畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）淺談中學(xué)數(shù)學(xué)分類(lèi)討論的問(wèn)題及教學(xué)策略

1、<p>　　畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)（論文）</p><p><b>　　2015屆</b></p><p>　　淺談中學(xué)數(shù)學(xué)分類(lèi)討論的問(wèn)題及教學(xué)策略</p><p>　　THE PROBLEMS AND TEACHING STRATEGIES ON MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS CLASSIFICATION DISCUS

2、SION</p><p>　　學(xué)生姓名 </p><p>　　學(xué) 號(hào) </p><p>　　院 系 數(shù)理信息學(xué)院 </p><p>　　專(zhuān) 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　指導(dǎo)教師

3、 </p><p>　　完成日期 2015年5月11日 </p><p>　　淺談中學(xué)數(shù)學(xué)分類(lèi)討論的問(wèn)題及教學(xué)策略</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　數(shù)學(xué)分類(lèi)思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將其分成幾個(gè)不同種類(lèi)的一種數(shù)學(xué)思想。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想

4、，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)分類(lèi)討論法。所謂數(shù)學(xué)分類(lèi)討論方法，就是將數(shù)學(xué)對(duì)象分成幾類(lèi)，分別進(jìn)行討論來(lái)解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)方法。有關(guān)分類(lèi)討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。分類(lèi)討論思想貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的全部?jī)?nèi)容中。需要運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，就其引起分類(lèi)的原因，可歸結(jié)為：涉及的數(shù)學(xué)概念是分類(lèi)定義的；運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類(lèi)給出的；求解的數(shù)學(xué)

5、問(wèn)題的結(jié)論有多種情況或多種可能；數(shù)學(xué)問(wèn)題中含有參變量，這些參變量的取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果的。應(yīng)用分類(lèi)討論，往往能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。分類(lèi)的過(guò)程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性，條理性，而分類(lèi)討論，又能促進(jìn)學(xué)生研究問(wèn)題、探索規(guī)律的能力。</p><p>　　關(guān)鍵詞 分類(lèi)討論；標(biāo)準(zhǔn)；原則；應(yīng)用；教學(xué)策略</p><p>　　THE PROBLEMS AND TEACHING STRATEGIES ON M

6、IDDLE SCHOOL MATHEMATICS CLASSIFICATION DISCUSSION</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　The mathematical classification thought, is essentially according to the same point and different

7、 points of the mathematical objects, a kind of mathematical thinking will be divided into several different types. It is thought a kind of important mathematics thought, it is also an important method in mathematical log

8、ic, in middle school mathematics is often expressed as a mathematical classification discussion method. The so-called mathematical classification discussion method, is a mathematical </p><p>　　KEY WORDS Clas

9、sification discussion; standard; principle; application; teaching strategies</p><p><b>　　目錄</b></p><p>　　中文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I</p><p>　　英

10、文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II</p><p>　　目錄．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．III</p><p>　　引言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1</p><p

11、>　　1 簡(jiǎn)述分類(lèi)討論思想．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2</p><p>　　2 分類(lèi)討論思想的標(biāo)準(zhǔn)和原則．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3</p><p>　　3 分類(lèi)討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

12、3</p><p>　　3.1分類(lèi)討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3</p><p>　　3.2分類(lèi)討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5</p><p>　　3.3 分類(lèi)討論思想在數(shù)列上的應(yīng)用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

13、．．．．．．．．．．．．8</p><p>　　3.4分類(lèi)討論思想在排列組合中的應(yīng)用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10</p><p>　　3.5分類(lèi)討論在最優(yōu)方案問(wèn)題中的應(yīng)用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10</p><p>　　4 分類(lèi)討論的教學(xué)策略．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

14、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11</p><p>　　5 總結(jié)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12</p><p>　　參考文獻(xiàn)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12</p><p>　　致謝．．．．．．．．．．．．．．．．．

15、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14</p><p><b>　　引言</b></p><p>　　數(shù)學(xué)分類(lèi)討論既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)分類(lèi)討論法。分類(lèi)討論思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，關(guān)于分類(lèi)討論的題目一般來(lái)說(shuō)都有一定的難度，成為歷年高考的

