用計(jì)算法證明平面幾何題【畢業(yè)設(shè)計(jì)】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)設(shè)計(jì)</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　用計(jì)算法證明平面幾何題</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　【摘要】平面幾何的結(jié)論大都用圖形的幾何量表達(dá)，即平面圖形的角度、長度

3、、面積等，因此即使是嚴(yán)密的平面幾何證明也離不開計(jì)算。另外，在數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中，希望通過幾何培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生思辨論證、度量計(jì)算等能力，用計(jì)算法來證明平面幾何題恰好兼顧這些方面。三角形是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他平面幾何圖形的基礎(chǔ)，所以計(jì)算法也要以解三角形為知識(shí)基礎(chǔ)。按照計(jì)算的內(nèi)容與結(jié)論所需幾何量是否直接相關(guān)，可將計(jì)算法分為直接和間接計(jì)算法。事實(shí)上，計(jì)算法是多種方法自由靈活的組合，沒有嚴(yán)格限制。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】平面幾

4、何；證明；計(jì)算法。</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　【ABSTRACT】Most of the conclusions of plane geometry are expressed with the geometric quantities, such as angle, length, and area etc. Ther

5、efore, even the rigorous plane geometric conclusions cannot be proved without calculation. In addition, the New Mathematics Curriculum Standards aim to cultivate and develop students’ ability to dialectically think, cert

6、ify, measure, calculate etc. Using the calculation method to prove plane geometric problems just can balance theses issues. Triangle is the ba</p><p>　　【KEYWORDS】plane geometric problems；prove；calculation。&l

7、t;/p><p><b>　　目　錄</b></p><p>　　用計(jì)算法證明平面幾何題錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　AbstractI</p><p><b>　　目　錄II</b></p><p><b>　　1緒論1</b><

8、/p><p>　　1.1平面幾何在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位1</p><p>　　1.2計(jì)算法在平面幾何證明中的作用1</p><p>　　2計(jì)算法在等式型幾何證明中的運(yùn)用3</p><p>　　2.1直接計(jì)算3</p><p>　　2.1.1計(jì)算長度3</p><p>　　2.1.2

9、計(jì)算角度4</p><p>　　2.1.3 計(jì)算面積6</p><p>　　2.2間接計(jì)算7</p><p>　　2.2.1面積法7</p><p>　　2.2.2代數(shù)法9</p><p>　　2.2.3 反證法12</p><p>　　3計(jì)算法在不等式型幾何證明中的

10、運(yùn)用1</p><p>　　3.1直接證明1</p><p>　　3.1.1計(jì)算長度1</p><p>　　3.1.2計(jì)算角度2</p><p>　　3.1.3 計(jì)算面積3</p><p>　　3.2間接證明4</p><p>　　3.2.1面積法4</p>

11、;<p>　　3.2.2代數(shù)法5</p><p>　　3.2.3 反證法6</p><p><b>　　4總結(jié)9</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)10</b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　附錄錯(cuò)

12、誤!未定義書簽。</p><p><b>　　緒論</b></p><p>　　平面幾何在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位</p><p>　　“幾何的科學(xué)只有當(dāng)它被看作一種教育的工具時(shí)，才呈現(xiàn)出它全部的重要性?！?lt;/p><p>　　——[法]喬治·格萊斯?fàn)枺℅eorges Glaeser）</p><p

13、>　　數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，而平面幾何恰好是這兩方面的重要載體。平面幾何提供給學(xué)生直觀形象的圖像和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)，有利于啟動(dòng)學(xué)生大腦左、右兩個(gè)半球的潛力，全面培養(yǎng)學(xué)生的能力，這包括直覺能力、形象思維能力、抽象思維能力和邏輯思維能力，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力[1]。然而，從上個(gè)世紀(jì)之交的“克萊因—貝利運(yùn)動(dòng)”的第一次沖擊，到60年代的普遍衰落，再到90年代的深入反思，20世紀(jì)的中學(xué)幾何課程走過的是一條坎坷的改革之路。

