非線性物理學(xué)與復(fù)雜性研究

1、<p>　　非線性物理學(xué)與復(fù)雜性研究</p><p>　　（一）線性科學(xué)向非線性科學(xué)的轉(zhuǎn)變</p><p>　　線性是指量與量之間的正比關(guān)系；在直角坐標(biāo)系里，這是用一根直線表征的關(guān)系。近代自然科學(xué)正是從研究線性系統(tǒng)這種簡單對象開始的。由于人的認(rèn)識的發(fā)展總是從簡單事物開始的，所以在科學(xué)發(fā)展的早期，首先從線性關(guān)系來認(rèn)識自然事物，較多地研究了事物間的線性相互作用，這是很自然的。因而在經(jīng)

2、典物理學(xué)中，首先考察的是沒有摩擦的理想擺，沒有粘滯性的理想流體，溫度梯度很小的熱流等；數(shù)學(xué)家們首先研究的是線性函數(shù)、線性方程等。理論家們在對大自然中的許多現(xiàn)象進(jìn)行探索時，總是力求在忽略非線性因素的前提下建立起線性模型，至少是力求對非線性模型做線性化處理，用線性模型近似或局部地代替非線性原型，或者借助于對線性過程的微小擾動來討論非線性效應(yīng)。經(jīng)過長期的發(fā)展，在經(jīng)典科學(xué)中就鑄造出一套處理線性問題的行之有效的方法，例如傅立葉變換、拉普拉斯變換、

3、傳遞函數(shù)、回歸技術(shù)等；就是設(shè)計(jì)物理實(shí)驗(yàn)，也主要是做那些可以做線性分析的實(shí)驗(yàn)。從這個特點(diǎn)看來，經(jīng)典科學(xué)實(shí)質(zhì)上是線性科學(xué)。線性科學(xué)在理論研究和實(shí)際應(yīng)用上都有十分光輝的進(jìn)展，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域，對線性系統(tǒng)的研究都取得了很大的成績。</p><p>　　線性科學(xué)的長期發(fā)展，也形成了一種扭曲的認(rèn)識或“科學(xué)思想”，認(rèn)為線性系統(tǒng)才是客觀世界中的常規(guī)現(xiàn)象和本質(zhì)特征，才有普遍規(guī)律，才能建立一般原理和普適方法；而非線性系統(tǒng)只是

4、例外的病態(tài)現(xiàn)象和非本質(zhì)特征，沒有普遍的規(guī)律，只能作為對線性系統(tǒng)的擾動或采取特殊的方法做個別處理。由此得出結(jié)論說，線性系統(tǒng)才是科學(xué)探索的基本對象，線性問題才存在理論體系；所以經(jīng)典科學(xué)的長期發(fā)展，都是封閉在線性現(xiàn)象的圈子里進(jìn)行的。線性與非線性物理現(xiàn)象有著質(zhì)的差異和不同的特征。從結(jié)構(gòu)上看，線性系統(tǒng)的基本特征是可疊加性或可還原性，部分之和等于整體，幾個因素對系統(tǒng)聯(lián)合作用的總效應(yīng)，等于各個因素單獨(dú)作用效應(yīng)的加和；因而描述線性系統(tǒng)的方程遵從疊加原理

5、，即方程的不同解加起來仍然是方程的解；分割、求和、取極限等數(shù)學(xué)操作，都是處理線性問題的有效方法；非線性則指整體不等于部分之和，疊加原理失效。從運(yùn)動形式上看，線性現(xiàn)象一般表現(xiàn)為時空中的平滑運(yùn)動，可以用性能良好的函數(shù)表示，是連續(xù)的，可微的。而非線性現(xiàn)象則表現(xiàn)為從規(guī)則運(yùn)動向不規(guī)則運(yùn)動的轉(zhuǎn)化和躍變，帶有明顯的間斷性、突變性。從系統(tǒng)對擾動和參量變化的響應(yīng)來看，線性系統(tǒng)的響應(yīng)是平緩光滑的，成比例變化；而非</p><p>　

6、　在科學(xué)還處在主要以簡單關(guān)系為研究對象的階段，線性方法曾經(jīng)是十分有效的。線性關(guān)系容易思考，容易解決，可以把它一塊塊地分割開進(jìn)行考察，然后再一塊塊地拼合起來。所以線性關(guān)系讓人喜愛。而非線性問題、非線性方程往往是桀驁不馴、個性很強(qiáng)的，很難找到普遍的解決方法，只能對具體問題做具體分析，針對個別問題的特點(diǎn)采取特殊的處理方法。所以歷史上雖然有過一些解非線性方程的巧妙方法，但與大量存在的非線性問題相比，只算是鳳毛麟角；甚至人們一遇到非線性系統(tǒng)或發(fā)現(xiàn)

7、方程中的非線性項(xiàng)時，就想盡辦法回避，或加以舍棄，使之“線性化”。</p><p>　　流體動力學(xué)中描述粘性不可壓縮流體動量守恒的運(yùn)動方程、即著名的“納維-斯托克斯方程”，把流體的速度、壓力、密度和粘滯性全部聯(lián)系起來，概括了流體運(yùn)動的全部規(guī)律；只是由于它比歐拉方程多了一個二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，因而是非線性的，除了在一些特殊條件下的情況外，很難求出方程的精確解。分析這個方程的性態(tài)，“仿佛是在迷宮里行走，而迷宮墻的隔板隨你每走一

8、步而更換位置”。計(jì)算機(jī)之父馮·諾意曼（Neumann，Joha von 1903～1957）說：“這些方程的特性……在所有有關(guān)的方面同時變化，既改變它的次，又改變它的階。因此數(shù)學(xué)上的艱辛可想而知了?！雹?lt;/p><p>　　所以，非線性系統(tǒng)長期以來被冷落在科研領(lǐng)域的視野以外。當(dāng)遇到非線性系統(tǒng)時，科學(xué)家們就代之以線性近似。甚至在教科書中，也充滿了線性分析成功的內(nèi)容，“非線性”一詞大都只在書末一帶而過地提一

9、下。除了幾個可解的非線性范例之外，那里講的不過是如何把一些非線性方程約化成線性方程。這種訓(xùn)練的結(jié)果，把人們的思想禁錮在線性的陷阱里，致使到了20世紀(jì)40年代和50年代，許多科學(xué)家和工程師除此之外竟一無所知。一位著名的工程師甚至說過：“上帝不會不仁得使自然界的方程成為非線性的”。伊恩·斯圖爾特感嘆地說：“如果你斷定，只有線性方程才值得研究，那無異于自我禁錮。你的課本充滿了線性分析的成功，它的失敗埋藏得如此之深，以致連墳?zāi)苟伎床灰?/p>