16、寵兒，經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸題?？忌捎诳紤]不周，而導(dǎo)致失分現(xiàn)象嚴(yán)重。所以探究分類(lèi)討論這一數(shù)學(xué)思想是有實(shí)際意義的。通過(guò)對(duì)近些年數(shù)學(xué)高考試卷的研究，發(fā)現(xiàn)分類(lèi)討論思想在以下幾個(gè)方面的應(yīng)用最為明顯：1.分類(lèi)討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用。2.分類(lèi)討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用。3.分類(lèi)討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用。4.分類(lèi)討論思想在排列組合中的應(yīng)用。5.分類(lèi)討論思想在最優(yōu)方案問(wèn)題中的應(yīng)用。此外，分類(lèi)討論的題目在高考中占有一定比例，通過(guò)對(duì)近5年浙江、上海、北京、湖南、湖

17、北五地的高考試卷分類(lèi)討論題型的總結(jié)，發(fā)現(xiàn)每年各地至少有兩道是分類(lèi)討論題目，分值占到20分左右。而近年來(lái)，湖北高考卷分類(lèi)討論題目特別多，很多大題都要進(jìn)行分類(lèi)討論，因此分類(lèi)討論思想非常重要。對(duì)分類(lèi)討論的研究有助于提高考生在此類(lèi)題的得分率。</p><p><b>　　表（一）</b></p><p><b>　　表（二）</b></p>

18、<p><b>　　表（三）</b></p><p><b>　　表（四）</b></p><p><b>　　表（五）</b></p><p>　　1 簡(jiǎn)述分類(lèi)討論思想</p><p>　　每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我

19、們所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有些問(wèn)題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問(wèn)題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問(wèn)題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會(huì)影響問(wèn)題的解決，由上述幾類(lèi)問(wèn)題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類(lèi)，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決，這種按不同情況分類(lèi)，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱(chēng)之為分類(lèi)討論思想。</p><p>　　歐陽(yáng)

20、獻(xiàn)忠和周紹云在2012年12月發(fā)表在宜春學(xué)院學(xué)報(bào)上有一文《數(shù)學(xué)教學(xué)中的分類(lèi)討論及其應(yīng)用》。該文從以下幾個(gè)方面對(duì)分類(lèi)討論方法進(jìn)行了闡述:（1）分類(lèi)討論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和作用。（2）分類(lèi)討論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用原則。（3）分類(lèi)討論的步驟及要注意的問(wèn)題。（4）小結(jié)部分。就第二點(diǎn)，他們展開(kāi)了如下闡述：a) 確定分類(lèi)對(duì)象。b) 確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，科學(xué)合理地分類(lèi)。c) 逐類(lèi)求解或證明。d） 歸納、總結(jié)問(wèn)題的結(jié)論。e） 多級(jí)分類(lèi)討論。這篇文章較為系統(tǒng)的對(duì)

21、中學(xué)數(shù)學(xué)分類(lèi)討論問(wèn)題進(jìn)行了研究，尤其是在含參變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題需要分類(lèi)討論的時(shí)候，研究的十分透徹。唯一的瑕疵在于多級(jí)分類(lèi)討論部分缺乏強(qiáng)有力的例題作為應(yīng)證，舉得例子范圍比較狹窄。</p><p>　　而江西科技師范學(xué)院的萬(wàn)志珍在《淺析中學(xué)數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論思想方法》的畢業(yè)論中，從以下幾個(gè)方面對(duì)分類(lèi)討論思想進(jìn)行了闡述：1.引言。2.在什么情況下要進(jìn)行分類(lèi)要論以及分類(lèi)討論的步驟、原則和方法。3.分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

22、。4.結(jié)論。就第三點(diǎn)，她展開(kāi)了如下闡述：a）由絕對(duì)值引起的分類(lèi)討論。b）由不等式引起的分類(lèi)討論。c)由等比數(shù)列前 錯(cuò)誤!未找到引用源。項(xiàng)和公式引起的分類(lèi)討論。d）由排列組合等問(wèn)題引起的分類(lèi)討論。e）由大小關(guān)系引起的分類(lèi)討論。f）圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義引起的討論。</p><p>　　2 分類(lèi)討論思想的標(biāo)準(zhǔn)和原則</p><p>　　分類(lèi)討論思想的標(biāo)準(zhǔn)：一般地，在集合上討論某一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以

