沒有幻燈片標題[0010]

1、,教師：陳彬，教授， chenb6@zju.edu.cn 航空航天學院 應用力學研究所作業(yè)、課件等相關信息網址： http://mypage.zju.edu.cn/en/chenbin,材料力學劉鴻文主編(第5版) 高等教育出版社,,,目錄,1,第七章作業(yè)1,7.1、7.2(a,c)、7.3(a,c,d)、7.4(b,c)7.8、7.10,2,,基本變形的研究步驟,應力,,內力,強度、剛度效核,截面尺寸

2、設計,許可載荷確定,外力,變形,,,工程實際問題,解決超靜定,強度條件,剛度條件,,,,,,,3,,基本變形框架圖,,,,4,,5,第七章 應力應變分析 強度理論,Mechanics of Materials,Chapter7 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria,材料力學,6,第七章 應力和應變分析 強度理

3、論Chapter7 Analysis of Stress and Strain Strength Theories,§7-1 應力狀態(tài)概述 (Concepts of stress-state),§7-2 平面應力狀態(tài)分析-解析法 (Analysis of plane stress-state),,,,§7-3 平面應力狀態(tài)分析-圖解法(Analysis of plane stress-state

4、),§7-4 三向應力狀態(tài)分析 (Analysis of three-dimensional stress-state),,7,§7-6 廣義虎克定律(Generalized Hook’s law),§7-7 復雜應力狀態(tài)的變形比能 (Strain-energy density in general stress-state ),§7-8 強度理論 ( Failure criteria),&

5、#167;7-5 平面應變狀態(tài)分析 (Analysis of plane strain-state),,,,,§7-9 莫爾強度理論 (Mohr’s failure criterion),,8,§7-1 應力狀態(tài)概述 (Introduction of stress-state),一、應力狀態(tài)的概念 (Concepts of stresses-state),請看下面幾段動畫,1、低碳鋼和鑄鐵的拉伸實

6、驗(A tensile test of low-carbon steel and cast iron),2、低碳鋼和鑄鐵的扭轉實驗(A torsional test of low-carbon steel and cast iron),9,低碳鋼(low- carbon steel),?,塑性材料拉伸時為什么會出現滑移線？,鑄鐵(cast-iron),低碳鋼和鑄鐵的拉伸,10,?,為什么脆性材料扭轉時沿45º螺旋面斷開

7、？,低碳鋼和鑄鐵的扭轉,低碳鋼(low- carbon steel),鑄鐵(cast-iron),11,(1) 拉中有剪，剪中有拉; (2) 不僅橫截面上存在應力，斜截面上也存在應力; (3) 同一面上不同點的應力各不相同; (4) 同一點不同方向面上的應力也是各不相同,3、重要結論（Important conclusions),哪一點？哪個方向面？,哪一個面上？哪一點？,4、一點的

8、應力狀態(tài)（state of stresses of a given point),過一點不同方向面上應力的情況，稱之為這一點的應力狀態(tài)（state of stresses of a given point)，亦指該點的應力全貌.,12,二、應力狀態(tài)的研究方法 (The method for investigating the state of stress),1、單元體（Element body）,2、單元體特征 (Element ch

9、aracteristic),3、主單元體(Principal body) 各側面上切應力均為零的單元體,13,4、主平面(Principal plane) 切應力為零的截面,5、主應力(Principal stress) 主面上的正應力,說明: 一點處必定存在這樣的一個單元體, 三個相互垂直的面均為主平面, 三個互相垂直的主應力分別記為 ?1 ,?2 , ?3 且規(guī)定按代數值大小的順序來排列,

10、 即,14,三、應力狀態(tài)的分類(The classification of stresses-state),1、空間應力狀態(tài)(triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ) 三個主應力?1 、?2 、?3 均不等于零,2、平面應力狀態(tài)(biaxial stress-state or plane stress-state) 三個主

11、應力?1 、?2 、?3 中有兩個不等于零,3、單向應力狀態(tài)(uniaxial stress-state or simple stress-state ) 三個主應力 ?1 、?2 、?3 中只有一個不等于零,15,,例題 1 畫出如圖所示梁S截面的應力狀態(tài)單元體.,16,S平面,,,,F,17,例題 2 畫出如圖所示梁 危險截面危險點的應力狀態(tài) 單元體,18,y,x,z,19,例題3 分析薄壁圓筒受內壓時的