10、，墳?zāi)沟拇嬖谝矝]人注意。如同18世紀(jì)篤信鐘表世界一樣，20世紀(jì)中葉則恪守線性世界。”①伊恩·斯恩爾特非常詼諧地揶揄說：“稱一般微分方程為‘非線性’方程，好比把動物學(xué)叫做‘非象類動物學(xué)’。但是你明白，我們生活在這樣一個世界里，多少世紀(jì)以來它以為現(xiàn)存的唯一動物就是大象，它設(shè)想壁腳板上的洞是幼象鑿的，它把翱翔的雄鷹當(dāng)作耳朵變翼的呆寶②，把猛虎當(dāng)做身披花紋的短鼻子大象。它的分類學(xué)家們則施行矯正</p><p>

11、　?。ǘ?fù)雜世界中的規(guī)整性的發(fā)現(xiàn)</p><p>　　1．孤波和孤子的發(fā)現(xiàn)</p><p>　　水面受到激擾后會出現(xiàn)四散的水波，但波紋很快就會消失，不可能傳到很遠(yuǎn)的地方。但在1834年8月，英國科學(xué)家、造船工程師約翰·羅素（Russell，John Scott 1808～1882）卻觀察到一個奇怪的現(xiàn)象。他在勘察愛丁堡到格拉斯哥的運(yùn)河河道時，看到一只運(yùn)行的木船搖蕩的船頭擠出高約

12、0.3米到0.5米、長約10米的一堆水來；當(dāng)船突然停下時，這堆水竟保持著它的形狀，以每小時大約13千米的速度往前傳播。10年后，在英國科學(xué)促進(jìn)協(xié)會第14屆會議上，他發(fā)表了一篇題為《論水波》①的論文，生動地描述了這個現(xiàn)象：</p><p>　　1834年秋，我看到兩匹駿馬正沿運(yùn)河拉著一只船迅速前進(jìn)。突然，船停了下來，然而被船所推動的一大團(tuán)水卻不停止。它們堆積在船頭周圍激烈地?cái)_動著，隨后形成一個滾圓、光滑又輪廓分明的

13、大水包，其高度約有1～1.5英尺，長約30英尺，以每小時大約8～9英里的速度，沿著水面向前滾動。我騎在馬上一直跟隨著它，發(fā)現(xiàn)它的大小、形狀和速度變化很緩慢，直到1～2英里后，它才在蜿蜒的河道上消失。</p><p>　　羅素認(rèn)識到，這決不是普通的水波。因?yàn)槠胀ǖ乃ㄊ怯伤娴恼駝有纬傻?，水波的一半高于水面，一半低于水面，而且在擴(kuò)展一小段距離后即行消失；而他所看到的這個水團(tuán)，卻具有光滑規(guī)整的形狀，完全在水面上移動，

14、衰減得也很緩慢。他把這團(tuán)奇特的運(yùn)動著的水堆稱為“孤立波”或“孤波”。羅素還仿照運(yùn)河的狀況建造了一個狹長的大水槽，模擬當(dāng)時的條件給水以適當(dāng)?shù)耐苿樱粡膶?shí)驗(yàn)上再現(xiàn)了在運(yùn)河上觀察到的孤波。他認(rèn)為這應(yīng)當(dāng)是流體力學(xué)方程的一個解。他批評數(shù)學(xué)家們未能從流體力學(xué)基本規(guī)律預(yù)言孤波的存在。他的這些觀點(diǎn)在科學(xué)促進(jìn)協(xié)會會議上報(bào)告后，未能說服他的同事們，爭論一直持續(xù)了幾十年。1895年，兩位年輕的荷蘭數(shù)學(xué)家科特維格（Korteweg，D.J.）和德弗里斯（de

15、vries，G.）在研究淺水中小振幅長波運(yùn)動時，考慮到可把水簡化為彈性體，具有彈性特征之外，還注意到水具有非線性特征與色散作用，這些次要特性在一定條件下會形成相干結(jié)構(gòu)。他們由此導(dǎo)出了單向運(yùn)動淺水波Kdv方程②，由方程得出的波的表面形狀與孤波的表面形狀十分相似，從而給出了一個類似于羅素孤波的解析解，孤波的存在才得到了公認(rèn)。此后這件事又被漸漸淡忘了。</p><p>　　20世紀(jì)60年代，電子計(jì)算機(jī)被廣泛應(yīng)用之后，孤

16、波才被重新記起并被命名為“孤立子”或“孤子”。電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，使得科學(xué)家們敢于去探索過去用解析方法難以處理的復(fù)雜問題。首先進(jìn)行這方面探索的是物理學(xué)家費(fèi)米和他的兩個同事。他們于1952年開始利用當(dāng)時美國用于設(shè)計(jì)氫彈的Maniac計(jì)算機(jī)，對由64個諧振子組成、振子間存在微弱非線性相互作用的系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算，試圖證明統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的“能量均分定理”。但1955年完成的研究結(jié)果表明，開始時集中在某一振子上的能量，隨著時間的進(jìn)展并不均勻地分配到其它振

17、子上，而是每經(jīng)過一段“復(fù)歸時間”后，能量又回到原來的振子上，這就是奇異的“復(fù)歸”現(xiàn)象。這個現(xiàn)象引起了一批科學(xué)家的興趣。</p><p>　　當(dāng)時由于空間物理學(xué)和受控?zé)岷思夹g(shù)研究的發(fā)展，促使了人們對等離子體物理特性的研究。這涉及到等離子體中波的問題，推進(jìn)了求解非線性方程孤波解的研究。丕林、斯克姆等人經(jīng)過一系列近似處理，發(fā)現(xiàn)費(fèi)米等人的諧振子系統(tǒng)可以看做是Kdv方程的極限情況，可以用這個方程的孤波解來解釋初始能量的“復(fù)

18、歸”現(xiàn)象。1965年，美國科學(xué)家扎布斯基（Zabusky，N.）和克魯斯卡爾（Kruskal，M.D.）等在電子計(jì)算機(jī)做數(shù)值試驗(yàn)后意外地發(fā)現(xiàn)，以不同速度運(yùn)動的兩個孤波在相互碰撞后，仍然保持各自原有的能量、動量的集中形態(tài)，其波形和速度具有極大的穩(wěn)定性，就像彈性粒子的碰撞過程一樣，所以完全可以把孤波當(dāng)作剛性粒子看待。于是他們將這種具有粒子性的孤波，即非線性方程的孤波解稱為“孤子”①。1965年以后，人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，除水波外，其它一些物質(zhì)中也

19、會出現(xiàn)孤波。在固體物理、等離子體物理、光學(xué)實(shí)驗(yàn)中，都發(fā)現(xiàn)了孤子。并且發(fā)現(xiàn)，除Kdv方程外，其它一些非線性方程，如正弦-戈登方程、非線性薛定諤方程等，也有孤子解。1967年，美國的一個研究小組GGKM在解Kdv方程時，首次發(fā)明了著名的解析方法——“逆散射變換”，并得出了Kdv方程N(yùn)個孤</p><p>　　2．復(fù)雜系統(tǒng)相干結(jié)構(gòu)的研究</p><p>　　自然界存在著大量復(fù)雜系統(tǒng)。如由大量原子