14、盡管如此，百年下來，幾何課程仍然生機(jī)勃勃，而且更為成熟和完善，一個(gè)根本原因就在于它具有重要的教育價(jià)值[2]。（注：中學(xué)的幾何主要指平面幾何）</p><p>　　平面幾何的教育價(jià)值主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：</p><p>　　（1）有助于學(xué)生形成科學(xué)世界觀和理性精神。平面幾何知識(shí)是人們認(rèn)識(shí)自然、認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的中介和工具，是一種高級的認(rèn)識(shí)和方法論系統(tǒng)。</p><p>

15、;　?。?）培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。平面幾何材料具有深刻的邏輯結(jié)構(gòu)，豐富的直觀背景和鮮明的認(rèn)知層次。</p><p>　?。?）有助于發(fā)展學(xué)生的演繹推理和邏輯思維能力。平面幾何內(nèi)容的直觀性、難度的層次性、真假的實(shí)驗(yàn)性、推理過程的可預(yù)見性，使之成為訓(xùn)練邏輯思維與演繹推理的理想材料。</p><p>　?。?）為不同水平的創(chuàng)造活動(dòng)提供豐富的素材。如：平面幾何題的層次性使得不同能力水平的學(xué)生都能

16、從中得到益處；在計(jì)算機(jī)誕生之后，平面幾何語言（圖形、圖像等）作為一種重要工具，為幾何直覺在其他領(lǐng)域的廣泛遷移提供了條件等。</p><p>　?。?）對開展應(yīng)用與建模教育具有開發(fā)價(jià)值。平面幾何建立了簡單直觀、能為青少年所接受的數(shù)學(xué)模型，便于學(xué)生建立實(shí)際情況的幾何模型，從而用概括化的數(shù)學(xué)方法去解決問題。</p><p>　　（6）可以作為各種抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的模型，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，理解更為

17、抽象的數(shù)學(xué)概念作好準(zhǔn)備。</p><p>　　毫無疑問，平面幾何的這些教育價(jià)值是其立足中小學(xué)課本之根本。</p><p>　　計(jì)算法在平面幾何證明中的作用</p><p>　　中學(xué)生思維處于皮亞杰認(rèn)知發(fā)展理論中的第四階段，即形式運(yùn)算階段。已經(jīng)具備分析性推理所要求具備的能力。同時(shí)，學(xué)生的思維不再局限于具體的情境中，而是以更加抽象化、理想化和合乎邏輯的方式來思考解決問題

18、的辦法[3]。在我國，作為《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的四個(gè)知識(shí)領(lǐng)域之一的“空間與圖形”，要求之一就是結(jié)合合情推理與演繹推理來發(fā)展學(xué)生的推理能力[4]。</p><p>　　因此，平面幾何證明在中學(xué)平面幾何教學(xué)中必不可缺。</p><p>　　然而，平面幾何證明題卻常常是學(xué)生最畏懼的題型之一。原因之一就是平面幾何證明方法多樣，除了綜合法、分析法這樣的一般方法之外，還有分解法、擴(kuò)充法、特殊化法、類比面積

19、法、轉(zhuǎn)換法、解析法、復(fù)數(shù)法、向量法等等特殊方法[5]。 </p><p>　　事實(shí)上，從平面幾何證明題結(jié)論的表達(dá)形式來看，只需分為兩類題型：等式型問題和不等式型問題。若要證明兩線平行、垂直、點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)共圓、圓共點(diǎn)、定值問題等，其結(jié)論均可用等式表達(dá)，所以是等式型問題，結(jié)論中明顯擺出等號，如證明圖形面積相等、角相等、線段相等、成比例等，當(dāng)然更是等式型問題。另一方面，若要證明點(diǎn)在圓內(nèi)、外，某三條線段可構(gòu)成三角形

