自動(dòng)控制系統(tǒng)的根軌跡

1、第4章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的根軌跡,§4.1 根軌跡概念§4.2 根軌跡增益及根軌跡方程§4.3 根軌跡繪制的基本法制§4.4 使用MATLAB繪制根軌跡§4.5 根軌跡與系統(tǒng)性能的關(guān)系§4.6 廣義根軌跡,根軌跡概念,根軌跡(Root Locus)描述的是一個(gè)系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變到無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在Ｓ平面內(nèi)變化的軌跡 根軌跡法

2、是歐文斯（W. R. Evans）于1948年在“控制系統(tǒng)的圖解分析”一文中提出的，它是一種求解閉環(huán)特征方程根的圖解方法,根軌跡增益,控制系統(tǒng)的一般框圖如下圖所示：,不失一般性，很容易得到其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：,,上式中， 被稱為根軌跡增益(Root Locus Gain),根軌跡方程,根軌跡方程包括兩部分，分別為幅值方程和相角方程,幅值方程,相角方程,,,根軌跡繪制的基本法則,法則一,根軌跡的起點(diǎn)是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，根軌跡的終點(diǎn)是

3、開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn),法則二,根軌跡的分支數(shù)與開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)m和有限極點(diǎn)數(shù)n中的大者相等，它們是連續(xù)的并且對(duì)稱于實(shí)軸,法則三,實(shí)軸上的根軌跡右側(cè)的極點(diǎn)和零點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù),法則四,趨向無(wú)窮遠(yuǎn)的根軌跡的漸進(jìn)線與實(shí)軸的夾角為：,,根軌跡的漸進(jìn)線與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：,,法則五,實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn)與分離角。兩條或兩條以上根軌跡分支點(diǎn)在S平面上相遇又立即分開(kāi)的點(diǎn)，稱為分離點(diǎn)，分離點(diǎn)的坐標(biāo)d是下列方程的解：,,式中， 為各開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的數(shù)值；

4、 為各開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值,,,這些根軌跡在分離點(diǎn)上的分離角為：,,式中， 為進(jìn)入并立即離開(kāi)分離點(diǎn)的根軌跡條數(shù),,法則六,根軌跡離開(kāi)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角，稱為起始角，以 標(biāo)志；根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角稱為終止角，以 表示。這些角度可按照如下的關(guān)系求出：,,及,,法則七,條件穩(wěn)定系統(tǒng)的根軌跡與虛軸相交，其交點(diǎn)滿足：,條件穩(wěn)定系統(tǒng)是指某個(gè)參數(shù)或某些參數(shù)在一定范圍內(nèi)時(shí)閉環(huán)穩(wěn)定，超出范圍時(shí)閉環(huán)

5、不穩(wěn)定的系統(tǒng)。在這里則理解為增益在某些范圍內(nèi)使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則就使閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,若根軌跡與虛軸相交，則交點(diǎn)上的根軌跡增益 值和 值可用勞斯判據(jù)確定，也可令閉環(huán)特征方程中的 ，然后分別令其實(shí)部和虛部為零求得,,,法則八,當(dāng) 時(shí)，無(wú)論 取何值，開(kāi)環(huán) 個(gè)極點(diǎn)之和總是等于閉環(huán)特征方程 個(gè)根之和,,使用MATLAB繪制根軌跡,1、求系統(tǒng)

6、根軌跡的函數(shù),函數(shù)主要用于繪制單輸入單輸出系統(tǒng)的根軌跡圖；而 函數(shù)則可用來(lái)同時(shí)在一個(gè)圖上繪制多個(gè)系統(tǒng)的根軌跡圖,函數(shù)的調(diào)用格式：,（1） --用來(lái)繪制單輸入單輸出系統(tǒng)的根軌跡圖，其中 為閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),（2） --使用用戶指定的增益“ ”來(lái)繪制根軌跡,（3）

7、 或 --返回給定增益 處的復(fù)根矩陣 ，但不直接繪制出零極點(diǎn)圖,舉例,設(shè)一負(fù)反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：,使用MATLAB繪制上述系統(tǒng)根軌跡圖。,解：程序如下：,num=[1 1];den=conv([1 0],conv([2 1], conv([1 3],conv([1 5],[1 3 6])))); s=tf(num,den);rlocus(s);se