23、根據(jù)某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，把劃分為子類(lèi) 錯(cuò)誤!未找到引用源。這時(shí)，在上實(shí)施對(duì)問(wèn)題的討論等價(jià)于在 錯(cuò)誤!未找到引用源。上實(shí)施對(duì)問(wèn)題的討論，把稱(chēng)為分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)。</p><p>　　分類(lèi)討論思想的原則：</p><p>　　（1）同一性原則：分類(lèi)應(yīng)該按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類(lèi)不能同時(shí)使用幾個(gè)不同的分類(lèi)依據(jù)。例如把三角形分為直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形和等腰三角形就不符合同一性原則，因?yàn)橛昧藘蓚€(gè)不

24、同的原則。</p><p>　?。?）互斥性原則：分類(lèi)后的每個(gè)子項(xiàng)應(yīng)互不相容，即要做到每個(gè)子項(xiàng)相互排斥，分類(lèi)后不能有些元素既屬于這個(gè)子項(xiàng)，又屬于那個(gè)子項(xiàng)。例如將三角形分為等腰三角形和等邊三角形不符合互斥性原則，因?yàn)樽禹?xiàng)不互斥。</p><p>　?。?）層次性原則：分類(lèi)有一次分類(lèi)和多次分類(lèi)之分，一次分類(lèi)是對(duì)被討論對(duì)象只進(jìn)行分類(lèi)一次；多次分類(lèi)是把分類(lèi)后的所有子項(xiàng)作為母項(xiàng)，再進(jìn)行分類(lèi)，直到滿(mǎn)足

25、需要為止。例如對(duì)不等式 錯(cuò)誤!未找到引用源。的解的討論，要進(jìn)行多次分類(lèi)討論。先對(duì)是否等于進(jìn)行第一次討論，當(dāng)時(shí)，又可以分為和進(jìn)行第二次討論。當(dāng)時(shí)，又可以對(duì)兩根的大小進(jìn)行第三次討論。</p><p>　　3 分類(lèi)討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　3.1 分類(lèi)討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用</p><p>　　一般來(lái)說(shuō)，此類(lèi)題目所占分值不大，常常出現(xiàn)在選擇填空題，考

26、查的數(shù)學(xué)思想比較廣泛，分類(lèi)討論思想和換元思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想通常要結(jié)合使用。</p><p>　　例1.（2014年浙江卷）15.設(shè)函數(shù) 錯(cuò)誤!未找到引用源。 ，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________</p><p>　　分析：本題考查分段函數(shù)的知識(shí)，考查分段函數(shù)背景下求解不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)換的能力，以及分類(lèi)討論和換元的數(shù)學(xué)思想方法，難度中等。</p><p

27、>　　解：令則 錯(cuò)誤!未找到引用源。 ，等價(jià)于 錯(cuò)誤!未找到引用源。 ①或 ②</p><p>　　解①得 錯(cuò)誤!未找到引用源。 ，解②得，所以。于是 ，此等價(jià)于③ 或 錯(cuò)誤!未找到引用源。 ④ ，解③得 ，解④得 ,所以.</p><p>　　例2.（2014湖北卷）10.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，。若， 錯(cuò)誤!未找到引用源。則實(shí)數(shù) 錯(cuò)誤!未找到引用源。的取值范圍為（

28、 ）</p><p>　　分析：本題考查分段函數(shù)、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的圖像、不等式恒成立問(wèn)題、一元一次不等式以及分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，難度較大。</p><p><b>　　解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ,</b></p><p>　　錯(cuò)誤!未找到引用源。所以當(dāng)時(shí)， 錯(cuò)誤!未找到引用源。；</p><p>　　

29、當(dāng)時(shí)， 錯(cuò)誤!未找到引用源。；</p><p>　　當(dāng)時(shí)， 錯(cuò)誤!未找到引用源。，綜上， </p><p>　　錯(cuò)誤!未找到引用源。因此，根據(jù)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)作出函數(shù) 錯(cuò)誤!未找到引用源。在R上的大致圖像，觀(guān)察圖像可知，要使, 錯(cuò)誤!未找到引用源。則需滿(mǎn)足 錯(cuò)誤!未找到引用源。，解得 錯(cuò)誤!未找到引用源。</p><p>　　例3.（2013上海卷）12.設(shè)