20、或某些幾何量（線段、角度、面積）的大小關(guān)系式等，就是不等式型問題[6]。 </p><p>　　很明顯，所有的幾何證明題都是逃不開數(shù)量關(guān)系的計(jì)算的。那么，很自然就可以想到通過計(jì)算幾何量來證明幾何題這一途徑。當(dāng)然，這里所指的是最直接、最返璞歸真的計(jì)算，運(yùn)用的也是最基本、最簡單的結(jié)論，而不同于解析法、復(fù)數(shù)法等證明方法。</p><p>　　用計(jì)算法證明幾何題其實(shí)是數(shù)學(xué)家們最早證明幾何題時(shí)使用

21、的方法（如勾股定理等），而非創(chuàng)新。這也符合學(xué)生的思維，是實(shí)踐新一輪基礎(chǔ)教育課程改革對數(shù)學(xué)中幾何教學(xué)的要求——采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及其性質(zhì)——的一條很好的途徑。這也滲透著數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思想的魅力。</p><p>　　另外，在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，數(shù)學(xué)現(xiàn)代化已經(jīng)成為了一種趨勢，吳文俊先生曾特別對中學(xué)幾何課程改革提出一整套看法。他明確

22、指出為了使中學(xué)幾何“騰飛”，必須采取“數(shù)量化”的方法，使幾何可以計(jì)算，這是幾何機(jī)械化的開端，也就是幾何現(xiàn)代化的開端。</p><p>　　因此從各個(gè)方面來看，計(jì)算法應(yīng)用于平面幾何證明都具有一定的意義。</p><p>　　按照列式計(jì)算的內(nèi)容與結(jié)論所需幾何量是否直接相關(guān)，可以將計(jì)算法分為直接計(jì)算法和間接計(jì)算法。直接計(jì)算即直接求出（利用幾何結(jié)論、根據(jù)圖形特征設(shè)未知數(shù)求解等方法）某些幾何量（線段

23、、角度、面積等），然后證明等式或不等式成立。間接計(jì)算則包括從反面證明結(jié)論，或者只列出計(jì)算某些幾何量的式子，通過化簡等步驟直接得到某些關(guān)系，可謂列式而不求式。</p><p>　　計(jì)算法在證明等式型幾何題上的運(yùn)用</p><p><b>　　直接計(jì)算</b></p><p><b>　　計(jì)算長度</b></p>

24、<p>　　例1 （巴布斯定理）設(shè)的邊的中點(diǎn)為，則。（如右圖）</p><p><b>　　證明：</b></p><p>　　令，根據(jù)余弦定理，有 </p><p><b>　　及 </b></p><p><b>　　，</b></p><

25、;p>　　例2 以正方形的一邊為底向形內(nèi)作等腰，使其兩底角為，則是等邊三角形。</p><p><b>　　證明：</b></p><p>　　過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，設(shè)正方形邊長為。</p><p>　　由于是正方形，是等腰三角形，那么根據(jù)圖形的對稱性，知道點(diǎn)是邊的中點(diǎn)。</p><p><

26、b>　　計(jì)算：，，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由圖形對稱性知：</b></p><p><b>　　證得：是正三角形。</b></p><p>　　例3 如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，，且。將以直線為軸做軸對稱變換，

27、得到，連接，求證。</p><p>　　證明：取中點(diǎn)，連接。</p><p>　　是以直線為軸做軸對稱變換得到</p><p>　　， </p><p><b>　　是正三角形</b></p><p>　　易知是直角三角形，即。</p><p><

28、b>　　說明：</b></p><p>　　例1即中線定理，利用了余弦定理和已知條件，即三角法證明定理。該定理的特殊情形（為直角），即是泰利斯定理的逆定理；該定理的推廣即是斯圖爾特定理。</p><p>　　例2選自朱德祥《初等幾何研究》第19頁例3，利用了三角函數(shù)、勾股定理等直接計(jì)算長度，證明三角形的邊長相等。本題還有多種證明方法，如同一法、幾何變換法、構(gòu)造法、解析法等