8、t(gca,’xlim’,[-10 0]); grid;,結(jié)果如下圖所示,2、求系統(tǒng)根軌跡的函數(shù),函數(shù)主要用來(lái)確定給定極點(diǎn)時(shí)的根軌跡增益。該函數(shù)有兩種形式：,,--主要用于交互方式的根軌跡顯示，當(dāng)該函數(shù)運(yùn)行后， 會(huì)在圖形窗口中顯示一個(gè)十字光標(biāo)，用于選擇現(xiàn)有根軌跡極點(diǎn)的位置，一旦選定后，它會(huì)將該點(diǎn)的根軌跡返回給句柄“ ”，同時(shí)，與該增益有關(guān)的所有系統(tǒng)極點(diǎn)也返回給“ ”,,,會(huì)提取給定極

9、點(diǎn)位置的“ ”矢量，然后，對(duì)于每一個(gè)這些位置計(jì)算其根軌跡增益，也即其中一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)與給定位置很接近的增益,,舉例,設(shè)有一負(fù)反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：,,當(dāng)系統(tǒng)零點(diǎn) 時(shí)，試確定閉環(huán)極點(diǎn)均為負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)的開(kāi)環(huán)增益 的范圍。,,,解：首先使用MATLAB繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖，根據(jù)題意，本題選用MATLAB中的 來(lái)求出純負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)時(shí)的開(kāi)環(huán)增益“ ”的范圍，具體程序如下：

10、,,,num=[1 1];den=conv([1 0 0],[0.1 1]);s=tf(num,den);rlocus(s);[k,poles]=rlocfind(s);,結(jié)果如下圖所示：,根據(jù)題意，當(dāng)鼠標(biāo)在“A”、“B”兩點(diǎn)之間移動(dòng)時(shí)，可以顯示出該處的根軌跡增益及其他的相關(guān)數(shù)據(jù)，因此，從所顯示的增益值，得知系統(tǒng)極點(diǎn)均為負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)的增益范圍約為：,,3、 零極點(diǎn)分布圖函數(shù),該函數(shù)的功能就是將系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖畫出來(lái),如把上例的程序

11、改寫成如下形式：,num=[1 1];den=conv([1 0 0],[0.1 1]);s=tf(num,den);pzmap(s);,得到的系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖如下圖所示,根軌跡設(shè)計(jì)工具,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,圖中的被控對(duì)象可以是由函數(shù) 中任何一個(gè)函數(shù)建立的 對(duì)象模型,,,調(diào)用格式：,--用于設(shè)定補(bǔ)償環(huán)節(jié)的初始值，補(bǔ)償環(huán)節(jié)也可以是由函數(shù)

12、 中任何一個(gè)函數(shù)建立的 對(duì)象模型,,,,--制定一個(gè)可替換的補(bǔ)償環(huán)節(jié)的位置，其反饋信號(hào)含義如下：,,--在前向通道設(shè)置補(bǔ)償環(huán)節(jié),,--在反饋通道設(shè)置補(bǔ)償環(huán)節(jié),,--負(fù)反饋,--正反饋,,,舉例,設(shè)需要設(shè)計(jì)的系統(tǒng)為：,,具體命令如下：,num=[1 1];den=conv([1 0 0],[0.1 1]);s=tf(num,den);rltool(s);,當(dāng)輸入下列命令，并運(yùn)行函數(shù)

13、 后，就可以看到如下圖所示的畫面,,根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系,一般而言，從根軌跡圖中可以看出，系統(tǒng)的整個(gè)根軌跡圖均位于虛軸的左邊，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，如有一部分根軌跡圖位于虛軸的右邊，則系統(tǒng)存在著臨界增益，當(dāng)根軌跡增益大于此臨界增益時(shí)，系統(tǒng)就變得不穩(wěn)定 此外，如果根軌跡圖距離虛軸越遠(yuǎn)，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性就越好，系統(tǒng)的衰減也就越快。如果系統(tǒng)零點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，動(dòng)態(tài)響應(yīng)越慢，離虛軸越近，動(dòng)態(tài)相應(yīng)越快,利用根軌跡設(shè)計(jì)控制系

14、統(tǒng),使用根軌跡法進(jìn)行系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，是通過(guò)在系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中，以增加零極點(diǎn)或者調(diào)整零極點(diǎn)的方式，達(dá)到改變系統(tǒng)根軌跡形狀的目的，從而使得系統(tǒng)的根軌跡通過(guò)所希望的極點(diǎn)位置。因此，采用這一方法的特征就是基于閉環(huán)系統(tǒng)具有一對(duì)主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)，以簡(jiǎn)化所設(shè)計(jì)的系統(tǒng),零度根軌跡,與常規(guī)根軌跡相比，零度根軌跡法則應(yīng)調(diào)整以下三項(xiàng)：,法則三,實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的極點(diǎn)和零點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)。,法則四,根軌跡的漸進(jìn)線與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,,法則六,根軌跡的起始角和終止角應(yīng)改