2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、高中平面幾何定理匯總及證明高中平面幾何定理匯總及證明1.共邊比例定理有公共邊AB的兩個三角形的頂點分別是P、Q,AB與PQ的連線交于點M,則有以下比例式成立:△PAB的面積:△QAB的面積=PM:QM.證明:分如下四種情況,分別作三角形高,由相似三角形可證S△PAB=(S△PAMS△PMB)=(S△PAMS△PMB1)S△PMB=(AMBM1)S△PMB(等高底共線,面積比=底長比)同理,S△QAB=(AMBM1)S△QMB所以,S△P

2、ABS△QAB=S△PMBS△QMB=PMQM(等高底共線,面積比=底長比)定理得證!特殊情況:當(dāng)PB∥AQ時,易知△PAB與△QAB的高相等,從而S△PAB=S△QAB,反之,S△PAB=S△QAB,則PB∥AQ。2.正弦定理在任意一個平面三角形中,各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓半徑的2倍”,即asinA=bsinB=csinC=2r=R(r為外接圓半徑,R為直徑)證明:現(xiàn)將△ABC,做其外接圓,設(shè)圓心為O。我們考慮∠C及

3、其對邊AB。設(shè)AB長度為c。若∠C為直角,則AB就是⊙O的直徑,即c=2r?!撸ㄌ厥饨钦液瘮?shù)值)∴3.分角定理在△ABC中,D是邊BC上異于BC或其延長線上的一點,連結(jié)AD,則有BDCD=(sin∠BADsin∠CAD)(ABAC)。證明:S△ABDS△ACD=BDCD…………(1.1)S△ABDS△ACD=[(12)ABADsin∠BAD][(12)ACADsin∠CAD]=(sin∠BADsin∠CAD)(ABAC)…………(1.

4、2)由1.1式和1.2式得BDCD=(sin∠BADsin∠CAD)(ABAC)4.張角定理在△ABC中,D是BC上的一點,連結(jié)AD。那么?!稀?∠證明:設(shè)∠1=∠BAD,∠2=∠CAD由分角定理,S△ABDS△ABC=BDBC=(ADAC)(sin∠1sin∠BAC)→(BDBC)(sin∠BACAD)=sin∠1AC(1.1)S△ACDS△ABC=CDBC=(ADAB)(sin∠2sin∠BAC)→(CDBC)(sin∠BACAD)

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