數(shù)學(xué)教育之學(xué)習(xí)理論

1、1,數(shù)學(xué)教育之學(xué)習(xí)理論,數(shù)學(xué)教育之學(xué)習(xí)理論主要分為兩大派： 吸收論 （Absorption Theory） 建構(gòu)論（Construction Theory）,2,吸收論(Absorption Theory),屬於行為主義觀（Behaviorist Theories）。主要代表人物：Thorndike, E. L., Skinner, B. F.和新行為學(xué)派的Robert Gagne, Post (1988)，和Van De W

2、alle (1990)。吸收論者是數(shù)學(xué)是一群事實(shí)與技能之組合，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之主要目的乃在獲得這些事實(shí)與技能。吸收論認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識與技能必須要靠不斷的背誦與練習(xí)以強(qiáng)化聯(lián)結(jié)關(guān)係之建立?！咐斫狻共槐灰暈楸匾?3,建構(gòu)論(Construction Theory),屬於認(rèn)知心理學(xué)派的論點(diǎn)。主要代表人物：Jean Piaget, Constance Kamii, Zoltan Dienes, 和 Jerome Bruner。建構(gòu)論者認(rèn)為數(shù)學(xué)

3、是一組「關(guān)係」，這種關(guān)係必須由學(xué)習(xí)者內(nèi)在心靈去創(chuàng)造，因此在教學(xué)上十分強(qiáng)調(diào)理解，認(rèn)為學(xué)習(xí)的過程重於結(jié)果的獲得。,4,皮亞傑(1973a;1973b)主要論點(diǎn),認(rèn)知發(fā)展是一種個人在環(huán)境中為解決認(rèn)知衝突，透過同化與調(diào)適二種功能以達(dá)成均衡的內(nèi)在自我規(guī)制過程。邏輯數(shù)學(xué)知識之源起非存在於物也非存在於主題，而是二者間複雜的交互作用，最重要的是學(xué)習(xí)者對他自己操作行動的省思。「要了解就必須去發(fā)現(xiàn)」（To understand is to invent

4、），內(nèi)在心靈的建構(gòu)才是知識的來源。,5,建構(gòu)論,建構(gòu)論強(qiáng)調(diào)在學(xué)習(xí)過程中，兒童必須創(chuàng)造自己的內(nèi)見識(insight)與理解。,6,建構(gòu)主義,認(rèn)知主體所獲得的知識是個人內(nèi)心主動建構(gòu)的，而非被動地承受外界環(huán)境的施予。建構(gòu)主義的主張打破了知識是由外在世界所灌輸?shù)膫鹘y(tǒng)觀念，建立以學(xué)生為學(xué)習(xí)主體的概念；也就是說強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者的主動性，與認(rèn)知內(nèi)化的重要性。,7,建構(gòu)主義的主張,教師是問題情境的創(chuàng)造者（教師成為「佈題者」，而非「解題者」）。教師佈題的情

5、境必須能引發(fā)學(xué)生解題的動機(jī)，引發(fā)同學(xué)之間的互動，發(fā)展學(xué)生解題的潛能，並提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。,8,吸收論與建構(gòu)論,吸收論 視算術(shù)為一組技能，因此在教學(xué)上強(qiáng)調(diào)程序性技能的獲得（結(jié)果），吸收論關(guān)心的是兒童學(xué)什麼（What children learn）； 建構(gòu)論 視算術(shù)為一組心靈所創(chuàng)的關(guān)係，因此在教學(xué)上偏重概念的理解（過程），建構(gòu)論關(guān)心的是兒童如何學(xué)習(xí)（How children learn）(Post, 1988)。,9,Vygotsky的

6、社會建構(gòu)論,在比較有能力的成人或大孩子的協(xié)助下，兒童的能力可以獲得較好的發(fā)展。最佳發(fā)展區(qū)(zone of proximal development)理論?dān)椉芾碚?10,五大主題的能力指標(biāo),數(shù)與量(N)幾何(S)代數(shù)(A)統(tǒng)計(jì)與機(jī)率(D)連結(jié)(C),察覺 轉(zhuǎn)化 解題 溝通 評析,數(shù)與計(jì)算量與實(shí)測 關(guān)係,11,九年一貫數(shù)學(xué)課程期望學(xué)生達(dá)成之目標(biāo),掌握數(shù)、量、形的概念與關(guān)係。 培養(yǎng)日常所需的數(shù)學(xué)

7、素養(yǎng)。 發(fā)展形成數(shù)學(xué)問題與解決數(shù)學(xué)問題的能力。 發(fā)展以數(shù)學(xué)作為明確表達(dá)、理性溝通工具的能力。 培養(yǎng)數(shù)學(xué)的批判分析能力。 培養(yǎng)欣賞數(shù)學(xué)的能力。,12,當(dāng)前數(shù)學(xué)教育課程之改革,美國NCTM（National Council of Teachers of Mathematics）所發(fā)表之學(xué)校數(shù)學(xué)原則與標(biāo)準(zhǔn)（Principles and Standards for School Mathematics）強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)即解決問題（Math

