判斷，這就是檢驗，對

3、總體均值的檢驗。,判斷結果：接受原假設，或拒絕原假設。,表達：原假設：H0：EX=75；備擇假設： H1：EX≠75,,雙側檢驗與單側檢驗參數假設與非參數假設參數假設：可以用有限個參數假設來的假設非參數假設：不用參數假設，如例7.3簡單假設與復合假設簡單假設：一個假設只指定參數空間的一個點復合假設：指定多個點,引例問題,原假設 H0：EX=75；H1：EX≠75,假定原假設正確，則X~N（75，?2），于是T統(tǒng)計量,可得

4、,如果樣本的觀測值,則拒絕H0,,檢驗水平,,臨界值,,拒絕域,,二、檢驗統(tǒng)計量和拒絕域,檢驗法則：規(guī)則能告訴我們，在有了樣本觀測數據提供的信息后，是接受還是拒絕原假設。,檢驗統(tǒng)計量：可以把樣本中包含的我們所關心的未知參數的信息最大限度地集中起來，當原假設成立時，其精確分布或極限分布應已知或部分已知，且它取值的大小可以反映對原假設有利或不利的傾向。,臨界值：一個適當的界限，以便作出拒絕或接受原假設拒絕域：接受域：,三、兩類錯誤和顯著

5、性水平,第一類錯誤（拒真錯誤）——原假設H0為真，而檢驗結果為拒絕H0；記其概率為?，即 P{拒絕H0|H0為真}= ?,第二類錯誤（取偽錯誤）——原假設H0不符合實際，而檢驗結果為接受H0；記其概率為?，即 P{接受H0|H0不真}= ?,希望：犯兩類錯誤的概率越小越好，但樣本容量一定 的前提下，不可能同時降低?和?。,奈曼和皮爾遜提出

6、的原則：保護原假設，即限制?的前提下，使?盡可能的小。,注意：“接受H0”，并不意味著H0一定為真；“拒絕H0” 也不意味著H0一定不真。,三、兩類錯誤和顯著性水平,為簡單起見，實際進行假設檢驗時，著重對犯第一類錯誤的概率加以控制，再適當考慮犯第二類錯誤的概率大小。這樣的檢驗稱為顯著性檢驗。在檢驗一個給定假設時，允許犯第一類錯誤的最大概率稱為檢驗的顯著性水平，記為? 即：P{

7、拒絕H0|H0為真}=(?) ?,基本思想——小概率原理,參數的假設檢驗：已知總體的分布類型，對分布函數或密度函數中的某些參數提出假設，并檢驗。,基本原則——小概率事件在一次試驗中是不可能發(fā)生的。,思想：如果原假設成立，那么某個分布已知的統(tǒng)計量在某個區(qū)域內取值的概率?應該較小，如果樣本的觀測數值落在這個小概率區(qū)域內，則原假設不正確，所以，拒絕原假設；否則，接受原假設。,假設檢驗的推理用到概率性質的反證法：先假設H0正確，看由此可

8、以推出什么結果。如果樣本觀測值導致了一個不合理現象的出現，則有理由否定原假設H0，而接受備擇假設H1；否則，只能將原假設H0當做真的保留下來。應從統(tǒng)計意義上理解假設檢驗得出的結論：如果檢驗的結果是接受原假設H0，并不意味著原假設H0一定是真的，只是我們尚無充分的統(tǒng)計證據去拒絕原假設H0；如果得出的結論拒絕原假設H0，也并不意味著H0一定不真，只是現有的樣本數據沒有支持H0成立，故有理由拒絕H0。,四、假設檢驗的一般步驟,1. 提

9、出原假設，確定備擇假設；,2. 選取或構造分布已知的合適的統(tǒng)計量；,3. 由給定的檢驗水平?，求出在H0成立的條件下的 臨界值（上側?分位數，或雙側?分位數）；,4. 根據樣本的觀測值，計算統(tǒng)計量的值。,5. 作出拒絕或接受原假設的統(tǒng)計判斷：如果落在拒絕域內，則拒絕原假設，否則，接受原假設。,§7.2 正態(tài)總體參數的假設檢驗,方差已知，關于均值的假設檢驗——U檢驗,問題：總體X~N（?，?2），?2已知,

10、一、單個正態(tài)總體參數的假設檢驗,假設 H0：?=?0；H1：?≠?0,構造U統(tǒng)計量,由,雙邊檢驗,如果統(tǒng)計量的觀測值,則拒絕原假設；否則接受原假設,確定拒絕域,H0為真的前提下,例1 由經驗知某零件的重量X~N（?，?2），?=15，?=0.05；技術革新后，抽出6個零件，測得重量為（單位：克）14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6，已知方差不變，試統(tǒng)計推斷，平均重量是否仍為15克？（?=0.

