機(jī)械振動(dòng)模型

1、機(jī)械振動(dòng)的模型,有一個(gè)彈簧,它的上端總是固定,下端掛個(gè)質(zhì)量為m的物體,當(dāng)物體處于靜止的狀態(tài)時(shí),作用在物體上的重力與彈性力大小相等,方向向反.這個(gè)位置就是物體的平衡位置.當(dāng)物體處于平衡位置的時(shí)候,受到向下的重力為mg,彈簧的向上彈力k△l的作用,其中是k彈簧的彈性系數(shù),是彈簧的受重力mg作用后向下拉伸的長(zhǎng)度,有k△l=mg.為了研究物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,選取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn), 取x軸垂直向下.從而當(dāng)物體處于平衡位置的時(shí)候,有x=0,但物體

2、受到的外力F(t)作用時(shí),從平衡位置開始運(yùn)動(dòng),x(t)代表物體在t時(shí)的位置,當(dāng)物體開始運(yùn)動(dòng)時(shí),受到下面4個(gè)力的作用.,(1)物體的重力W=mg,方向是向下的，與坐標(biāo)軸的方向一致.(2)彈簧的彈力R,當(dāng)△l+x>0時(shí),彈力與x軸的方向相反R=-k(△l+x), 當(dāng)△l+x<0時(shí),彈力的與x軸的方向相同,即R=-k(△l+x).因此彈簧的彈力總有R=-k(△l+x).(3)空氣阻力D,物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總受到空氣或其他介質(zhì)的阻

3、力作用,使震動(dòng)逐漸減弱,阻力的大小與物體的運(yùn)動(dòng)速度成正比,方向與運(yùn)動(dòng)的方向相反,該阻力系數(shù)為c,在時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)速度為diff(x(t),t),因此D=-c*diff(x(t),t)(4)物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還受到隨時(shí)間變化的外力F(t)作用,方向可能不確定.依賴的F(t)正負(fù)..因此物體的運(yùn)動(dòng)滿足二階線形微分方程m*diff(diff(x(t),t),t)+c*diff(x(t),t)+k*x(t)=F(t).,(A).我們首先研究

4、沒(méi)有空氣阻力和外力作用的彈簧振動(dòng).這個(gè)時(shí)候方程變?yōu)?gt; diff(x(t),t),t)+k*x(t)=0令w0^2=k/m.方程的解為> x(t) = _C1*sin(wo*t)+_C2*cos(wo*t)C1,C2為常數(shù).令sin(theta)=C1/ sqrt(C1^2+C2^2), cos(theta) =C2/ sqrt(C1^2+C2^2)^0.5.取

5、A= sqrt(C1^2+C2^2),theta=arctan(C1/C2),X(t)= sqrt(C1^2+C2^2)*(C1/ sqrt(C1^2+C2^2)*cos(w0*t) + C2/ sqrt(C1^2+C2^2)*sin(w0*t) ). = Asin(w0*t+theta)令w0=4,theta=0,A=1.我們可以看

6、到物體的運(yùn)動(dòng)是周期震動(dòng)的.物體的振幅是A,theta是初相位,振幅和初相位都依賴于初始條件的選擇.,,,(B).現(xiàn)在我們考慮有空氣阻力而沒(méi)有外力作用的彈簧震動(dòng).這個(gè)時(shí)候微分方程變?yōu)閙*diff(diff(x(t),t),t)+c*diff(x(t),t)+k*x(t)=0;上面方程的特征方程為 m*u^2+c*u+k=0;特征根為> u1 = 1/2/m*(-c+sqrt(c^2-4*m*k)), u2 = 1/2/

7、m*(-c-sqrt(c^2-4*m*k));方程的解為> x(t) = _C1*exp(1/2/m*(-c+sqrt(c^2-4*m*k))*t)+_C2*exp(-1/2*(c+sqrt(c^2-4*m*k))/m*t)這里我們可以把方程的通解寫成> x(t)= A*exp(-c*t/(2*m))*sin(u*t+theta);,,我們令A(yù)=c=m=1,theta=0,u=10;那么方程的圖形為,,,我們可以看出