20、結(jié)合成的固體，奔騰的河流，湍動的大氣，大小不一的渦旋等。這些系統(tǒng)除了具有變化不定的運(yùn)動形態(tài)外，還具有空間上局域、時間上長壽的規(guī)整結(jié)構(gòu)。這就是由于系統(tǒng)中存在的色散與非線性兩種作用相互平衡而形成的“相干結(jié)構(gòu)”。孤子就是一種特殊的一維相干結(jié)構(gòu)。相干結(jié)構(gòu)存在于用連續(xù)介質(zhì)或流體力學(xué)方程描述的具有無窮多自由度的復(fù)雜系統(tǒng)中。相干結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性與非線性系統(tǒng)具有無窮多守恒律密切相關(guān)。很多具有孤子解的非線性演化方程，就有無窮多個守恒律，因而也有無窮多個守恒的

21、物理量。對相干結(jié)構(gòu)的形成機(jī)制和相互作用的探索，是非線性科學(xué)研究的前沿。</p><p>　　除孤子之外，各種尺度的渦旋是自然界一大類相干結(jié)構(gòu)。大者如直徑達(dá)四萬千米的木星大紅斑，小者如晶體中只有幾納米大小的電荷密度波，都是渦旋現(xiàn)象。通過計(jì)算機(jī)模擬和實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)，對木星大紅斑的形成機(jī)理的研究，已取得了重大進(jìn)展。天文學(xué)上觀察到木星的大紅斑，是在伽利略用他的望遠(yuǎn)鏡觀察木星之后不久的事情。羅伯特·胡克（Hooke，

22、Robert1635～1703）也觀察過它。這個大紅斑還被畫在梵蒂岡的畫廊里。它是一個巨大的、渦旋狀的卵圓形，就像一個不運(yùn)動、不消退的巨形風(fēng)暴一直處在木星上。長期以來，它引起了人們的各種猜測。19世紀(jì)末期，天文學(xué)家們認(rèn)為木星紅斑是由火山熔巖形成的一個卵圓形的熔巖湖；也許是一顆小星體撞擊木星簿殼造成的一個大洞。一位德國科學(xué)家認(rèn)為紅斑是木星表面正在分化出的一個衛(wèi)星的雛型。后來人們發(fā)現(xiàn)，紅斑在木星表面上有些浮動，所以在1959年有人提出，紅斑

23、是一個漂浮在木星外大氣中的一個實(shí)體，就如一枚蛋浮在水中一樣。有人認(rèn)為這可能是一個很大的氫或氦的氣泡。但是，由于紅斑的漂移距離很小，所以60年代科學(xué)家們又提出它是巨大火山口上形成的氣柱的頂端。1978年，宇宙飛船旅行者二號在太空中拍到的照片顯示，木</p><p>　　三）確定性系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象的研究</p><p>　　1．古代“渾沌”思想和牛頓的決定論</p><p&

24、gt;　　不論中國還是西方，“混沌”（chaos，又稱“渾沌”）概念古已有之。面對浩瀚無垠的宇宙和繁紛多變的自然現(xiàn)象，古人只能憑借直覺對它進(jìn)行模糊、整體的想象和猜測，逐步產(chǎn)生了混沌的概念。中國古代所說的“混沌”，一般是指天地合一、陰陽未分、氤氳渺蒙、萬物相混的那種整體狀態(tài)。它既含有錯綜復(fù)雜、混亂無序、模糊不清的意思，又有內(nèi)在地蘊(yùn)涵著同一和差異、規(guī)則和雜亂、通過演化從“元?dú)馕捶帧钡臓顟B(tài)產(chǎn)生出五光十色、多姿多彩的現(xiàn)實(shí)世界的豐富內(nèi)涵?！独献印?/p>

25、中所說“有物混成，先天地生”，其實(shí)就是混沌。漢代王充的《論衡·談天篇》說：“元?dú)馕捶?，渾沌為一”；漢代《易緯·乾鑿度》云：“混沌者，言萬物相混成而未相離”；又云：“太易者，未見氣也；太初者，氣之始也；太始者，形之始也；太素者，質(zhì)之始也；氣、形、質(zhì)具而未相離，謂之混沌”。這些論述都強(qiáng)調(diào)了混沌是宇宙初始物質(zhì)未被分化的一種無序的元?dú)饨y(tǒng)一體。戰(zhàn)國時期的偉大詩人屈原在他的《天問》中精彩地描繪了這種混沌狀態(tài)：</p>

26、<p>　　曰遂古之初，誰傳道之？上下未形，何由考之？冥昭瞢暗，誰能極之？馮翼惟象，何以識之？明明暗暗，惟時何功？陰陽三合，何本何化？……</p><p>　　這也把宇宙的初始狀態(tài)描繪為天地未形、渾渾沌沌、動蕩不定、明暗不分、陰陽滲合的形象。</p><p>　　但是，在古人看來，渾沌并不簡單地等同于混亂和無序，它是萬物混成尚未分離的狀態(tài)，它是統(tǒng)一的整體，它本身就包含著差異和

27、多樣性，是秩序和無秩序、和諧與不和諧的統(tǒng)一體。渾沌先于宇宙，渾沌孕育著宇宙，渾沌產(chǎn)生出宇宙。按照《易緯·乾鑿度》的說法，這個演化過程就是</p><p>　　太易→太初→太始→太素→混沌→天地……</p><p>　　“天地”才是現(xiàn)實(shí)的宇宙。</p><p>　　在古埃及和巴比倫的傳說里，都提出了世界起源于混沌的思想。古希臘稱“原始混沌”為“卡俄斯”，說卡

28、俄斯生于萬物之先，它生下大地（“該亞”）、地獄（“塔爾塔洛斯”）和愛情（“厄洛斯”），大地又生出天（“烏利諾斯”）和海（“蓬托斯”）。這也是說世界萬物都是從混沌中分離出來的。在《圣經(jīng)》“創(chuàng)世紀(jì)”中說，起初神創(chuàng)造了天地，大地是空虛混沌，神靈運(yùn)行于黑暗的深淵中，神說“要有光”，于是就有了光；神把光暗分開，于是就有了晨昏晝夜。這就是“創(chuàng)世”的第一天。這里借“神”的外衣所編織的動人神話，都反映了古人關(guān)于世界起源的共同思想：世界產(chǎn)生之前的自然狀態(tài)

29、是混沌，萬物借分離之力從混沌中演化出來。但是，即使古人，也力圖揭開浩闊蒼茫的宇宙的奧秘，尋找變幻莫測的大自然背后的秩序，從混沌中發(fā)現(xiàn)規(guī)則性。世界各地的古文明中，都產(chǎn)生了計(jì)算季節(jié)的精奧歷法，都出現(xiàn)了預(yù)測日月食的天文律條。</p><p>　　偉大的文藝復(fù)興運(yùn)動和哥白尼日心說的提出，激發(fā)起人們探索大自然的勇氣和信心，近代自然科學(xué)誕生了。1687年，偉大的牛頓（Newton，Isaac 1642～1727）出版了他的巨