29、等。</p><p>　　例3選自2010年全國初中數(shù)學(xué)競賽天津賽區(qū)初賽第13題I，這里根據(jù)已知條件和圖形信息直接計(jì)算角度，繼而轉(zhuǎn)化到線段的長度，最后證得，這是通過純計(jì)算證明的，事實(shí)上也可以不添輔助線直接運(yùn)用正弦定理求得為。</p><p><b>　　計(jì)算角度</b></p><p>　　例1 （泰利斯定理）設(shè)一個(gè)圓的直徑為，在該圓周上取、以

30、外的任意點(diǎn)，則為直角（如圖）。</p><p><b>　　證明：</b></p><p>　　把這個(gè)圓的中心，即的中點(diǎn)與點(diǎn)連結(jié)，因?yàn)闉榈妊切?，所以?lt;/p><p>　　還有，因?yàn)橐彩堑妊切危?lt;/p><p><b>　　兩式相加，有</b></p><p>　

31、　但是，三角形三個(gè)內(nèi)角之和等于兩個(gè)直角，所以上式左右兩端之和為兩個(gè)直角。</p><p><b>　　從而，。</b></p><p>　　例2 如圖，在中，為的平分線，，垂足為。已知，，。試說明。</p><p>　　證明：延長交于，因?yàn)槠椒郑詾榈膶ΨQ軸。</p><p><b>　　故，</b&g

32、t;</p><p><b>　　，，故</b></p><p>　　例3 已知：如圖，的直徑與弦相交于，，的切線與弦的延長線相交于點(diǎn)。求證：。</p><p><b>　　證明：連接</b></p><p><b>　　，為圓的一條直徑</b></p><

33、p><b>　　且</b></p><p><b>　　是的切線</b></p><p><b>　　說明：</b></p><p>　　例1的證明十分簡單，通過等腰三角形底角相等的性質(zhì)，判斷兩對角的相等關(guān)系，再利用三角形內(nèi)角和為，通過計(jì)算就能證得。</p><p>　　

34、例2選自2003江蘇省第十八屆初中數(shù)學(xué)競賽初二第2試第17題，這里利用了圖形隱含的條件和所給條件直接計(jì)算線段長度，繼而轉(zhuǎn)化為角度間的關(guān)系計(jì)算角度，從而得到證明。</p><p>　　例3是2009年浙江省寧波市中考第24題，這里通過弧相等證明角相等，繼而直接計(jì)算出直角角度，再根據(jù)同位角相等證得平行關(guān)系。類似的還有2008年浙江省寧波市中考第24題（題目略），利用了三角形內(nèi)角和為等條件，直接計(jì)算角度證得結(jié)論。<

35、;/p><p><b>　　計(jì)算面積</b></p><p>　　例1 （希波克拉茲定理）直角中，為直角頂點(diǎn)。如果以兩直角邊，為直徑向三角形外畫半圓，以斜邊為直徑向頂點(diǎn)所在的一側(cè)畫半圓，構(gòu)成如圖所示的兩個(gè)月形。則。</p><p><b>　　證明：</b></p><p>　　首先，設(shè)直角三角形的三邊

36、長分別為，由畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理），有。</p><p>　　其次，因半圓的面積是，半圓的面積為，直角的面積是，</p><p><b>　　。</b></p><p>　　另一方面，半圓的面積是。</p><p><b>　　兩式相減，得</b></p><p>　　說

37、明：希波克拉茲定理的證明是通過計(jì)算圖形面積，運(yùn)用勾股定理，進(jìn)行加減運(yùn)算證得的。</p><p><b>　　間接計(jì)算</b></p><p><b>　　面積法</b></p><p>　　例1 （蝴蝶定理）已知：如圖，是圓中弦的中點(diǎn)，過任作另兩弦、，連、與交于、。求證：。</p><p>　　證明

38、：只要證明就可以了。</p><p><b>　　因此，易知。</b></p><p>　　例2 在銳角中，，、分別是、邊上的高，與的延長線交于，過作的垂線交于，過作的垂線交于。證明：、、三點(diǎn)共線。</p><p>　　證明：欲證、、三點(diǎn)共線，只需證明即可。</p><p><b>　　又，，</b>

39、;</p><p>　　， ①</p><p>　　，，，，，四點(diǎn)共圓，</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p><b>　　又</b></p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　