30、為實(shí)常數(shù)，是定義在 錯(cuò)誤!未找到引用源。上的奇函數(shù)，當(dāng) 錯(cuò)誤!未找到引用源。時(shí)， 錯(cuò)誤!未找到引用源。.若 錯(cuò)誤!未找到引用源。對(duì)一切成立，則的取值范圍為_(kāi)_______</p><p>　　分析：本題考查函數(shù)的奇偶性及函數(shù)不等式的求解問(wèn)題，其中運(yùn)用了分類(lèi)討論思想，難度中等。</p><p>　　解：是定義在上的奇函數(shù)， 錯(cuò)誤!未找到引用源。，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)由 錯(cuò)誤!未找到引用源。得 錯(cuò)誤

31、!未找到引用源。，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)由 錯(cuò)誤!未找到引用源。得，由此不等式恒成立及, 錯(cuò)誤!未找到引用源。（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）可得 錯(cuò)誤!未找到引用源。，結(jié)合，可得 錯(cuò)誤!未找到引用源。，解得，綜上得的取值范圍為 錯(cuò)誤!未找到引用源。</p><p>　　例4.（2012北京卷）14.已知,若同時(shí)滿(mǎn)足條件：</p><p>　?、?錯(cuò)誤!未找到引用源。 ②</p>

32、;<p>　　則的取值范圍是________</p><p>　　析：本題考查一元二次不等式的解法、方程根的分布及數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，考查學(xué)生的綜合分析與轉(zhuǎn)化能力，難度較大。</p><p>　　解：由于當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 錯(cuò)誤!未找到引用源。，故據(jù)題意得只需當(dāng)時(shí)， 錯(cuò)誤!未找到引用源。即可，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口方向向上，不符合時(shí)， 錯(cuò)誤!未找到引用源。，故必有，結(jié)合二次

33、函數(shù)圖像只需兩根滿(mǎn)足 錯(cuò)誤!未找到引用源。 即可，解得，對(duì)于條件②，由于 錯(cuò)誤!未找到引用源。，故只需當(dāng) 錯(cuò)誤!未找到引用源。時(shí)，使得即可，此時(shí)應(yīng)使得比方程兩根中的小根大即可，當(dāng)時(shí)，只需，解得，不符合條件舍去；當(dāng), 錯(cuò)誤!未找到引用源。不符合題意，當(dāng),解得，綜上得：的取值范圍是.</p><p>　　3.2 分類(lèi)討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用</p><p>　　一般來(lái)說(shuō)，此類(lèi)題目所占分值較大，

34、常出現(xiàn)在高考?jí)狠S題，難度普遍較大。此類(lèi)題目一般可以分為兩類(lèi)，含參變量和不含參變量。含參變量題目難度一般較大。</p><p>　　例1.（2014年北京卷）18.已知函數(shù) </p><p><b>　?。?）求證：</b></p><p>　?。?）若對(duì) 錯(cuò)誤!未找到引用源。恒成立，求的最大值與的最小值.</p><p>

35、;　　分析：第一問(wèn)很簡(jiǎn)單，考生很容易做出來(lái)。第二問(wèn)有點(diǎn)難度，要進(jìn)行分類(lèi)討論。</p><p>　　解：（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于， </p><p><b>　　等價(jià)于</b></p><p><b>　　令則</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，對(duì)任意 錯(cuò)誤!未找到引用源。恒成立。</p>

36、<p>　　當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減。從而對(duì)任意恒成立。</p><p>　　當(dāng)時(shí)，存在唯一的，使得</p><p>　　因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以，進(jìn)一步，“對(duì)任意 恒成立”，當(dāng)且僅當(dāng) 錯(cuò)誤!未找到引用源。，即.</p><p>　　綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意 錯(cuò)誤!未找到引用源。恒成立。</p><p>　　當(dāng)且僅

37、當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立。</p><p>　　所以，若對(duì) 錯(cuò)誤!未找到引用源。恒成立，則的最大值為，的最小值為.</p><p>　　例2.（2014年浙江卷）22.已知函數(shù)</p><p>　　若在上的最大值和最小值分別記為求； 錯(cuò)誤!未找到引用源。</p><p>　　設(shè). 若對(duì)恒成立 錯(cuò)誤!未找到引用源。，求的取值范圍。</p>