12、應力狀態(tài),,,薄壁圓筒的橫截面面積,(1)沿圓筒軸線作用于筒底的總壓力為F,20,,,,(2)假想用一直徑平面將圓筒截分為二，并取下半環(huán)為研究對象,21,例4:圓球形薄壁容器，壁厚為 t，內徑為D，承受內壓p作用。,,22,平面應力狀態(tài)的普遍形式如圖所示 .單元體上有?x ,?xy 和 ? y ,? yx,§7-2 平面應力狀態(tài)分析-解析法(Analysis of plane stress-state),,23,一、斜

13、截面上的應力(Stresses on an oblique section),1、截面法 (Section method) 假想地沿斜截面 ef 將單元體截開,留下左邊部分的單體元 eaf 作為研究對象,24,(1)由x軸轉到外法線n，逆時針轉向時則?為正,(2)正應力仍規(guī)定拉應力?為正,(3)切應力對單元體內任一點取矩，順時針轉?為正,2、符號的確定 (Sign convention),25,設斜截面的面積為 dA , ae的面

14、積為 dAcos? ,af 的面積為 dAsin?,3、任意斜截面上的應力(The stress acting on any inclined plane),對研究對象列 n和 t 方向的平衡方程得,26,化簡以上兩個平衡方程最后得,不難看出,即兩相互垂直面上的正應力之和保持一個常數,27,二、最大正應力及方位(Maximum normal stress and it’s direction),,1、最大正應力的方位(The dir

15、ection of maximum normal stress ),令,,?0 和 ?0+90°確定兩個互相垂直的平面，一個是最大正應力所在的平面，另一個是最小正應力所在的平面.,28,2、最大正應力(Maximum normal stress ),將 ?0和 ?0+90°代入公式,得到 ?max 和 ? min (主應力）,,下面還必須進一步判斷?0是?x與哪一個主應力間的夾角,29,(1)當?x> ?y 時

16、 ， ?0 是?x與?max之間的夾角,(2)當?x<?y 時 ， ?0 是?x與?min之間的夾角,(3)當?x=?y 時 ，?0 =45°，主應力的方向可由單元體上 切應力情況直觀判斷出來,則確定主應力方向的具體規(guī)則如下,若約定 | ?0 | < 45°即?0 取值在±45°范圍內,30,二、最大切應力及方位(Maximum she

17、aring stress and it’s direction),1、最大切應力的方位(The direction of maximum shearing stress ),令,,?1 和 ?1+90°確定兩個互相垂直的平面，一個是最大切應力所在的平面，另一個是最小切應力所在的平面.,31,2、最大切應力(Maximum shearing stress ),將 ?1和 ?1+90°代入公式,得到 ?max和?min,

18、可見,,32,例題4 簡支梁如圖所示.已知 mm 截面上A點的彎曲正應力和切應力分別為? =-70MPa，? =50MPa .確定A點的主應力及主平面的方位.,,解：,把從A點處截取的單元體放大如圖,33,因為 ?x < ?y ，所以 ?0= 27.5° 與 ?min 對應,,34,例題5 圖示單元體，已知 ?x =-40MPa， ?y =60MPa，?xy=-50MPa.試求 ef 截面上的應力情況及主應力和主單元體的

19、方位.,(1) 求 ef 截面上的應力,35,(2) 求主應力和主單元體的方位,?x = -40MPa ?y =60 MPa ?x = -50MPa?=-30°,因為 ?x < ?y ，所以 ?0= -22.5° 與 ?min 對應,36,37,解 （1）求主平面方位,,因為 ?x = ?y ，且 ?x > 0,例題6 求平面純剪切應力狀態(tài)的主應力及主平面方位.,,,,,,?xy,所

20、以?0= -45°與 ?max 對應,（2）求主應力,?1 = ? ， ?2 = 0 ， ?3 = - ?,,38,第七章作業(yè)2：,7.13、7.17、7.18,39,7.19、7.21、7.28,§7-3 平面應力狀態(tài)分析-圖解法 (Analysis of plane stress-state with graphical means),一、莫爾圓(Mohr’s

21、 circle),將斜截面應力計算公式改寫為,+,40,,,因為?x ，?y ，?xy 皆為已知量，所以上式是一個以??，??為變量的圓周方程。當斜截面隨方位角 ? 變化時, 其上的應力?? ， ?? 在? - ? 直角坐標系內的軌跡是一個圓 .,1、圓心的坐標(Coordinate of circle center),2、圓的半徑（Radius of circle),此圓習慣上稱為 應力圓( plane stress cir