30、著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，以機(jī)械運(yùn)動的三個基本定律和萬有引力定律為公理基礎(chǔ)，確立了一個揭示“萬物的至理”、結(jié)構(gòu)“世界的體系”的嚴(yán)整的經(jīng)典力學(xué)理論體系。這個理論簡單而精確，普適而優(yōu)美，對地面物體的各種復(fù)雜運(yùn)動和太陽系內(nèi)各個天體的長短周期運(yùn)動做出了統(tǒng)一的解釋，包括落體運(yùn)動，彈道曲線，波的傳播，光的折射，海洋潮汐，流體渦旋，行星軌道，月球歲差，彗星的行蹤，雙星的光變等等。牛頓的理論獲得了意想不到的成功，世界一下子變得秩序井然。</p&g

31、t;<p>　　以牛頓力學(xué)為旗幟的科學(xué)革命，導(dǎo)致了把宇宙看作是一個巨大的精密機(jī)械，或者說就像一架精確運(yùn)行的“鐘表機(jī)構(gòu)”。因?yàn)榕ｎD力學(xué)的核心是牛頓第二定律，它是一個二級微分方程；這個方程的解，即物體的運(yùn)動軌道，完全由兩個初始條件唯一地決定。就是說，只要知道了物體在某一時刻的運(yùn)動狀態(tài)以及作用于這個物體的外部的力，就可以準(zhǔn)確地確定這個物體以往和未來的全部運(yùn)動狀態(tài)。</p><p>　　這樣，牛頓力學(xué)必然導(dǎo)

32、致一個機(jī)械決定論的結(jié)構(gòu)，即認(rèn)為所有的自然現(xiàn)象和自然過程，都只能按照機(jī)械的必然性發(fā)生和進(jìn)行。根據(jù)物體間的相互作用和力學(xué)的基本定律，從運(yùn)動的初始條件出發(fā)，就可以巨細(xì)不遺地得出宇宙中一切物體的全部運(yùn)動狀態(tài)。這是一個數(shù)量的世界，一個可以利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算的世界。</p><p>　　對牛頓理論的最輝煌的證實(shí)，是由18世紀(jì)天體力學(xué)做出的。1705年，牛頓的摯友哈雷（Halley，Edmund1656～1742）根據(jù)他對1

33、682年一顆彗星軌道的觀測數(shù)據(jù)，運(yùn)用牛頓的天體運(yùn)動理論進(jìn)行了計(jì)算，預(yù)言它將在1758年末再次出現(xiàn)。1743年，法國科學(xué)家克雷洛（Clairault，A.C.1713～1765）同樣用牛頓的理論，計(jì)算了遙遠(yuǎn)的木星和土星的攝動作用，指出這顆彗星的出現(xiàn)要稍作推遲，它經(jīng)過近日點(diǎn)的時間在1759年4月。果然，這顆彗星在1759年的春天又映輝于夜空。這就是著名的哈雷彗星。這是人類歷史上第一次在54年前就準(zhǔn)確預(yù)言了的一次天體運(yùn)動現(xiàn)象，極大地增強(qiáng)了對以

34、牛頓理論為代表的確定性因果規(guī)律的信心。</p><p>　　對這個經(jīng)典確定論的信心，充分體現(xiàn)在1812年法國科學(xué)家拉普拉斯（Laplace，P.S.M.1749～1827）關(guān)于一個高超“智者”的設(shè)想上。他寫道：①</p><p>　　假設(shè)有一位智者，它能知道在任一給定時刻作用于自然界的所有的力以及構(gòu)成世界的一切物體的位置。假定這位智者的智慧高超到有能力對所有這些數(shù)據(jù)做出分析處理，那么它就能

35、將宇宙中最大的天體和最小的原子的運(yùn)動包容到一個公式中。對于這個智者來說，再沒有什么事物是不確定的了，過去和未來都?xì)v歷在目地呈現(xiàn)在它的面前。</p><p>　　拉普拉斯的設(shè)想實(shí)際上是提出了一個令人敬畏的命題：整個宇宙中物質(zhì)的每一個粒子在任一時刻的位置和速度，完全決定了它未來的演化；宇宙沿著唯一一條預(yù)定的軌道演變，混沌是不存在的；隨機(jī)性只是人類智力不敷使用時的搪塞之語。</p><p>　　

36、2．龐加萊關(guān)于三體問題的開創(chuàng)性研究</p><p>　　科學(xué)認(rèn)識的步伐，走出一條“之”字形路線：“混沌”讓位于“規(guī)則”——這是牛頓所建立的偉大功績；而“規(guī)則”又產(chǎn)生出新形式的“混沌”。邁出這一步伐的第一人，是偉大的法國科學(xué)家龐加萊（1854～1912）。</p><p>　　龐加萊被譽(yù)為是“一只腳站在19世紀(jì)，一只腳站在20世紀(jì)”的跨世紀(jì)天才學(xué)者，“是最后一位傳統(tǒng)科學(xué)家，也是第一位現(xiàn)代科學(xué)

37、家”。這位蓄胡須、戴眼鏡、和藹可親、不修邊幅、帶著心不在焉的糊涂外表的沉思者，卻是一位科學(xué)上的集大成者，在數(shù)學(xué)、天體力學(xué)、物理學(xué)和科學(xué)哲學(xué)等領(lǐng)域，都做出了杰出的貢獻(xiàn)。他通曉他的時代的全部數(shù)學(xué)，在每一個重要分支里都做出了富有創(chuàng)造性的工作。這使他成為世界數(shù)學(xué)界無可爭辯的領(lǐng)袖。正是這位科學(xué)巨擘，在確定論思想濃重籠罩著全部科學(xué)界的時候，卻把智慧的眼光投向早被驅(qū)趕出科學(xué)園地的混沌深淵。他是在研究天體力學(xué)，特別是“三體問題”時發(fā)現(xiàn)混沌的。1887年

38、，瑞典國王奧斯卡二世（1829～1907）懸賞2500克朗，征求天文學(xué)中一個重要問題的答案。這個問題就是“太陽系是穩(wěn)定的嗎？”其實(shí)這是牛頓本人早就提出來的一個老問題了。牛頓以當(dāng)時已觀測到的木星和土星運(yùn)動的不規(guī)則性以及彗星以極扁的軌道橫穿所有行星的公轉(zhuǎn)軌道所可能帶來的干擾作用為依據(jù)，提出了太陽系的運(yùn)動可能會陷入紊亂的擔(dān)心。此后不少科學(xué)家都對這個問題進(jìn)行過探索。直到1784年，拉普拉斯根據(jù)萬有引力理論證明，太陽系是一個完善的自行調(diào)節(jié)的機(jī)械機(jī)