38、<p>　　分析：本題主要考查函數(shù)的最大(最小)值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證、分類(lèi)討論（多級(jí)分類(lèi)討論）、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題等綜合解題能力。</p><p>　　解：（1）因， 所以由于，</p><p>　　（i）當(dāng)時(shí)，有，故，此時(shí)在 錯(cuò)誤!未找到引用源。上是增函數(shù)，因此，， 錯(cuò)誤!未找到引用源。，所以.　</p><p&

39、gt;　?。╥i）當(dāng) 錯(cuò)誤!未找到引用源。時(shí)，若， 錯(cuò)誤!未找到引用源。，在上是增函數(shù)；</p><p>　　若 錯(cuò)誤!未找到引用源。，，在上是減函數(shù) 錯(cuò)誤!未找到引用源。。所以 錯(cuò)誤!未找到引用源。， 錯(cuò)誤!未找到引用源。 .由于，因此當(dāng) 錯(cuò)誤!未找到引用源。時(shí)， 錯(cuò)誤!未找到引用源。，當(dāng)時(shí)，</p><p>　　（iii）當(dāng)時(shí)，有，故，此時(shí) 錯(cuò)誤!未找到引用源。在上是減函數(shù)，因此.&l

40、t;/p><p><b>　　綜上得：</b></p><p>　　第二問(wèn)與第一問(wèn)解題方法相似，得出.</p><p>　　例3.（2014湖南卷）22.已知常數(shù)， 錯(cuò)誤!未找到引用源。函數(shù).</p><p>　　討論在區(qū)間上的單調(diào)性。</p><p>　　若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍</

41、p><p>　　分析：第一小問(wèn)只是簡(jiǎn)單的運(yùn)用了分類(lèi)討論，第二小問(wèn)運(yùn)用了多級(jí)分類(lèi)討論，難度比較大。</p><p><b>　　解:</b></p><p>　?。?）（ 錯(cuò)誤!未找到引用源。）</p><p>　　當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增。</p><p>　　當(dāng)時(shí)，由得 錯(cuò)誤!未找到引用源。

42、，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增。</p><p>　　(2)由（ 錯(cuò)誤!未找到引用源。）知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在極值點(diǎn)。因而要有極值點(diǎn)，必有.又的極值點(diǎn)只可能是，且由 錯(cuò)誤!未找到引用源。的定義可知， ，所以 錯(cuò)誤!未找到引用源。 ，，解得</p><p>　　此時(shí)，由（ 錯(cuò)誤!未找到引用源。）易知，分別為的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)。而，令 錯(cuò)誤!未找到引用源。，由且知，當(dāng)

43、時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 錯(cuò)誤!未找到引用源。 .記</p><p>　?。╥）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，?duì)之求導(dǎo)可得 ，因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，故當(dāng)時(shí)，.</p><p>　　（ii）當(dāng)時(shí)，，，因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，故當(dāng)時(shí)，.</p><p>　　綜上所述，滿(mǎn)足條件 錯(cuò)誤!未找到引用源。的取值范圍是 錯(cuò)誤!未找到引用源。.</p><p>　　3.3

44、分類(lèi)討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用</p><p>　　一般來(lái)說(shuō)，此類(lèi)題目出現(xiàn)在解答題前幾題，很少放在壓軸題。難度普遍不大。常對(duì)公差和公比進(jìn)行分類(lèi)討論。</p><p>　　例1.（2014湖北卷）18.已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：，且成等比數(shù)列。</p><p><b>　　求數(shù)列的通項(xiàng)公式。</b></p><p>　　記為數(shù)列的前項(xiàng)

45、和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因。</p><p>　　分析：本題難度一般，用了分類(lèi)討論，分兩種情況進(jìn)行討論。</p><p>　　解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為, 錯(cuò)誤!未找到引用源。依題意,成等比數(shù)列，故有，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，</p><p>　　從而得數(shù)列 錯(cuò)誤!未找到引用源。的通項(xiàng)公式為或.</p><p>