22、cle) , 或稱為莫爾圓(Mohr’s circle),,41,(1) 建 ? - ? 坐標系 ,選定比例尺,二、應力圓作法（The method for drawing a stress circle),1、步驟（Steps),42,,o,?,?,,,,(2) 量取,OA= ? x,AD = ? xy,得 D 點,OB= ?y,(3) 量取,BD′= ?yx,得 D′ 點,,(4) 連接 DD′兩點的直線與? 軸相交于 C

23、 點,(5)以C為圓心, CD 為半徑作圓,該圓就是相應于該單元體的應力圓,,43,(1)該圓的圓心 C 點到 坐標原點的 距離為,(2)該圓半徑為,2、證明(Prove),44,三、應力圓的應用（Application of stress-circle),1、求單元體上任一 截面上的應力(Determine the stresses on any inclined plane by using stress-circle),從應力圓

24、的半徑 CD 按方位角 ? 的轉向 轉動 2? 得到半徑 CE.圓周上 E 點的坐標就依次為斜截面上的正應力 ?? 和切應力 ?? 。,45,證明：,,,,,,,,,46,47,,2、求主應力數值和主平面位置 (Determine principle stress and the direction of principle plane by using stress circle),(1)主應力數值,,,A1 和 B1

25、 兩點為與主平面對應的點，其橫坐標 為主應力 ?1 ，?2,48,,,,（2）主平面方位,由 CD順時針轉 2?0 到CA1,所以單元體上從 x 軸順時針轉 ?0 （負值）即到 ?1對應的主平面的外法線,?0 確定后， ?1 對應的主平面方位即確定,49,,3、求最大切應力(Determine maximum shearing stress by using stress circle),,G1 和 G 兩點的縱坐標分

26、別代表最大和最小切應力,因為最大最小切應力等于應力圓的半徑,50,例題7 從水壩體內某點處取出的單元體如圖所示,?x = - 1MPa , ?y = - 0.4MPa , ?xy= - 0.2MPa , ?yx = 0.2MPa ,,(1)繪出相應的應力圓,(2)確定此單元體在 ? =30°和? = - 40°兩斜面上的應力。,解: (1) 畫應力圓,量取OA= ?x= - 1 , AD = ?XY= -

27、 0.2,定出 D點;,,,OB =?y= - 0.4和， BD′ = ?yx= 0.2 , 定出 D′點 .,,以 DD′ 為直徑繪出的圓即為應力圓。,51,將 半徑 CD 逆時針轉動 2? = 60°到半徑 CE, E 點的坐標就代表 ? = 30°斜截面上的應力。,(2) 確定 ? = 30°斜截面上的應力,,,(3) 確定 ? = - 40°斜截面上的應力,將 半徑 CD順時針轉

28、 2? = 80°到半徑 CF, F 點的坐標就代表? = - 40°斜截面上的應力。,52,例題8 兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫截面尺寸示于圖中。試繪出截面 c 上 a , b 兩點處的應力圓，并用應力圓求出這兩點處的主應力。,53,解: (1) 首先計算支反力, 并作出 梁的剪力圖和彎矩圖,Mmax = MC = 80 kN?m,FSmax =FC左 = 200 kN,54,(2

29、)橫截面 C上a 點的應力為,a點的單元體如圖所示,55,,由 ?x ，? xy 定出 D 點,由 ?y ，? yx 定出 D′ 點,以 DD′為直徑作應力圓,,O,,(3)做應力圓,?x =122.5MPa，? xy =64.6MPa,?y=0，? yx =-64.6MPa,A1，A2 兩點的橫坐標分別代表 a 點的兩個主應力 ? 1 和 ? 3,A1 點對應于單元體上 ?1 所在的主平面,56,,(4)橫截面 C上b點的應力

30、,b點的單元體如圖所示,57,,b 點的三個主應力為,?1所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的橫截面 C,,58,,已知受力物體內某一點處三個主應力 ?1、?2、?3,利用應力圓確定該點的最大正應力和最大切應力。,一、 空間應力狀態(tài)下的最大正應力和最大切應力(the maximum normal stress and shear stress in three-dimensional stress-state),,§

31、7-4 三向應力狀態(tài)分析(analysis of three-dimensional stress-state),首先研究與其中一個主平面 (例如主應力?3 所在的平面)垂直的斜截面上的應力,,,,,,,,,,,,,?1,?2,?2,用截面法，沿求應力的截面將單元體截為兩部分，取左下部分為研究對象,,,主應力 ?3 所在的兩平面上是一對自相平衡的力， 因而該斜面上的應力 ? , ? 與 ?3 無關, 只由主應力 ?1