11、05）,解 由題意可知：零件重量X~N（?，?2），且技術 革新前后的方差不變?2=0.052，要求對均值進行 檢驗，采用U檢驗法。,假設 H0：?=15； H1： ?≠15,構造U統(tǒng)計量，得U的0.05雙側分位數為,例1 由經驗知某零件的重量X~N（?，?2），?=15，?=0.05；技術革新后，抽出6個零件，測得重量為（單位：克）14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14

12、.6，已知方差不變，試統(tǒng)計推斷，平均重量是否仍為15克？（?=0.05）,解,因為4.9>1.96 ，即觀測值落在拒絕域內,所以拒絕原假設。,而樣本均值為,故U統(tǒng)計量的觀測值為,H0：?=?0；H1：???0,H0：?=?0；H1：???0,或,單 邊 檢 驗,拒絕域為,拒絕域為,例2 由經驗知某零件的重量X~N（?，?2），?=15，?=0.05；技術革新后，抽出6個零件，測得重量為（單位：克）14.7 15.1 1

13、4.8 15.0 15.2 14.6，已知方差不變，試統(tǒng)計推斷，技術革新后，零件的平均重量是否降低？（?=0.05）,解 由題意可知：零件重量X~N（?，?2），且技術 革新前后的方差不變?2=0.052，要求對均值進行 檢驗，采用U檢驗法。,假設 H0：?=15； H1： ??15,構造U統(tǒng)計量，得U的0.05上側分位數為,單側檢驗,因為 ，即

14、觀測值落在拒絕域內,所以拒絕原假設，即可認為平均重量是降低了。,而樣本均值為,故U統(tǒng)計量的觀測值為,例2 由經驗知某零件的重量X~N（?，?2），?=15，?=0.05；技術革新后，抽出6個零件，測得重量為（單位：克）14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6，已知方差不變，試統(tǒng)計推斷，技術革新后，零件的平均重量是否降低？（?=0.05）,解,表7.1 方差已知時單個正態(tài)總體均值的檢驗法則（U檢驗法）

15、,單個正態(tài)總體方差未知的均值檢驗——T檢驗,問題：總體X~N（?，?2），?2未知,假設 H0：?=?0；H1：?≠?0,構造T統(tǒng)計量,由,雙邊檢驗,如果統(tǒng)計量的觀測值,則拒絕原假設；否則接受原假設,確定拒絕域,例3 化工廠用自動包裝機包裝化肥，每包重量服從正態(tài)分布，額定重量為100公斤。某日開工后，為了確定包裝機這天的工作是否正常，隨機抽取9袋化肥，稱得平均重量為99.978，均方差為1.212，能否認為這天的包裝機

16、工作正常？（?=0.1）,解 由題意可知：化肥重量X~N（?，?2），?0=100 方差未知，要求對均值進行檢驗，采用T檢驗法。,假設 H0：?=100； H1： ?≠100,構造T統(tǒng)計量，得T的0.1雙側分位數為,解,因為0.0545<1.86 ，即觀測值落在接受域內,所以接受原假設，即可認為這天的包裝機工作正常。,而樣本均值、均方差為,故T統(tǒng)計量的觀測值為,例3 化工廠用自動包裝機包裝化肥，每包重量服從正

17、態(tài)分布，額定重量為100公斤。某日開工后，為了確定包裝機這天的工作是否正常，隨機抽取9袋化肥，稱得平均重量為99.978，均方差為1.212，能否認為這天的包裝機工作正常？（?=0.1）,H0：?=?0；H1：???0,H0：?=?0；H1：???0,或,單邊檢驗,拒絕域為,拒絕域為,表7.2 方差未知時單個正態(tài)總體均值的檢驗法則（T檢驗法）,一個正態(tài)總體均值未知的方差檢驗——?2檢驗,問題：設總體X~N（?，?2），?未知

18、,構造?2統(tǒng)計量,由,如果統(tǒng)計量的觀測值,則拒絕原假設；否則接受原假設,確定臨界值,或,假設,,,雙邊檢驗,表7.3 均值未知時單個正態(tài)總體方差的檢驗法則（?2檢驗法）,單個正態(tài)總體均值已知的方差檢驗——?2檢驗,問題：總體X~N（?，?2），?已知,構造?2統(tǒng)計量,由,如果統(tǒng)計量的觀測值,則拒絕原假設；否則接受原假設,確定臨界值,或,假設,,,拒絕域,表7.4 均值已知時單個正態(tài)總體方差的檢驗法則（?2檢驗法）,例4 某煉鐵廠