39、構(gòu)，</p><p>　　龐加萊自然向奧斯卡國王的難題發(fā)起了進(jìn)攻。但是這個問題是太困難了，它涉及到了怎樣研究復(fù)雜動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性這個深刻的問題。連龐加萊這樣的天才學(xué)者，也未能徹底攻克它。但是，他卻為了做這一工作而創(chuàng)立了一個新的數(shù)學(xué)分支——拓?fù)鋵W(xué)，并大大推進(jìn)了人們對這個歷史難題的認(rèn)識。他因此獲得了這項(xiàng)獎金。</p><p>　　在太陽系中，包含著十多個比月球大的巨大天體，這是造成解題困難的根

40、本原因。如果太陽系僅僅由太陽和地球組成，這就是一個“二體系統(tǒng)”，問題則很簡單，牛頓早已完全解決了它們的運(yùn)動問題。它們的運(yùn)動是簡單而規(guī)則的周期運(yùn)動，太陽和地球?qū)@一個公共質(zhì)心、以一年為周期永遠(yuǎn)運(yùn)轉(zhuǎn)下去；或者稍做簡化地說，地球?qū)⒁蕴枮橐粋€焦點(diǎn)，周而復(fù)始地沿橢圓軌道繞轉(zhuǎn)。然而，當(dāng)增加一個相當(dāng)大的天體后，這就成了一個“三體系統(tǒng)”，它們的運(yùn)動問題就大大復(fù)雜化了，要徹底解決這個問題，幾乎是不可能的。對短時間內(nèi)的運(yùn)動狀態(tài)，可以用數(shù)值計(jì)算的方法來確

41、定；但是由于根據(jù)牛頓力學(xué)所列出的方程組不能解析地求解，所以系統(tǒng)長時間的運(yùn)動狀態(tài)是無法確定的。</p><p>　　為了減少解決“三體問題”的難度，龐加萊著眼于美國數(shù)學(xué)家希爾（Hill，George William 1838～1914）提出的一個極為簡化的三體系統(tǒng)，即“希爾約化模型”。三體中有一個物體的質(zhì)量非常小，它對其它兩個天體不產(chǎn)生引力作用，就像由海王星、冥王星和一粒星際塵埃組成的一個宇宙體系一樣。這兩顆行星就

42、像一個“二體系統(tǒng)”一樣繞著它們的公共質(zhì)心做周期運(yùn)動；但這顆塵埃卻受到兩顆行星萬有引力的作用，在兩顆行星共同形成的旋轉(zhuǎn)著的引力場中做復(fù)雜的軌道運(yùn)動。這種運(yùn)動不可能是周期的，也不可能是簡單的，看上去簡直是亂糟糟一團(tuán)（圖2）。</p><p>　　為了用幾何方法直觀地描繪運(yùn)動的情況，可以以描述系統(tǒng)狀態(tài)的狀態(tài)參量為坐標(biāo)張成的“相空間”來描繪運(yùn)動過程。某一時刻系統(tǒng)的狀態(tài)在相空間里用一個點(diǎn)表示；系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的變化，即系統(tǒng)運(yùn)

43、動方程的解，對應(yīng)于相空間的一條曲線，稱為“相軌道”；如果物體做周期運(yùn)動，它的相軌道就是一條閉合曲線；如果曲線不閉合，則表示物體的運(yùn)動是非周期的。但是，為了確定系統(tǒng)的運(yùn)動是不是周期性的，與其自始至終地跟蹤系統(tǒng)運(yùn)動的全過程，不如只觀察系統(tǒng)的相軌道是否總會通過同一相點(diǎn)。設(shè)想通過相空間中一點(diǎn)A（初始狀態(tài)）作一個橫截面（圖3），如果系統(tǒng)的相軌道總在同一點(diǎn)A穿過截面，那么系統(tǒng)的運(yùn)動就是周期性圖3用龐加萊截面考察運(yùn)動情況：的；相反，如果系統(tǒng)的相曲線1

44、表示周期運(yùn)動軌道每次都在不同點(diǎn)穿曲線2為非周期運(yùn)動過這個截面，它的運(yùn)動就是非周期的。這個截面現(xiàn)被稱為“龐加萊截面”，它把對連續(xù)曲線（相軌道）的研究簡化為對點(diǎn)的集合的研究，相當(dāng)于對系統(tǒng)的全部運(yùn)動過程進(jìn)行不連續(xù)的抽樣檢驗(yàn)，從而簡化了檢測工作。</p><p>　　龐加萊把他的截面方法應(yīng)用于“希爾約化模型”的研究，以觀察塵埃粒子的運(yùn)動。龐加萊震驚了，他發(fā)現(xiàn)塵粒的運(yùn)動如此復(fù)雜而且違反直覺。它的軌線多次穿過截面所形成的交點(diǎn)

45、竟連綴成無窮多交點(diǎn)的“柵欄”（圖4，現(xiàn)稱為“同宿柵欄”）。他寫道：</p><p>　　當(dāng)人們試圖描畫由這兩條曲線和它們的無窮次相交（每一次相交都對應(yīng)于一個雙漸近解）構(gòu)成的圖形時，這些相交形成一種格子、絲網(wǎng)或無限密集的網(wǎng)柵結(jié)構(gòu)；這兩條曲線從不會自相交叉，但為了無窮多次穿過絲網(wǎng)的網(wǎng)節(jié)，它們必須以一種很復(fù)雜的方式折疊回自身之上。這一圖形的復(fù)雜性令人震驚，我甚至不想把它畫出來。沒有什么能給我們一個三體問題復(fù)雜性的更好的

46、概念了①。</p><p>　　從截面上一點(diǎn)出發(fā)的系統(tǒng)，經(jīng)過一個過程后，當(dāng)它再穿過截面時，卻在另一點(diǎn)交于龐加萊截面，簡直無法預(yù)言它下一次將從哪一點(diǎn)穿過截面；實(shí)際上系統(tǒng)是以無規(guī)的點(diǎn)的序列頻頻穿過龐加萊截面的。這就是混沌，龐加萊在“三體問題”中發(fā)現(xiàn)了混沌！這一發(fā)現(xiàn)表明，即使在“三體系統(tǒng)”，甚至是極為簡化的“希爾約化模型”中，牛頓力學(xué)的確定性原則也受到了挑戰(zhàn)，動力系統(tǒng)可能出現(xiàn)極其驚人的復(fù)雜行為。并不像人們原來認(rèn)為的那樣

47、，動力系統(tǒng)從確定性的條件出發(fā)都可以得出確定的、可預(yù)見的結(jié)果；確定性動力學(xué)方程的某些解，出現(xiàn)了不可預(yù)見性，即走向混沌。</p><p>　　其實(shí)，在龐加萊動手解決奧斯卡國王的難題的同一年，即1887年，數(shù)學(xué)家布倫斯（Bruns，H.）就已證明，三體問題的9個自由度18個二階微分方程，只有10個運(yùn)動積分，即3個動量積分，3個角動量積分，3個關(guān)于質(zhì)心運(yùn)動的積分和1個能量積分。1890年，龐加萊將布倫斯的結(jié)論推廣到有攝動