32、, ?2 決定,,與 ?3 垂直的斜截面上的應力可由 ?1 , ?2 作出的應力圓上的點來表示,,,,,,該應力圓上的點對應于與?3 所在主平面垂直的所有斜截面上的應力,?,?,O,,與主應力 ?2 所在主平面垂直的斜截面上的應力?, ? 可用由 ?1 ,?3 作出的應力圓上的點來表示,,與主應力 ?１ 所在主平面垂直的斜截面上的應力 ?, ? 可用由 ?2 ,?3作出的應力圓上的點來表示,,,,,該截面上應力 ?

33、 和 ? 對應的 D點必位于上述三個應力圓所圍成 的陰影內,abc 截面表示與三個主平面斜交的任意斜截面,,,,,,,,,?1,?2,?1,?2,?3,結論,三個應力圓圓周上的點及由它們圍成的陰影部分上的點的坐標代表了空間應力狀態(tài)下所有截面上的應力,該點處的最大正應力(指代數值)應等于最大應力圓上A點的橫坐標 ?1,最大切應力則等于最大的 應力圓的半徑,最大切應力所在的截面與 ?2 所在的主平面垂直，并與?

34、1和 ?3所在的主平面成 450角。,例題9 單元體的應力如圖所示 ,作應力圓, 并求出主應力和最大切應力值及其作用面方位.,解: 該單元體有一個已知主應力,因此與該主平面正交的各截面上的應力與主應力 ?z 無關, 依據 x 截面和 y 截面上的應力畫出應力圓. 求另外兩個主應力,由 ?x ，? xy 定出 D 點,由 ?y ，? yx 定出 D′ 點,以 DD′為直徑作應力圓,A1，A2 兩點的橫坐標分別代表另外兩個主應力

35、 ? 1 和 ? 3,,? 1 =46MPa,? 3 =-26MPa,該單元體的三個主應力,? 1 =46MPa,? 2 =20MPa,? 3 =-26MPa,根據上述主應力，作出三個應力圓,,,,§ 7-5 平面應變狀態(tài)分析(Analysis of plane strain-state),平面應力狀態(tài)下，已知一點的應變分量?x 、?y 、 γxy ，欲求?方向上的線應變?α和切應變?? ,可根據彈性小變形的幾何條件，分別

36、找出微單元體（長方形）由于已知應變分量?x 、?y 、 γxy在此方向上引起的線應變及切應變，再利用疊加原理.,一、任意方向的應變(The strain of any direction),在所研究的 O 點處, Oxy 坐標系內的線應變 ?x , ?y , ?xy 為已知.求該點沿任意方向的線應變 ?? .,將Oxy 坐標繞O點旋轉一個? 角，得到一個新 Ox' y'坐標系.,,并規(guī)定 ? 角以逆時針轉動

37、時為正值，反之為負值.,?? 為 O 點沿 x‘方向的線應變,?? 為直角 ? x‘Oy’的改變量，即切應變.,假設:,（1）O點處應變是均勻的;,（2）變形在線彈性范圍內都是微小的, 疊加原理成立;,分別計算 ? x ,?y ,?xy 單獨存在時的線應變 ?? 和切應變 ?? ，然后疊加得這些應變分量同時存在時的 ??和 ?? .,,1、推導線應變 ?? ( Derive the linear strain),,從O點

38、沿 x′方向取出一微段 OP = dx′, 并以它作為矩形 OAPB 的對角線.,該矩形的兩邊長分別為 dx 和 dy,,x',（1）只有正值 ?x 存在,,,,y',x',假設 OB 邊不動，矩形 OAPB 變形后成為 OA'P'B,,,O點沿 x'方向的線應變 ??1 為,?,（2）只有正值 ?y存在,,,,y',x',,P,,假設 OA 邊不動,矩形 OAPB

39、 變形后為 OAP"B',,的伸長量為,O點沿 x'方向的線應變 ??2 為,?,（3）只有正值 切應變γxy存在,A,B,dx,dy,x,y,O,,,,y',x',,P,使直角增大的 ? 為正,假設 OA 邊不動,矩形 OAPB 變形后為 OAP"'B",γxy,?,的伸長為,,O 點沿 x′方向的線應變?yōu)?根據疊加原理，?x , ?y 和 ?xy 同時存在時，O