19、的鐵水含碳量X在正常情況下服從正態(tài)分布，現對工藝進行了某些改進，從中抽取5爐鐵水測得含碳量如下：4.421，4.052，4.357，4.287，4.683，據此是否可判斷新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為0.1082（?=0.05）？,解 這是一個均值未知，正態(tài)總體的方差檢驗， 用?2檢驗法,由?=0.05，得臨界值,假設,例4 某煉鐵廠的鐵水含碳量X在正常情況下服從正態(tài)分布，現對工藝進行了某些改進，從中抽取5爐

20、鐵水測得含碳量如下：4.421，4.052，4.357，4.287，4.683，據此是否可判斷新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為0.1082（?=0.05）？,解,?2統(tǒng)計量的觀測值為17.8543,因為,所以拒絕原假設,即可判斷新工藝煉出的鐵水含碳量的方差不是0.1082,問題的提出：有時，我們需要比較兩總體的參數是否存在顯著差異。比如，兩個農作物品種的產量，兩種電子元件的使用壽命，兩種加工工藝對產品質量的影響，兩地區(qū)的氣候差異等

21、等。,二、兩個正態(tài)總體參數的假設檢驗,已知 ，檢驗H0：,1. 方差已知，檢驗均值相等 （即檢驗均值差）,問題：,則,所以，,從而，當H0成立時，,對給定的檢驗水平 得H0的拒絕域：,兩個正態(tài)總體的均值檢驗 ——U檢驗法,已知 ，檢驗H0：,1. 方差已知，檢驗均值相等,問題：,表7.5 方差已知時，兩個正態(tài)總體均值差的檢驗法則（U檢驗法）,解 假設：,因為：

22、,所以接受H0假設，即認為 A、B兩法的平均產量無統(tǒng)計意義。,例 據以往資料，已知某品種小麥每4平方米產量（千克）的 方差為 。今在一塊地上用A，B 兩法試驗，A 法設12個樣本點，得平均產量 ；B 法設8個樣本點，得平均產量 ，試比較A、B兩法的平均產量是否有統(tǒng)計意義。,兩個正態(tài)總體參數的均值檢驗,2. 方差未知，但兩個總體的方差相等，檢

23、驗均值相等,問題：,未知 ，但知 ，檢驗H0：,對給定的檢驗水平 得H0的拒絕域：,若 H0 成立，則,兩個正態(tài)總體的均值檢驗 ——T檢驗法,2. 方差未知，但兩個總體的方差相等，檢驗均值相等,,具體的檢驗法則見P189，表7.6例7.7 （P189）,解 假設：,所以拒絕H0假設，即認為 A、B兩種燈泡的平均壽命有統(tǒng)計意義。,例2 有兩種燈泡，一種用

24、 A 型燈絲，另一種用 B 型燈絲。隨機 抽取兩種燈泡各10 只做試驗，測得它們的壽命（小時）為：A 型：1293 1380 1614 1497 1340 1643 1466 1677 1387 1711B 型：1061 1065 1092 1017 1021 1138 1143 1094 1028 1119 設兩種燈泡的壽命均服從正態(tài)分布且方差相等，試檢驗兩種

25、 燈泡的平均壽命之間是否存在顯著差異？,方法一：大樣本方法——近似U檢驗法；方法二：成對數據的比較——T檢驗法,兩個正態(tài)總體的均值檢驗 ——T檢驗法,3. 方差未知，且兩總體的方差不等，檢驗均值相等,方法三：兩獨立的小樣本——近似T檢驗法；,兩個正態(tài)總體的均值檢驗 ——T檢驗法,3. 方差未知，且兩總體的方差不等，檢驗均值相等,未知 ，檢驗假設H0：,若假設H0成立，則,對給定的檢驗水平

26、 得H0的拒絕域：,及,兩個正態(tài)總體的方差檢驗——F檢驗,問題：,由于,例3 測得兩批電子器材的樣本的電阻為：（單位：?）第一批：0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137第二批：0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140設這兩批器材的電阻均服從正態(tài)分布，試檢驗H0：,解 這是一個兩正態(tài)總體的方差檢驗問題，用F檢驗法,由

27、樣本觀測數據得,假設,所以,而,所以，接受原假設，即可認為兩批電子器材的方差相等,例4 對甲、乙兩種玉米進行評比試驗，得如下產量資料： 甲：951 966 1008 1082 983 乙：730 864 742 774 990 問這兩種玉米的產量差異有沒有統(tǒng)計意義？,解 先對方差作檢驗：,因為,所以可認為甲、乙兩種玉米的方差沒有顯著差異即可認為,例4 對甲、乙兩