第6章機械振動

1、機械振動,第六章,機械振動：物體在一定位置附近作來回往復的運動。,,廣義振動：任一物理量(如電量、電流等)在某一數(shù)值附近反復變化。,,,一、簡諧振動的描述,6-1 簡諧振動,物體運動時，離開平衡位置的位移(或角位移)隨時間按余弦或正弦函數(shù)變化.,以彈簧振子為例,1. 運動方程,振幅A 物體離開平衡位置的最大距離,決定于初始條件.,周期T 物體完成一次全振動所需時間.,頻率? :單位時間內(nèi)振動的次數(shù).,角頻率?,相位? t ?? :

2、決定某時刻的質(zhì)點的運動狀態(tài),初相位?,2.振動速度及加速度,簡諧振動的加速度和位移反向正比.,3.振動初相及振幅由初始條件決定,初始條件：當t = 0時, x = x0 ，v = v0,代入,得,例如：v0 = 0, x0 = A,例1. 一質(zhì)點沿x 軸作簡諧振動，A= 0.12 m, T= 2 s, 當t = 0 時, x0 = 0.06 m, 此時刻質(zhì)點向x 正向運動。求此簡諧振動的表達式。,解：,取平衡位置為坐標原點,設簡諧振動

3、表達式為,T= 2 s,簡諧振動的表達式為,,A= 0.12 m,二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法,1.簡諧振動與勻速圓周運動,勻速圓周運動在x軸上的投影為簡諧振動：,,2.簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法,注意：旋轉(zhuǎn)矢量本身繞起始端勻角速度逆時針旋轉(zhuǎn)，其末端在x軸上的投影點才做簡諧振動。,3.兩同頻率簡諧振動的相位差,兩個諧振動,相位差,若?? =?2??1 > 0, 稱x2比x1超前 (或x1比x2落后)。,當?? = 0,兩振動步調(diào)相

4、同,稱同相,當?? =? ,兩振動步調(diào)相反,稱反相,用旋轉(zhuǎn)矢量表示振動相位關系,同相,反相,例：由旋轉(zhuǎn)矢量確定簡諧振動中位移與速度、位移與加速度的相位差。,例2. 以余弦函數(shù)表示的簡諧振動的位移時間曲線如圖所示，確定其振動方程.,,解:,設振動方程為,由旋轉(zhuǎn)矢量確定振動初相位：當 t = 0,,,旋轉(zhuǎn)矢量以? 從 t = 0 到t = 1 轉(zhuǎn)過角度為,三、簡諧振動的動力學方程,由振動方程,令,(回復力),反之，如質(zhì)點所受的力,則質(zhì)點一定

5、作簡諧振動.,或位移滿足,簡諧振動微分方程,簡諧振動的定義,運動學定義,動力學定義,或,簡諧振動的質(zhì)點所受的合外力與它相對于平衡位置位移成正比而反向。,固有角頻率,四、簡諧振動實例,1. 彈簧振子,選平衡位置為原點,位移為x處，物體所受的的合外力,滿足簡諧振動的動力學定義,物體一定作簡諧振動.,由牛頓第二定律,角頻率,完全由振動系統(tǒng)本生的性質(zhì)決定。,固有周期,固有頻率,振動方程,2. 單擺,當? ? 5?時，,擺球角位移為? 時受的合外

6、力,平衡位置 ：? = 0.,諧振動微分方程,結(jié)論：單擺的小角度擺動是簡諧振動。,3. 復擺,繞不過質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動的剛體。,令,小幅擺動時,角位移?，回復力矩,M =?mghsin?,M =?mgh?,由剛體的轉(zhuǎn)動定律,或,諧振動微分方程,拓展與思考,由能量守恒建立簡諧振動微分方程,? 很小(? 5?)，,,線性諧振動,角諧振動,簡諧振動的判斷及振動方程的確定,歸納與總結(jié),例如：對圖示的扭擺，圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為J,? 為扭轉(zhuǎn)常數(shù)，

7、取決于懸線的長度、直徑及材料。,例3.如圖m=2?10-2kg, 彈簧的靜止形變?yōu)?l =9.8cm t =0時, x0? ?9.8cm, v0=0(1)取開始振動時為計時零點， 寫出振動方程；(2)若取x0=0，v0>0為計時零點， 寫出振動方程,并計算振動頻率。,解：,(1)確定平衡位置 mg=k?l 取為原點 k=mg/ ?l 令向下有位移 x, 則 f =