40、將②、③代入①得，故、、三點(diǎn)共線。</p><p>　　例3 （三角形等圓線的性質(zhì)定理）自的頂點(diǎn)引等圓線，交對邊于，設(shè)的邊，，，，則。</p><p>　　證明：如圖，設(shè)，的半周長分別為，，內(nèi)切圓半徑分別為，，顯然有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　?、?lt;/b>&l

41、t;/p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　②</b></p><p><b>　　又由余弦定理可知</b></p><p><b>　?、?lt;/b>

42、;</p><p>　　聯(lián)立①，②，③，解得</p><p><b>　　說明：</b></p><p>　　例1是張景中利用共邊定理、共角定理及共圓定理對蝴蝶定理的新證法，思路就是先消去、，然后把所有的弦都化為以為端點(diǎn)的線段之比。</p><p>　　例2選自2005年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽決賽第2題，結(jié)合了四點(diǎn)共圓性質(zhì)、三

43、角形面積公式、正弦定理等，也就是三角法與面積法結(jié)合證得結(jié)論。當(dāng)然，本題還有其他證法如利用梅涅勞斯定理、合比定理等。</p><p>　　例3結(jié)合了三角形面積公式，正弦、余弦定理計(jì)算得證，實(shí)際上是計(jì)算法與三角法的綜合應(yīng)用。</p><p><b>　　代數(shù)法</b></p><p>　　例1 （蝴蝶定理）已知：如圖，是圓中弦的中點(diǎn)，過任作另兩弦、

44、，連、與交于、。求證：。</p><p>　　證明：四對等角記作，，，</p><p><b>　　設(shè)，，。</b></p><p><b>　　由正弦定理得：</b></p><p><b>　　四式相乘并約分得：</b></p><p><b&

45、gt;　?、?lt;/b></p><p><b>　　由相交弦定理即得：</b></p><p><b>　　代入式①得：</b></p><p>　　所以即，從而定理得證。</p><p>　　例2 （拿破侖定理）以任意三角形的三條邊為邊, 向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形, 則這三個(gè)等邊三角形的外

46、接圓中心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)。</p><p>　　證明：如圖，任意，三邊長為，，，、、分別是外接的三個(gè)等邊三角形的外心。則有</p><p><b>　　由余弦定理得</b></p><p>　　上式是關(guān)于、、對稱的，由此可知、、有相同的表達(dá)式</p><p>　　所以，從而定理得證。</p>&l

47、t;p>　　例3 如圖，已知一個(gè)四邊形的面積為1，、和、分別為和的n等分點(diǎn)（靠近端點(diǎn)）。求證：四邊形的面積為。</p><p>　　證明：在的特殊情形下，本題的結(jié)論顯然成立。下面討論不平行于時(shí)情形。</p><p>　　設(shè)與交于點(diǎn)，此時(shí)，，，以及都是定值。設(shè)，，，?？蓵簳r(shí)不管，（，）是（）的n等分點(diǎn)，只考慮，，則。又令，，則有</p><p>　　于是是的二次

48、函數(shù)式，不妨設(shè)為</p><p>　　利用等定數(shù)法可定出，，的值。當(dāng)時(shí)，，，所以，即，知。</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，，所以，即</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，，，所以，即</b></p><p><b>　　解得，，而，故</b></p>&

49、lt;p><b>　　令，即得。</b></p><p>　　例4 如圖，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，，，的延長線交的三邊于，，，求證：若，則為的重心。</p><p>　　證明：不妨設(shè)，，，。由</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　有 </b&g

50、t;</p><p>　　若，代入①得，從而，再由得，故。</p><p><b>　　若，則，，由得</b></p><p>　　因?yàn)椋?，均為正?shù)，則，，從而方程④無解。故方程組僅有正整數(shù)解。此時(shí)，，，，即為的重心。</p><p><b>　　說明：</b></p><p&g