48、參數(shù)的情況；1892年在他的三卷本《天體力學(xué)新方法》的第一卷第四章中，他對這個定理做出了一般表述：在通常的保守問題中，經(jīng)典力學(xué)正則方程除了滿足能量積分外，不滿足其它任何解析、一致的積分。龐加萊的一般性結(jié)論，實(shí)質(zhì)上是指出，可積系統(tǒng)是極少的；許多行為很規(guī)則的系統(tǒng)，當(dāng)受到擾動后，可能出現(xiàn)不連續(xù)性，其參數(shù)或初始條件的微小變化，就可能引起復(fù)雜的、甚或是性質(zhì)上的變化。</p><p>　　龐加萊的工作提出了經(jīng)典力學(xué)的確定性原

49、則的適用限度的重大問題，留下了極富啟發(fā)性的論斷和猜想。不過，混沌問題是太復(fù)雜了，龐加萊的時代還不具備揭示和描述混沌現(xiàn)象的足夠的知識儲備和數(shù)學(xué)工具。雖然憑著他超人的幾何直覺對混沌的復(fù)雜性有所洞察，但是他并不真的是“不想”畫出他所發(fā)現(xiàn)的“同宿柵欄”，而是“無法”把它畫出來。這是只有用電子計(jì)算機(jī)技術(shù)才能處理的復(fù)雜幾何圖象。龐加萊的思想是太超前于他的時代了，所以他的發(fā)現(xiàn)在半個多世紀(jì)里并未受到科學(xué)界的重視；牛頓力學(xué)確定性的帷幕，仍然厚厚地遮蔽著混

50、沌廣闊富饒的研究領(lǐng)域。</p><p>　　3．伯克霍夫的工作與KAM定理</p><p>　　美國數(shù)學(xué)家伯克霍夫（Birkh off，George 1884～1944）是20世紀(jì)初少數(shù)幾個認(rèn)識到龐加萊動力系統(tǒng)研究工作的重要性的人物之一，他繼承和發(fā)展了龐加萊的工作。</p><p>　　伯克霍夫把龐加萊截面方法用于探索哈密頓系統(tǒng)的一般行為。他發(fā)現(xiàn)微分方程的性質(zhì)取決于

51、正則級數(shù)的收斂性。如果正則級數(shù)是收斂的，則微分方程的解位于N維不變環(huán)面上。但實(shí)際上級數(shù)的收斂、發(fā)散與否取決于振幅的大小。當(dāng)考慮非線性作用時，橢圓不動點(diǎn)周圍的不變環(huán)面有些遭到破壞，有些繼續(xù)存在但有點(diǎn)變形。</p><p>　　1932年，伯克霍夫證明，對應(yīng)于不變環(huán)面的消失，存在不穩(wěn)定區(qū)域，它可以被一條扭曲映射下的不變曲線所包攏，而區(qū)域內(nèi)并無環(huán)繞原點(diǎn)的不變曲線。他實(shí)際上已經(jīng)證明，任意接近外邊界的點(diǎn)，在映射作用下可以任

52、意接近內(nèi)邊界，反之亦然。在研究不穩(wěn)定區(qū)的結(jié)構(gòu)時，伯克霍夫讓一個收縮性的扭曲映射作用于兩條不變曲線之間的不穩(wěn)定區(qū)域，結(jié)果不穩(wěn)定區(qū)域被映射到一個更小的子區(qū)域中；映射的迭代最終把原區(qū)域變成了一個面積為零、結(jié)構(gòu)極其復(fù)雜的極限集合，位于原區(qū)域中的點(diǎn)的軌跡都收斂到這個集合中去了。</p><p>　　伯克霍夫?qū)嶋H上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了“混沌行為”和現(xiàn)在所說的“奇怪吸引子”的實(shí)例，他當(dāng)時稱之為“奇特曲線”。更值得提出的是，他已經(jīng)意識到這

53、種行為是動力系統(tǒng)的通有行為。除伯克霍夫等極少數(shù)人之外，幾乎沒有人沿著龐加萊的道路前進(jìn)。直到20世紀(jì)60年代以后，對動力系統(tǒng)的研究才有了長足的進(jìn)展。</p><p>　　1960年前后，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫果洛夫（Kolmogorov，A.N.）、阿諾德（Arnold，V.I.）和莫塞爾（Moser，J.）提出并證明了以他們的姓氏的字頭命名的KAM定理。這個定理的基本思想是1954年柯爾莫果洛夫在阿姆斯特丹舉行的國際

54、數(shù)學(xué)會議上宣讀的《在具有小改變量的哈密頓函數(shù)中條件周期運(yùn)動的保持性》短文中提出的。后來他的學(xué)生阿諾德做出了嚴(yán)格的證明，莫塞爾又推廣了這些結(jié)果。</p><p>　　按照分析力學(xué)方法，N個自由度系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)是H=H（p1，p2……pN；q1，q2……qN），系統(tǒng)的運(yùn)動由哈密頓正則方程</p><p>　　確定。如果能夠找到一系列正則變換，從廣義動量p1，p2……pN和廣義坐標(biāo)q1，q2…

55、…qN變到另一套作用-角度變量J1，J2……JN和θ1，θ2……θN，使得利用新變量表示的哈密頓函數(shù)只依賴于前一半變量J1，J2……JN，而與θ1，θ2……θN無關(guān)，則這個力學(xué)系統(tǒng)就是完全可解的，即為一可積系統(tǒng)。因?yàn)檫@意味著這個系統(tǒng)的行為可化簡，歸約為N維環(huán)面上的條件周期運(yùn)動。相反，如果找不到一種變換，使得哈密頓方程只包含作用變量，則系統(tǒng)是不可積的。實(shí)際上，對于多數(shù)保守系統(tǒng)，是無法找到這種正則變換的。</p><p&

56、gt;　　KAM定理是關(guān)于近可積系統(tǒng)的一個重要的、一般性結(jié)論，有十分重要的意義。假定系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)分為兩部分</p><p>　　其中H0部分是可積的，V是使H變得不可積的擾動，只要ε很小，這就是一個弱不可積系統(tǒng)。KAM定理斷言，在擾動較小，V足夠光滑，離開共振條件一定距離三個條件共同成立下，對于系統(tǒng)的大多數(shù)初始條件，弱不可積系統(tǒng)的運(yùn)動圖象與可積系統(tǒng)基本相同?？煞e系統(tǒng)的運(yùn)動限制在由N個運(yùn)動不變量決定的N維環(huán)面上

57、，而弱不可積系統(tǒng)的絕大多數(shù)軌道仍然限制在稍有變形的N維環(huán)面上，這些環(huán)面并不消失，只有輕微的變形，稱為不變環(huán)面。不過，只要有非零的擾動，總會有一些軌道逃離不變環(huán)面，出現(xiàn)不穩(wěn)定、隨機(jī)性的特征；但只要滿足KAM定理的條件，這些迷走軌線是零測度的，不代表系統(tǒng)的典型行為。</p><p>　　大量的計(jì)算機(jī)數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，破壞KAM定理的任何一個條件，都會促使迷走軌線增多，使運(yùn)動的不規(guī)則性和隨機(jī)性增大，最終導(dǎo)致混沌運(yùn)動。當(dāng)然，