8、mg? k(?l +x)= ? kx?系統(tǒng)作諧振動，設振動方程為,由初始條件得,由x0=Acos?0=? 0.098<0 ? cos?0<0, 取?0=?,振動方程為：x = 9.8?10?2cos(10t+?) m,(2)按題意,t=0 時 x0=0，v0>0,x0=Acos?0=0 , cos?0=0 ?0=?/2 ,3?/2,v0=?A?sin?>0 , sin ?0 <0, 取?0=3

9、?/2,? x=9.8?10-2cos(10t+3?/2) m,對同一諧振動取不同的計時起點?不同，但?、A不變,固有頻率,x0? ?9.8cm, v0=0,例4. 如圖所示，振動系統(tǒng)由一倔強系數(shù)為k的 輕彈簧、一半徑為R、轉(zhuǎn)動慣量為J的 定滑輪和一質(zhì)量為m的 物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動，試證物體作簡諧振動，并求其周期T.,解：將m的平衡位置取為坐標原點，設平衡位置對應的彈簧伸長量為?l0 , 則,當m有位移

10、x時,聯(lián)立得,物體作簡諧振動,諧振動系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動能Ek+系統(tǒng)的勢能Ep,某一時刻，諧振子速度為v，位移為x,諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數(shù),五、簡諧振動的能量,系統(tǒng)的機械能守恒,振動能量曲線,例5.一彈簧振子沿x軸作簡諧振動，彈簧倔強系數(shù)為k，物體質(zhì)量為m，簡諧振動振幅為A。求彈簧振子的動能為勢能的3倍時的位置x。,解：,另解：,一、同方向、同頻率諧振動的合成,合振動是簡諧振動, 其頻率仍為?,質(zhì)點同時參與同方向同頻率的

11、諧振動 :,合振動 :,6-2 簡諧振動的合成,如 A1=A2 , 則 A=0，兩個同幅反相的振動合成的結(jié)果將使質(zhì)點處于靜止狀態(tài)。,合振動的振幅取得最大，兩分振動相互加強。,合振幅最小，兩分振動相互減弱。,兩個重要特例,若兩分振動同相：,若兩分振動反相:,合振動不是簡諧振動,合振動可看作振幅緩變的簡諧振動,二. 兩個同方向頻率相近簡諧振動的合成 拍,分振動,合振動,當?2??1時,,拍 合振動忽強忽弱的現(xiàn)象,拍頻: 單位時間內(nèi)加

12、強或減弱的次數(shù) ? =|?2??1|,Beat phenomenon,拍的現(xiàn)象常被用于校正樂器。例如我們可以利用標準音叉來校準鋼琴的頻率：因為音調(diào)有微小差別就會出現(xiàn)拍音，調(diào)整到拍音消失，鋼琴的一個鍵就被校準了。微波測速雷達：被測物體移動時，由于直達波和反射波混合的結(jié)果在接收檢波器上混頻出差拍信號，該差拍信號的頻率和移動物體速度成線性關系。,拍的應用,三、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成,合振動,分振動,合振動質(zhì)點的軌跡方程,為橢圓方

13、程.,,兩相互垂直同頻率不同相位差簡諧振動的合成,四、兩個相互垂直不同頻率的簡諧振動的合成,軌跡稱為李薩如圖形,對于兩個頻率不相同的諧振動，其相位差,不斷地隨時間變化，因而合振動不一定有穩(wěn)定的軌跡。只有在兩振動的頻率成簡單的整數(shù)比時，才有穩(wěn)定的軌跡。,李薩如圖形,解：(1),解：(2),x1和x3合成振幅最大, x1和x3同相,x2和x3合成振幅最小, x1和x3反相,一、 阻尼振動,阻尼振動,能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。

14、,摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為熱能。,輻射阻尼：振動以波的形式向外傳波，使振動能量向周圍輻射出去。,,6-3 阻尼振動 受迫振動和共振,固定端,物體以不大的速率在粘性介質(zhì)中運動時,介質(zhì)對物體的阻力僅與速度的一次方成正比,? ?阻尼系數(shù),由牛頓第二定律，得,l0 = mg/k,系統(tǒng)固有角頻率,阻尼因子,弱阻尼,阻尼振動的振幅按指數(shù)衰減,過阻尼,系統(tǒng)不作往復運動，而是非常緩慢地回到平衡位置,臨界阻

15、尼,系統(tǒng)不作往復運動，而是較快地回到平衡位置并停下來,阻尼振動的應用,在實際生產(chǎn)和生活中，常根據(jù)不同的要求，通過不同的方法來控制阻尼的大小。例如，各種機器，為了減震、防震，都要加大摩擦阻尼。各種聲源、樂器，總希望它能輻射足夠大的聲 能，就需要加大其輻射阻尼，各種樂器上的空氣箱就起這種作用。,在靈敏電流計中，為了盡快地、較準確地進行讀數(shù)測量，常使電流計的偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)下工作。因為臨界阻尼與過阻尼和弱阻尼狀態(tài)相比，振動物體