51、t;　　例1是蝴蝶定理的代數(shù)證法，結(jié)合運(yùn)用了正弦定理、相交弦定理證得。</p><p>　　例2結(jié)合運(yùn)用了正弦、余弦定理和三角形的面積公式，根據(jù)多項(xiàng)式特征考慮到三邊的地位是平等的，從而證得結(jié)論。</p><p>　　例3滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想及函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，列式時(shí)結(jié)合了三角形的面積公式，從而得到結(jié)論?？梢哉f前三題的證法都是綜合運(yùn)用了面積法（或三角法

52、）與代數(shù)法。</p><p>　　例4利用了方程組思想，結(jié)合利用了共邊定理等，通過求解方程組的解得到面積關(guān)系，從而推得邊長關(guān)系，最終證得結(jié)論。</p><p><b>　　反證法</b></p><p>　　例1 （蝴蝶定理）已知：如圖，是圓中弦的中點(diǎn)，過任作另兩弦、，連、與交于、。求證：。</p><p><b&

53、gt;　　證明：</b></p><p><b>　　設(shè)，則，即。由，有</b></p><p><b>　　即 </b></p><p>　　于是 ①</p><p><b>　　由相

54、交弦定理</b></p><p><b>　?、?lt;/b></p><p><b>　?、?lt;/b></p><p><b>　　把②、③代入①得</b></p><p><b>　　④</b></p><p><b&

55、gt;　　由正弦定理 </b></p><p>　　注意到其中對頂角相等，同弧上圓周角相等，將上述四式代入④得，即。</p><p><b>　　但已設(shè)，故。</b></p><p>　　說明：事實(shí)上，蝴蝶定理在用反證法證得時(shí)，也結(jié)合運(yùn)用了面積法、三角法等方法。反證法在證明平面幾何題時(shí)常常能化陌生為熟悉，尤其在不等式型幾何證明題

56、中，當(dāng)原命題包含的可能性較多，而且直接證明不容易時(shí)，反證法不失為一個(gè)很好的方法。</p><p>　　計(jì)算法在證明不等式型幾何題上的運(yùn)用</p><p><b>　　直接證明</b></p><p><b>　　計(jì)算長度</b></p><p>　　例1 若凸四邊形的對角線長為和，求證：必有一條邊不

57、小于。</p><p>　　證明：設(shè)為四邊形對角線交點(diǎn)</p><p><b>　　不妨設(shè)</b></p><p><b>　　有</b></p><p><b>　　同理</b></p><p><b>　　設(shè)為的中點(diǎn)</b>&l

58、t;/p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　同理</b></p><p>　　在、之中，必有一條邊不小于</p><p><b>　　證畢。</b></p><p>　　例2 （Finsler-Hadwiger不等式）設(shè)，，是的三邊

59、，是其面積，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號。</p><p><b>　　證明：由余弦定理有</b></p><p>　　即有 </p><p>　　亦即 </p><p>　　同理 ，</p><p><b>　　注意到中的不等式</b>

60、</p><p>　?。ǖ忍柈?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得）</p><p><b>　　由：</b></p><p><b>　　整理即證得命題。</b></p><p>　　說明：例1、2都是引入了三角函數(shù)，即運(yùn)用三角法計(jì)算長度、面積等幾何量，證得不等式。</p><p><b&g

61、t;　　計(jì)算角度</b></p><p>　　例1 設(shè)，，是銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角，且，求證：。</p><p>　　證明：，，均為銳角，且</p><p><b>　　，，均為正數(shù)</b></p><p><b>　　且 </b></p><p>　　設(shè)內(nèi)角分別是

62、，，，如右圖</p><p><b>　　又，，</b></p><p>　　例2 已知中，，為中點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)，</p><p><b>　　求證：。</b></p><p><b>　　證明：設(shè)交于點(diǎn)，連</b></p><p><b>　　

63、，，</b></p><p><b>　　，，，</b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　，，，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　