8、ematics as Problem Solving）數(shù)學(xué)即溝通（Mathematics as Problem Communication）數(shù)學(xué)即推理與證明（Mathematics as Reasoning & Proof）數(shù)學(xué)即連結(jié)（Mathematics as Connections）數(shù)學(xué)即表徵（Mathematics as Representations）,13,解題,解題不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目標(biāo)，也是主要的學(xué)習(xí)方法。

9、解題是所有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可或缺的一部分，好的數(shù)學(xué)問題將整合許多主題，且包含有意義的數(shù)學(xué)知識。（p.52）,14,解題,從學(xué)生的起點(diǎn)出發(fā)──思考數(shù)學(xué)教學(xué)的轉(zhuǎn)變 一個闡釋之例,15,假設(shè)甲和乙皆是三位數(shù)，請將框框內(nèi) 的數(shù)字依題意填入下列問題之甲和乙 之空格內(nèi)： 產(chǎn)生最大的乘積 (數(shù)字不可以重覆) 甲 × 乙 ＝ ________ 請問甲＝？ 乙＝？ 為什麼？,6，5，

10、2，8，3，7，9，4，1,16,解題,用問題來教學(xué)的價值 1.解題將注意的焦點(diǎn)放在概念和培養(yǎng)感覺。 2.解題發(fā)展 “mathematical power”。 3.解題發(fā)展學(xué)生的信念：他們有做數(shù)學(xué)的能力，數(shù) 學(xué)是有意義的。 4.解題提供學(xué)習(xí)進(jìn)展評量的資料，用來作為教學(xué)上 的參考，幫助學(xué)生成功，並且告知家長。 5.充滿很多樂趣！,17,溝通,1. Organize and consolidate their

11、mathematical thinking through communication;2. Communicate their mathematical thinking coherently and clearly to peers, teachers and others;3. Analyze and evaluate the mathematical thinking and st

12、rategies of others;4. Use the language of mathematics to express mathematical ideals precisely.,18,,在一次的數(shù)學(xué)課中，研究者請三年級學(xué)生為數(shù)字「12」造句，陳述如下： 小明是一位12歲的小朋友， 他的班上一共有12位學(xué)生， 大家分別來自12個家庭， 在小明12月的慶生會中，

13、媽媽為小明準(zhǔn)備了12塊小蛋糕 和12瓶汽水， 慶祝會將在中午12點(diǎn)時準(zhǔn)時開始。在上述的一段話中，數(shù)字「12」分別代表著不同的涵義，這位學(xué)生分別賦與「12」不同的生命與意義。數(shù)字並非顯著、正式的實(shí)體，原本數(shù)字本身只是一種抽象化的符號，數(shù)字的意義則在於我們所賦予數(shù)字的價值。,19,表徵,何謂表徵？從教學(xué)實(shí)例中談表徵的重要性,20,,Lesh、Post和Behr（1987）的五種表徵類型：,21,N-1-1 能初步

14、掌握非負(fù)整數(shù)數(shù)詞序列的規(guī)律，並能以具體的量、聲音、圖像、數(shù)字，進(jìn)行說、讀、聽、寫、作的活動，表徵2000以內(nèi)的數(shù)。第一冊 表徵 20以內(nèi)的數(shù)第二冊 表徵 100以內(nèi)的數(shù)第三冊 表徵 500以內(nèi)的數(shù)第四冊 表徵 1000以內(nèi)的數(shù)第五冊 表徵 2000以內(nèi)的數(shù),22,表徵的分類：,具體的表徵。 半具體物的表徵。 半抽象的表徵。 抽象符號的表徵。,具體的表徵。 圖像的表徵。 口語的表徵。 抽

15、象符號的表徵。,23,教學(xué)案例一題目： 和 哪一個比較大？,24,25,26,今天，我們這一組再考慮這一題的時候，我的意見原本是16/17較大。因?yàn)槲矣X得，如果一塊蛋糕，你把它切成17份和把它切成19份來比較的話，應(yīng)該是切成17份的每一小部分會比較大。並沒有考慮到分子16和18有什麼影響，所以我覺得16/17應(yīng)該是比較大才對。 聽到聖茲的解釋後，我覺得她講的意見也很有道理，她是用剩下的部分來比較，以1/

16、17和1/19來說，1/19比較小，所以18/19應(yīng)該比較大才對，這樣的想法，給我一些不一樣的思考方向，那這麼說1/2和2/3，應(yīng)該是2/3比較大才對，因?yàn)橐郧械案鈦碚f，1/2把蛋糕切成兩塊，取其中的一塊，所以剩下1/2塊；2/3是把蛋糕切成三塊，取其中的二塊，所以剩下1/3塊；因?yàn)?/3比1/2小，所以2/3應(yīng)該比1/2大才對啊！以前總是用通分才可以比較出答案的我，真想不到數(shù)字的意義居然也這麼重要。,27,28,能夠彈性、靈

17、活地使用多重的表徵有助於數(shù)學(xué)概念的發(fā)展，以及對理解能力的加深、加廣。 鼓勵孩子用不同的表徵來表達(dá)她(他)們的想法與數(shù)學(xué)概念。,29,參考下圖，請問黃色部分佔(zhàn)全部的多少？ 甲 乙 * 30% 63% 33% 3%