16、回到平衡位置的時間最短。,二、 受迫振動,受迫振動：振動系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動。這種周期性的外力稱為驅(qū)動力。,系統(tǒng)在彈性力、阻力和驅(qū)動力的作用下，其運動方程為,令,受迫振動的微分方程,在阻尼較小的情況下的通解,經(jīng)過一段時間后，減幅振動可以忽略不計。系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)后的振動為一穩(wěn)定的等幅振動。,受迫振動的穩(wěn)定狀態(tài)為,受迫振動微分方程,(1)角頻率: 等于驅(qū)動力的角頻率 ?,(3)初相:,特點:穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)

17、律變化。,(2)振幅:,受迫振動振幅的大小，不決定于系統(tǒng)的初始條件，而與振動系統(tǒng)的性質(zhì)(固有角頻率、質(zhì)量)、阻尼的大小和驅(qū)動力的特征有關。,最大振幅為,如? ?? ?0 ，?r= ?0,即驅(qū)動力的角頻率等于振動系統(tǒng)的固有角頻率時，振幅達到最大值。這種現(xiàn)象叫共振。,三、共振,受迫振動的振幅,與驅(qū)動力的角頻率?有關。令dA/d? =0，可得與振幅極大值對應的角頻率為,在共振時， ? = ?0,共振原因的進一步分析,受迫振動的振動方程,初

18、相,則 ? = ?? /2,振動速度，,這說明，振動速度和驅(qū)動力同相(F = Acos? t )，因而，驅(qū)動力總是對系統(tǒng)做正功，系統(tǒng)能最大限度地從外界得到能量。這就是共振使振幅最大的原因。,驅(qū)動力,受迫振動的微分方程,共振的利與弊,共振現(xiàn)象在實際中有著廣泛的應用：鋼琴、小提琴等樂器的木制琴身，利用共振現(xiàn)象使其成為了一共鳴盒，以提高音響效果；收音機的調(diào)諧裝置也利用了共振現(xiàn)象（電磁共振）選臺；原子核內(nèi)的核磁共振用來進行物質(zhì)結(jié)

19、構的研究及醫(yī)療診斷等。,共振的利與弊,共振現(xiàn)象也有其危害性：例如，共振時振動系統(tǒng)的振幅過大，建筑物、機器設備等就會受到嚴重的損壞；汽車行駛時，若發(fā)動機運轉(zhuǎn)的頻率接近車身的固有頻率，車身也會產(chǎn)生強烈的共振而受到損壞。,18世紀中葉，一隊拿破侖士兵在指揮官的口令下，邁著威武雄壯、整齊劃一的步伐，通過法國昂熱市一座大橋，快走到橋中間時，橋梁突然發(fā)生強烈的顫動并且最終斷裂坍塌，造成許多官兵和市民落入水中喪生。造成這次慘劇的罪魁禍首，正

20、是共振！因為大隊士兵齊步走時，產(chǎn)生的一種頻率正好與大橋的固有頻率一致，使橋的振動加強，當它的振幅達到最大限度直至超過橋梁的抗壓力時，橋就斷裂了。,共振的利與弊,聲音殺人,聽不到的聲音——次聲，頻率低于20赫茲，人體內(nèi)臟固有頻率和次聲頻率接近，外來次聲會引起人體無法忍受的顫抖，從而產(chǎn)生視覺障礙、定向力障礙、惡心等癥狀，甚至還會出現(xiàn)可導致死亡的內(nèi)臟損壞或破裂。,共振現(xiàn)象也有其危害性：例如，共振時振動系統(tǒng)的振幅過大，建筑物、機器設備等就會

21、受到嚴重的損壞；汽車行駛時，若發(fā)動機運轉(zhuǎn)的頻率接近車身的固有頻率，車身也會產(chǎn)生強烈的共振而受到損壞。,由開有許多小孔的孔板和空腔所構成，當傳來的噪聲頻率與消聲器的固有頻率相同時，就會跟小孔內(nèi)空氣柱產(chǎn)生劇烈共振。這樣，相當一部分噪聲能在共振時被“吞吃”掉。,公路隔音墻,措施：破壞外力的周期性、改變物體的固有頻率、改變外力的頻率、增大系統(tǒng)的阻尼等。,共振的利與弊,簡諧振動微分方程,一、簡諧振動的定義,動力學定義,或,簡諧振動表達式,彈