46、;　　（2）當(dāng)時(shí)，，顯然，此時(shí)不存在正整數(shù) 錯(cuò)誤!未找到引用源。，使得成立。當(dāng)時(shí)，，令，解得，所以存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為</p><p>　　綜上：當(dāng)時(shí)，不存在滿(mǎn)足題意的，</p><p>　　當(dāng)時(shí)，存在滿(mǎn)足題意的 錯(cuò)誤!未找到引用源。，的最小值為.</p><p>　　例2.（2014上海卷）23.已知數(shù)列滿(mǎn)足，，</p><p>

47、;　　若， 錯(cuò)誤!未找到引用源。求的取值范圍；</p><p>　　設(shè)是公比為 錯(cuò)誤!未找到引用源。的等比數(shù)列， 錯(cuò)誤!未找到引用源。，若，，求的取值范圍；</p><p>　　若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值以及取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列的公差。</p><p>　　分析：本題難度較大，第二問(wèn)用了分類(lèi)討論，對(duì) 錯(cuò)誤!未找到引用源。的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論。</p&g

48、t;<p>　　解：（1）由條件得且，解得,所以的取值范圍是</p><p>　?。?）由，且，得， 錯(cuò)誤!未找到引用源。所以 錯(cuò)誤!未找到引用源。，又，所以.當(dāng)時(shí)，，由得成立。當(dāng)時(shí)，，即</p><p>　?、偃簦瑒t，由，得，所以.</p><p>　　②若時(shí)，則，由，得，所以.</p><p>　　綜上得：的取值范圍是.&l

49、t;/p><p>　　(3)設(shè)的公差為，由，且，得， 錯(cuò)誤!未找到引用源。，即 錯(cuò)誤!未找到引用源。，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由 錯(cuò)誤!未找到引用源。得 錯(cuò)誤!未找到引用源。，所以 錯(cuò)誤!未找到引用源。，所以 錯(cuò)誤!未找到引用源。，即，得，所以 錯(cuò)誤!未找到引用源。的最大值為，公差為.</p><p>　　例3.（2013浙江卷）18.在公差為的等差數(shù)列 錯(cuò)誤!未找到引用源。中，已知，且成等比數(shù)列。&l

50、t;/p><p>　　求， 錯(cuò)誤!未找到引用源。</p><p><b>　　若，求</b></p><p>　　分析：本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列概念，等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式，貫穿了分類(lèi)討論思想，難度一般。</p><p>　　解：（1）由題意得，即，所以</p><p><b>　　

51、所以或 </b></p><p>　?。?）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，因?yàn)?，所以，，則當(dāng)時(shí)， 錯(cuò)誤!未找到引用源。，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，</p><p>　　3.4 分類(lèi)討論思想在排列組合中的應(yīng)用</p><p>　　一般來(lái)說(shuō)，此類(lèi)題目分值不大，出現(xiàn)在選擇填空題。浙江卷偏愛(ài)出這種題型，難度一般。</p><p>　　例1.（2013浙江卷）

52、14.將這六個(gè)字母排成一排，且均在的同側(cè)，則不同的排法共有________種（用數(shù)字作答）。</p><p>　　解：若均在的左側(cè)，有種，在將逐個(gè)插空，有種，所以共種；若均在的右側(cè)，同樣有種，故共有種。</p><p>　　例2.（2012浙江卷）6.若將這個(gè)整數(shù)中同時(shí)取個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有（ ）種。</p><p>　　分析：本題主要考查分

53、類(lèi)計(jì)數(shù)原理和組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力以及運(yùn)算求解能力，此外還有簡(jiǎn)單的分類(lèi)討論能力，屬中檔題。</p><p>　　解：分三類(lèi)：（1）四個(gè)偶數(shù)：種；（2）二個(gè)偶數(shù)二個(gè)奇數(shù)：種；（3）四個(gè)奇數(shù)：種；所以共有種。</p><p>　　3.5 分類(lèi)討論思想在最優(yōu)方案問(wèn)題中的應(yīng)用</p><p>　　一般來(lái)說(shuō)，此類(lèi)題目難度中等。出現(xiàn)頻率不高（近年只出現(xiàn)