58、這運(yùn)動所遵循的仍然是決定性的牛頓力學(xué)方程式。所以，KAM定理以一個限制性原理的形式，從反面泄露了有關(guān)牛頓力學(xué)面目的真實(shí)信息。它暴露出，確定性的動力系統(tǒng)，只要精確地從同一點(diǎn)出發(fā)，其運(yùn)動就是一條確定的軌道；但是只要初始條件有無論多么微小的變化，其后的運(yùn)動就會變得無序和混亂，就如同擲骰子一樣，是隨機(jī)和不可預(yù)測的。這就是牛頓力學(xué)的內(nèi)稟隨機(jī)性。</p><p>　　4．洛侖茲關(guān)于氣象預(yù)報(bào)的研究</p><

59、;p>　　混沌研究上的一個重大突破，是在天氣預(yù)報(bào)問題的探索中取得的。</p><p>　　1922年，英國物理學(xué)家和心理學(xué)家理查孫（Richardson，LewisFry 1881～1953）發(fā)表了一篇題為《用數(shù)值方法進(jìn)行天氣預(yù)報(bào)》的文章。在文章的末尾，他提出了一個異想天開的幻想：在一個大建筑內(nèi)，集聚一大批長于計(jì)算的工作者，在統(tǒng)一指揮下相互協(xié)調(diào)地對影響天氣變化的各種數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。他估計(jì)，為了使天氣預(yù)報(bào)和實(shí)際

60、的天氣變化達(dá)到同步，大約需要64000個熟練的計(jì)算者。他設(shè)想，在遙遠(yuǎn)的將來，有朝一日或許有可能發(fā)展出比天氣變化還要快的計(jì)算手段，從而使天氣預(yù)報(bào)夢想成真。真是先知之見，不到30年，電子計(jì)算機(jī)就出現(xiàn)了，并且成功地用于天氣預(yù)報(bào)。在牛頓力學(xué)確定論思想的影響下，當(dāng)時科學(xué)家們對天氣預(yù)報(bào)普遍持有這樣樂觀的看法：氣象系統(tǒng)雖然復(fù)雜異常，但仍然是遵循牛頓定律的確定性過程。在有了電子計(jì)算機(jī)這種強(qiáng)有力的工具之后，只要充分利用遍布全球的氣象站、氣象船、探空氣球和

61、氣象衛(wèi)星，把觀測的氣象數(shù)據(jù)（氣壓、溫度、濕度、風(fēng)力等）都及時準(zhǔn)確地收集起來，根據(jù)大氣的運(yùn)動方程進(jìn)行計(jì)算，天氣變化是可以做出精確預(yù)報(bào)的。既然天文學(xué)家能夠根據(jù)牛頓定律，用鉛筆和計(jì)算尺計(jì)算出了太陽系的未來，預(yù)見了哈雷彗星的出沒以及海王星和冥王星的</p><p>　　洛侖茲有良好的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，他本想成為一個數(shù)學(xué)家，只是由于第二次世界大戰(zhàn)的爆發(fā)，他成了空軍氣象預(yù)報(bào)員，使他成了一位氣象學(xué)家。比起龐加萊來，洛侖茲的條件是太優(yōu)越

62、了。他擁有一臺“皇家馬可比”計(jì)算機(jī)，它是用真空管組成的，雖然運(yùn)算速度還不算快，但在當(dāng)時已經(jīng)是很了不起的了。洛侖茲把氣候問題簡化又簡化，提煉出影響氣候變化的少而又少的一些主要因素；然后運(yùn)用牛頓的運(yùn)動定律，列出了12個方程。這些方程分別表示著溫度與壓力、壓力與風(fēng)速之間的關(guān)系等等。他相信，運(yùn)動定律為數(shù)學(xué)確定性架起了橋梁，12個聯(lián)立方程可以用數(shù)值計(jì)算方法對氣象的變化做出模擬。開始時，洛侖茲讓機(jī)器每分鐘在打印機(jī)上打出一串?dāng)?shù)字，表示出一天的氣象，包

63、括氣壓的升降，風(fēng)向的變化，氣溫的起伏等。洛侖茲把這些數(shù)據(jù)與他心目中的預(yù)測相對比，感覺到某種熟悉的東西一次一次地重復(fù)出現(xiàn)。氣溫上升又下降，風(fēng)向向北又向南，氣壓升高又降低；如果一條曲線由高向低變化而中間沒有隆起的部分，隨后就會出現(xiàn)兩個隆起部分。但是他又發(fā)現(xiàn)，這種重復(fù)決不是精確的，一次與一次絕不完全吻合。這個結(jié)果已經(jīng)開始向洛侖茲透露著某種奧秘了。</p><p>　　1961年冬季的一天，洛侖茲用他的計(jì)算機(jī)算出了一長段

64、數(shù)據(jù)，并得出了一個天氣變化的系列。為了對運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行核對，又為了節(jié)省點(diǎn)時間，他把前一次計(jì)算的一半處得到的數(shù)據(jù)作為新的初始值輸入計(jì)算機(jī)。然后他出去喝了杯咖啡。一個小時后當(dāng)他又回到計(jì)算機(jī)旁的時候，一個意想不到的事情使他目瞪口呆了，新一輪計(jì)算數(shù)據(jù)與上一輪的數(shù)據(jù)相差如此之大，僅僅表示幾個月的兩組氣候數(shù)據(jù)逐漸分道揚(yáng)鑣，最后竟變得毫無相近之處，簡直就是兩種類型的氣候了。開始時洛侖茲曾經(jīng)想到可能是他的計(jì)算機(jī)出了故障，但很快他就悟出了真相：機(jī)器沒有毛病

65、，問題出在他輸入的數(shù)字中。他的計(jì)算機(jī)的存儲器里存有6位小數(shù)，0.506127。他為了在打印時省些地方只打出了3位0.506。洛侖茲原本認(rèn)為舍棄這只有千分之一大小的后幾位數(shù)無關(guān)緊要；但結(jié)果卻表明，小小的誤差卻帶來了巨大的“災(zāi)難”。</p><p>　　為了仔細(xì)看一下初始狀態(tài)原本十分相同的氣候流程，如何越來相差越大，洛侖茲把兩次輸出的變化曲線打印在兩張透明片上，然后把它們重疊在一起（圖5）。一下子就清楚地看出來，開始