64、　，</b></p><p><b>　　說明：</b></p><p>　　例1運(yùn)用了三角形本身的性質(zhì)和正弦定理，將邊長大小關(guān)系裝化為角度大小關(guān)系，證得結(jié)論。</p><p>　　例2運(yùn)用了純粹的長度、角度大小比較并轉(zhuǎn)換，最終證得結(jié)論。</p><p><b>　　計(jì)算面積</b>&l

65、t;/p><p>　　例1 求證：三角形中，大邊上的高小于小邊上的高。</p><p><b>　　證明：</b></p><p>　　例2 求證：直接三角形斜邊與斜邊上的高的和大于兩直角邊的和。</p><p><b>　　證明：</b></p><p><b>　　

66、，</b></p><p><b>　　即</b></p><p>　　說明：例1、2都是利用了最基本的三角形面積公式化簡運(yùn)算，證得邊長的不等關(guān)系。</p><p><b>　　間接證明</b></p><p><b>　　面積法</b></p>&l

67、t;p>　　例（競賽題）在銳角內(nèi)有一點(diǎn)使，又為內(nèi)任一點(diǎn)。求證：。</p><p><b>　　證明：</b></p><p>　　過、、分別作、、之垂線兩兩相交得，則有</p><p><b>　　同理，</b></p><p><b>　　故是正三角形，有</b><

68、;/p><p><b>　　，，</b></p><p>　　說明：本例是純粹通過最基本三角形面積公式，化簡計(jì)算得到邊長的大小關(guān)系的。</p><p><b>　　代數(shù)法</b></p><p>　　例1 （中考題）如圖所示，為外一點(diǎn)，、為切線，、為切點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是直徑，四邊形的面積是面積的2倍。&l

69、t;/p><p>　　請回答：四邊形和的面積哪一個(gè)大？并說明理由。</p><p>　　證明：是直徑，、為切線</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　，</b></p>&

70、lt;p><b>　　又</b></p><p><b>　　，即</b></p><p><b>　　設(shè)半徑為，</b></p><p><b>　　則在中，</b></p><p>　　且

71、①</p><p>　　又 ②</p><p>　　由①、②得：，即，即</p><p>　　易知，則為正三角形，</p><p><b>　　，故面積大</b></p><p>　　例2 在中，，，為其三邊長，，，分別為其外

72、接圓半徑，內(nèi)切圓半徑和半周長。求證：當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時(shí)等號成立。</p><p><b>　　證明：設(shè)，，，（）</b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　則所證不等式等價(jià)于</b></p><p><b>　　而，</b&

73、gt;</p><p><b>　　由此即證。</b></p><p><b>　　說明：</b></p><p>　　例1的證明過程中綜合運(yùn)用了面積法、三角法和代數(shù)法三種方法。</p><p>　　例2的證明則是運(yùn)用了基本不等式，其中的，，公式是利用三角法計(jì)算得到的。</p><

74、;p><b>　　反證法</b></p><p>　　例1 若凸四邊形的對角線長為和，求證：必有一條邊不小于。</p><p>　　證明：假設(shè)凸四邊形的各邊都大于（），分別以，為圓心，以為半徑作圓。</p><p>　　則，在這些圓周之外，且，如右圖</p><p><b>　　，兩圓相交</b&g

75、t;</p><p>　　設(shè)，為兩圓交點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，相交于</p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　若，則 </b></p><p>　　若，則大于與圓相交的弦，它又不小于</p><p><b>　　但</b></p

76、><p>　　與假設(shè)矛盾，所以原命題成立。</p><p>　　例2 如圖，、、分別為三邊（端點(diǎn)除外）、、上任意一點(diǎn)。求證：，，中至少有一個(gè)面積不大于面積的。</p><p>　　證一：令，，，，，。</p><p><b>　　假設(shè)，，均大于，</b></p><p>　　則由 及 &l

77、t;/p><p><b>　　有 </b></p><p><b>　　（）</b></p><p><b>　　同理 ，</b></p><p><b>　?、?lt;/b></p><p><b>　　但，即。</b>

78、;</p><p><b>　　同理 ，</b></p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　顯然，①與②矛盾，所以原命題得證。</p><p>　　證二：取三邊上的中點(diǎn)、、，則、、恰為。</p><p>　　假設(shè)存在點(diǎn)、、，滿足、、均大于。</p>