54、過(guò)次，湖南湖北各次），其它省份（如浙江、上海、北京三地近年沒(méi)出現(xiàn)過(guò)此類(lèi)題目）。主要考查考生對(duì)材料的理解和解決問(wèn)題的能力。</p><p>　　例1.（2014湖北卷）20.計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站。過(guò)去年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量（年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和。單位：億立方米）都在以上。其中，不足的年份有年，不低于且不超過(guò)的年份有年，超過(guò)的年份有年。將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)

55、段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立。</p><p>　　（1）求未來(lái)年中，至多有年的年入流量超過(guò)的概率；</p><p>　　水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能的運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量 錯(cuò)誤!未找到引用源。限制，并有如下關(guān)系：</p><p>　?。?）若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損萬(wàn)元。欲使水電站的年利潤(rùn)

56、的均值達(dá)到最大，應(yīng)該安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？</p><p>　　分析：第二問(wèn)用了分類(lèi)討論，本題比較新穎，有一點(diǎn)難度，考查了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的綜合分析能力和分類(lèi)討論能力。</p><p>　　解：（2）記水電站年總利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元）</p><p>　?。╥）安裝臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形。</p><p>　　由于水庫(kù)年入流量總大于，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為，對(duì)

57、應(yīng)的年利潤(rùn). </p><p>　?。╥i）安裝臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形。</p><p>　　依題意，當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)， 錯(cuò)誤!未找到引用源。因此；當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí) 錯(cuò)誤!未找到引用源。，因此</p><p>　　所以，. 錯(cuò)誤!未找到引用源。</p><p>　?。╥ii）安裝臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形。</p><p&

58、gt;　　依題意，當(dāng) 錯(cuò)誤!未找到引用源。時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，</p><p>　　因此；當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此；</p><p>　　當(dāng)時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí) 錯(cuò)誤!未找到引用源。，因此</p><p><b>　　所以，</b></p><p>　　綜上，欲使水電站的年利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)該安裝發(fā)

59、電機(jī)臺(tái).</p><p>　　4 分類(lèi)討論的教學(xué)策略</p><p>　　在縱觀(guān)最近幾年的數(shù)學(xué)高考題（尤其是浙江、上海、北京、湖南、湖北這五地），可以明顯的發(fā)現(xiàn)分類(lèi)討論問(wèn)題占用一定的比例，而且分類(lèi)討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用最為重要，它考的往往是壓軸題，難度一般較大。此外，學(xué)生在面對(duì)較難的分類(lèi)討論問(wèn)題時(shí)，雖然知道要進(jìn)行分類(lèi)討論，但苦于無(wú)從下手，或分類(lèi)不清、對(duì)某些情況會(huì)有所遺漏。所以，在日常的數(shù)學(xué)

60、教學(xué)中，教師要滲透分類(lèi)討論思想。</p><p>　　首先，教師在備課的時(shí)候，要有意識(shí)的結(jié)合本節(jié)課的具體教學(xué)內(nèi)容，來(lái)滲透分類(lèi)討論思想，培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)討論的意識(shí)和思考的周密性和條理性，把分類(lèi)討論思想融入到具體的教學(xué)過(guò)程中。一般來(lái)說(shuō)，分類(lèi)討論問(wèn)題可歸結(jié)為以下幾個(gè)方面：涉及的數(shù)學(xué)概念是分類(lèi)定義的；運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類(lèi)給出的；求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)論有多種情況或多種可能；數(shù)學(xué)問(wèn)題中含有參變量，這些參變量的

61、取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果的。所以在講授絕對(duì)值等數(shù)學(xué)概念時(shí)可以滲透分類(lèi)討論思想，在法則的推導(dǎo)過(guò)程中體現(xiàn)分類(lèi)討論思想，在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中應(yīng)用數(shù)學(xué)分類(lèi)討論思想。</p><p>　　其次，教師在上課的時(shí)候（分類(lèi)討論問(wèn)題），不能一味的追求教學(xué)進(jìn)度，不給學(xué)生留有充足的思考時(shí)間，針對(duì)學(xué)生分類(lèi)討論中出現(xiàn)的問(wèn)題要及時(shí)的給予指導(dǎo)及糾正。</p><p>　　此外，教師應(yīng)該開(kāi)設(shè)分類(lèi)討論專(zhuān)題課，總結(jié)出高考常見(jiàn)的分