8、彈簧的震動(dòng)已經(jīng)不是周期的了,震動(dòng)的最大偏離A*exp(-c*t/(2*m))隨著時(shí)間的增加而不斷的減小,如圖所給的,最后趨于平衡位置x=0.(C)假如物體在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中既有空氣的阻力又有周期外力F(t)作用,假設(shè)F(t)=Fo^cos(w*t),則彈簧震動(dòng)的方程為m*diff(diff(x(t),t))+c*diff(x(t),t)+k*x= Fo^cos(w*t).這里求的方程的一個(gè)特解為g(t)=F0*sin(w*t

9、+theta)/[(k-m*w^2)^2+c^2*w^2]^0.5這里tg(theta)=(k-m*w^2)/(c*w),因此方程的通解為x(t)= A*exp(-c*t/(2*m))*sin(u*t+theta)+F0*sin(w*t+theta)/ sqrt[(k-m*w^2)^2+c^2*w^2];令A(yù)=w=k=m=w=c=F0=1,u=10;這里方程變?yōu)?x(t)= exp(-t/2)*sin(10*t)+ sin

10、(t);這里我們可以看出彈簧的震動(dòng)由兩部分疊加而成,第一部分是有阻尼的自由震動(dòng),它是系統(tǒng)本身的固有震動(dòng),,它隨時(shí)間的延續(xù)而減弱,最后等于0 即[A*exp(-c*t/(2*m))*sin(u*t+theta)]在無(wú)窮大的時(shí)候趨向于0,第二部分是由外力而引起的強(qiáng)迫震動(dòng)項(xiàng),它的振幅不隨時(shí)間的延續(xù)而衰減,當(dāng)時(shí)間充分大時(shí).方程的解最終趨向于解F0*sin(w*t+theta)/ sqrt[(k-m*w^2)^2+c^2*w^2].這里簡(jiǎn)化

11、為sin(t)項(xiàng).,(D)現(xiàn)在考慮沒(méi)有空氣阻力而有周期性外力F=F0*cos(w*t)作用的彈簧震動(dòng),這個(gè)時(shí)候物體的運(yùn)動(dòng)能夠滿足方程diff(diff(x(t),t))+w0^2*x=Fo^cos(w*t)/m.這里w0^2=k/m. 當(dāng)w~=w0時(shí)方程的通解 x(t)= _C1*sin(wo*t)+_C2*cos(wo*t)+ F0*cos(w*t)/[m*(w0^2-w^2)]

12、在前面的(A)中_C1*sin(wo*t)+_C2*cos(wo*t)這一項(xiàng)可以簡(jiǎn)化為Asin(w0*t+theta)因?yàn)閯e的系數(shù)為定數(shù),所以這一項(xiàng)和F0*cos(w*t)/[m*(w0^2-w^2)]都是不同周期的函數(shù).在這里為了方便的看出函數(shù)的圖形,令A(yù)=2,w0=2,theta=0, m=w= F0= 1,w0=2.圖形為:,當(dāng)w=w0時(shí),外力的頻率w/(2*Pi)與彈簧震動(dòng)的固有頻率w0/(2*Pi)是相等的,這種現(xiàn)象我們稱

13、為共振現(xiàn)象.這個(gè)時(shí)候彈簧的震動(dòng)滿足的方程為diff(diff(x(t),t))+w0^2*x=Fo^cos(w0*t)/m.方程的通解為x(t)= _C1*sin(wo*t)+_C2*cos(wo*t)+ F0*t*sin(w0*t)/(2*m*w0)= Asin(w0*t+theta)+ F0*t*sin(w0*t)/(2*m*w0)C1,C2為任意的常數(shù).前面的1項(xiàng)可以看出