79、;<p><b>　　設(shè)，，，長為（）。</b></p><p><b>　　則，即，計(jì)算得</b></p><p><b>　　又，即，計(jì)算得</b></p><p>　　則，即，整理為，顯然不成立</p><p>　　故假設(shè)不成立，所以，命題得證。</p

80、><p><b>　　說明：</b></p><p>　　例1的證明過程十分完整，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想。</p><p>　　例2的證法一是在假設(shè)的基礎(chǔ)上運(yùn)用面積法、三角法來列式計(jì)算，結(jié)合基本不等式最終得出矛盾，證得命題。例2的證法二是在假設(shè)的基礎(chǔ)上計(jì)算得到邊長，證得矛盾，所需的知識(shí)基礎(chǔ)比證法一更為單純。</p><p>

81、;<b>　　總結(jié)</b></p><p>　　由上可知，計(jì)算法作為平面幾何的一種證明方法是返璞歸真的，更是包含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和深刻的教育意義的。 </p><p>　　按所要證明的結(jié)論的表達(dá)形式，將平面幾何證明題分為兩類：等式型問題和不等式型問題。</p><p>　　按照列式計(jì)算的內(nèi)容與結(jié)論所需幾何量是否直接相關(guān)，將計(jì)算法分為直接計(jì)算和間接

82、計(jì)算。直接計(jì)算主要指直接列式計(jì)算平面幾何的幾何量（包括長度、角度、面積等），由于三角形是平面圖形的基礎(chǔ)，計(jì)算時(shí)往往會(huì)運(yùn)用三角法（即引進(jìn)三角函數(shù)）證明幾何題。而間接計(jì)算是當(dāng)不能直接求得所需的幾何量時(shí)的方法，包括面積法、代數(shù)法、反證法等。在運(yùn)用面積法時(shí)常需結(jié)合三角法，張景中對面積法的研究是最為全面的，具體地可見他的文獻(xiàn)著作。在運(yùn)用代數(shù)法時(shí)往往涉及到多項(xiàng)式知識(shí)、不等式知識(shí)，更重要的是滲透了函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想。在運(yùn)用反證法時(shí)往往還滲透著分類討

83、論的數(shù)學(xué)思想，當(dāng)然也常常要結(jié)合前面所述的計(jì)算方法。很顯然，用計(jì)算法證明幾何題最為基礎(chǔ)的知識(shí)還是解三角形，所以與三角法結(jié)合最為密切。而間接計(jì)算法滲透了更多的數(shù)學(xué)思想方法，對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有一定的意義。</p><p>　　本文最后按類別選取了少數(shù)的幾何證明題來展現(xiàn)計(jì)算法的美妙之處，這些幾何證明題包括了歷史上著名的幾何結(jié)論，近年來的中考題、中學(xué)生競賽題，以及數(shù)學(xué)愛好者自己創(chuàng)編的幾何證明題。</p>

84、<p>　　最后，本文仍存在許多不足。如：對計(jì)算法的匯總歸類十分粗糙，事實(shí)上可以按照計(jì)算的依據(jù)、幾何圖形的特征等多個(gè)角度對其類別進(jìn)行更為細(xì)致和嚴(yán)密的劃分，也可以挖掘各方法所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法找出其共通之處進(jìn)行統(tǒng)一；在中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的大背景下，對于空間幾何圖形、開放式幾何證明題等改革內(nèi)容更是沒有或極少涉及等等。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p>

85、<p>　　徐彥輝，孫名符.直觀與論證的統(tǒng)一——幾何課程改革關(guān)鍵問題的哲學(xué)思考[J].武漢教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2001.6. </p><p>　　鮑建生.幾何的教育價(jià)值與課程目標(biāo)體系[J].教育研究，2000.4.</p><p>　　Sternberg Robert J，Williams Wendy M.教育心理學(xué)[M]，張厚粲，譯.中國輕工業(yè)出版社，2003.</p>

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