62、類(lèi)討論題目，讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)。而高考中常見(jiàn)的分類(lèi)討論題型，無(wú)外乎以下幾種：分類(lèi)討論思想在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、排列組合、集合、最優(yōu)化問(wèn)題的應(yīng)用。而前兩種情況是比較重要的，在歷年高考試題中占有很大比重，教師該多出例子、及時(shí)引導(dǎo)，學(xué)生認(rèn)真練習(xí)、扎實(shí)的掌握。</p><p>　　最后，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題中往往不是簡(jiǎn)單的運(yùn)用一種分類(lèi)討論思想就能解決問(wèn)題，分類(lèi)討論思想往往會(huì)和換元思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、推理論證思想等結(jié)合來(lái)

63、運(yùn)用。因此，學(xué)生掌握分類(lèi)討論思想還是有所欠缺的，應(yīng)該掌握多種數(shù)學(xué)思想。而有一些題目可以避免分類(lèi)討論思想，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，所以對(duì)于分類(lèi)討論思想，學(xué)生該靈活運(yùn)用。</p><p><b>　　5 總結(jié)</b></p><p>　　隨著新課程改革的不讀那深入，數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)素質(zhì)教育中的重要內(nèi)容已經(jīng)引起教育者的普遍關(guān)注，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)將數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)列入數(shù)學(xué)的課程目

64、標(biāo)。而分類(lèi)討論思想作為高中四大數(shù)學(xué)思想之一，顯得尤為重要。教師在日常的教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)該有意無(wú)意地貫徹?cái)?shù)學(xué)分類(lèi)討論思想，分類(lèi)討論思想的掌握不是一朝一夕的事情，所以要循序漸進(jìn)，逐步深化，給學(xué)生留有思考的空間，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師要采取靈活的教學(xué)手段實(shí)施分類(lèi)討論教學(xué)。而分類(lèi)討論思想往往與其它思想有著交集，因此教師在教學(xué)過(guò)程中，要結(jié)合其它數(shù)學(xué)思想方法。教師通過(guò)積極的引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的分類(lèi)討論能力，鍛煉學(xué)生的思維的深刻性、周密性和條理性，從而提

65、高學(xué)生的解題能力。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 薛金星. 高中數(shù)學(xué)解題方法與技巧（第三版）[M].高等教育出版社，2003(08): 82-85.</p><p>　　[2] 郭可銀. 談分類(lèi)討論思想方法在解題中的應(yīng)用（高中版）[M].高等教育出版社，2005(04): 128-130.</p

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68、10(11): 52.</p><p>　　[9] 黃新顏. 分類(lèi)討論思想在解題教學(xué)中的實(shí)踐和思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué). 2013(08): 80-82.</p><p>　　[10] 張?zhí)烀? 例談分類(lèi)討論的常見(jiàn)依據(jù)[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究. 2008(08): 45-47.</p><p>　　[11] 天利全國(guó)高考命題研究中心 北京天利考試信息網(wǎng)編 天利38套20

69、10-2014最新五年高考真題匯編詳解 [M]. 數(shù)學(xué)（理科） 西藏人民出版社.</p><p>　　[12] 劉華，張耀輝. 3年高考，2年模擬 [M]. 2009(04) 首都師范大學(xué)出版社.</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　本論文實(shí)在導(dǎo)師XXX的精心指導(dǎo)下完成的。從開(kāi)始寫(xiě)作到論文的完成，總共花費(fèi)我半個(gè)月左右的

70、時(shí)間。在此期間，我查閱了相當(dāng)多的前人的研究資料，特別是歐陽(yáng)獻(xiàn)忠和周紹云的對(duì)分類(lèi)討論的研究給了我很大的啟示。此外，在做畢業(yè)設(shè)計(jì)的每個(gè)階段，從選題到查閱資料，文獻(xiàn)綜述和開(kāi)題報(bào)告的編輯和修改，論文提綱的確定，前期論文的修改，以及論文格式的修改，XXX導(dǎo)師給了我很大的幫助。最后，感謝母校文理學(xué)院對(duì)我四年來(lái)的培養(yǎng)，還有那些任課教師，身邊的同學(xué)曾經(jīng)對(duì)我的幫助，在此，表示深深的感謝。</p><p>　　最后，十分感謝各位老師