66、時的兩個隆峰還很好地相重疊，但到第三個和第四個隆峰時，就完全亂套了。這個結(jié)果從傳統(tǒng)觀點(diǎn)看來是不可理解的。</p><p>　　因?yàn)榘凑战?jīng)典決定性原則，初始數(shù)據(jù)中的小小差異只能導(dǎo)致結(jié)果的微小變化；一陣微風(fēng)不會造成大范圍的氣象變化。但是洛侖茲是從事天氣預(yù)報(bào)的，他對長期天氣預(yù)報(bào)的失敗是有深切感受的。這個離奇古怪的計(jì)算結(jié)果與他的經(jīng)驗(yàn)和直覺是完全相符的。所以他深信他的這些方程組和計(jì)算結(jié)果揭露了氣象變化的真實(shí)性質(zhì)。他終于做出

67、斷言：長期天氣預(yù)報(bào)是根本不可能的！他甚至有些慶幸地說：“當(dāng)然，我們實(shí)在也不曾做準(zhǔn)過氣象的長期預(yù)報(bào)，而現(xiàn)在好了，我們找到了開脫！”“對于普通人來說，看到我們可以在幾個月前就很準(zhǔn)地預(yù)報(bào)了潮汐，便會問：為什么對大氣就不能準(zhǔn)確預(yù)報(bào)呢？確實(shí)，大氣雖然是一個與潮汐不同的系統(tǒng)，但支配它們的定律的復(fù)雜程度卻是差不多的。但我認(rèn)為，任何表現(xiàn)出非周期性態(tài)的物理系統(tǒng)，都是不可預(yù)測的?！雹偈聦?shí)正是這樣，即使在今天，世界上最好的天氣預(yù)報(bào)也只能一天可靠，超過兩三天，

68、就只是猜測。</p><p>　　洛侖茲是個穿著氣象學(xué)家外衣的數(shù)學(xué)家，他很快看出了氣候變化不能精確重演與長期天氣預(yù)報(bào)的不可能二者之間存在著一種必然的聯(lián)系。用數(shù)學(xué)語言來說，就是“非周期性”與“不可預(yù)見性”之間的聯(lián)系。氣象系統(tǒng)是不斷重復(fù)但又從未真正重復(fù)的，這叫做“非周期系統(tǒng)”。如果氣候的變化是嚴(yán)格的周期性的，即某一時刻各個地方的壓力、溫度、濕度、每一片云、每一股風(fēng)都和此前某一時刻的情況完全一樣，那么這一時刻以后的天氣

69、變化也將和此前那一時刻以后的天氣變化完全相同，于是天氣就會循環(huán)往復(fù)地永遠(yuǎn)按照這個變化順序反復(fù)重現(xiàn)，精確的天氣預(yù)報(bào)也就成了平淡無奇的事情了。</p><p>　　基于這種認(rèn)識，洛侖茲就把氣候問題丟在一邊，專心致力于在更簡單的系統(tǒng)中去尋找產(chǎn)生復(fù)雜行為的模式。他抓住了影響氣候變化的重要過程，即大氣的對流。受熱的氣體或液體會上升，這種運(yùn)動就是對流。烈日烘烤著大地，使地面附近的空氣受熱而上升；升到高空的空氣放熱變冷后，又會

70、從側(cè)面下降。雷雨云就是通過空氣的對流形成的。如果對流是平穩(wěn)的，氣流就以恒定的方式漸漸上升；如果對流是不平穩(wěn)的，大氣的運(yùn)動就復(fù)雜化了，出現(xiàn)某種非周期性態(tài)。這與天氣變化有某種類似。于是，洛侖茲就從表征著流體運(yùn)動過程的納維-斯托克斯方程組出發(fā)，經(jīng)過無量綱化處理并做傅立葉展開，取頭一、二項(xiàng)，得到傅立葉系數(shù)滿足的一組常微分方程。與大氣的實(shí)際對流運(yùn)動相比，這組方程是大為簡化了，它只是抽象地刻劃了大氣真實(shí)運(yùn)動的基本特點(diǎn)，既考慮了流動的速度，又考慮了熱

71、的傳輸，與真實(shí)的大氣運(yùn)動是大體類似的。他建立的三個方程是dx/dt=10(y-x)</p><p>　　dy/dt=28x- y-xz</p><p>　　dz/dt=(8/3)z+xy</p><p>　　x、y、z是三個主要變量，t是時間，d/dt是對時間的變化率；常數(shù)28對應(yīng)于不平穩(wěn)對流剛開始后系統(tǒng)的狀態(tài)。這就是1963年洛侖茲發(fā)表在《氣象科學(xué)雜志》20卷第2

72、期上的題為《確定性非周期流》中所列出的方程組。由于其中出現(xiàn)了xz、xy這些項(xiàng)，因而是非線性的，這意味著它們表示的關(guān)系不是簡單的比例關(guān)系。一般地說，非線性方程組是不可解的，洛侖茲的方程組也是不能用解析方法求解的，唯一可靠的方法就是用數(shù)值方法計(jì)算解。用初始時刻x、y、z的一組數(shù)值，計(jì)算出下一個時刻它們的數(shù)值，如此不斷地進(jìn)行下去，直到得出某一組“最后”的數(shù)值。這個方法叫做“迭代”，即反復(fù)做同樣方法的計(jì)算。用計(jì)算機(jī)進(jìn)行這種“迭代”運(yùn)算是很容易的

73、。洛侖茲把x、y、z作為坐標(biāo)畫出了一個坐標(biāo)空間，描繪了系統(tǒng)行為的相軌道，他吃驚地發(fā)現(xiàn)，畫出的圖顯示出奇妙而無窮的復(fù)雜性（圖6）。這是三維空間里的雙重繞圖，就像是有兩翼翅膀的一只蝴蝶；它意味著一種新的序，軌線被限制在某個邊界之內(nèi)，決不會越出這個邊界；但軌線決不與自身相交，在兩翼上轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去地環(huán)繞著。這表示系統(tǒng)的性態(tài)永遠(yuǎn)不會重復(fù)，是非周期性的，從這一點(diǎn)來說，它又純粹是無序的。</p><p>　　正如這篇論文的標(biāo)題所表

74、示的，從確定性的方程和確定的初始狀態(tài)（x、y、z的初始值）出發(fā)，經(jīng)過多次迭代后，卻得出了非周期性態(tài)的結(jié)果。這就是混沌！一切有關(guān)混沌的豐富內(nèi)容，都包含在這幅奇妙的畫圖中了。</p><p>　　現(xiàn)在就可以說明什么是現(xiàn)代科學(xué)意義上的“混沌”概念了。1986年在倫敦召開的一個關(guān)于混沌問題的國際會議上，提出了下述的定義：“數(shù)學(xué)上指在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的隨機(jī)性態(tài)”。傳統(tǒng)觀點(diǎn)認(rèn)為，確定性系統(tǒng)的性態(tài)受精確的規(guī)則支配，其行為是確定

75、的，可以預(yù)言的；隨機(jī)系統(tǒng)的性態(tài)是不規(guī)則的，由偶然性支配，“隨機(jī)”就是“無規(guī)”。這樣看來，“混沌”就是“完全由定律支配的無定律性態(tài)”，這真是一個大自然的“悖論”。</p><p>　　5．“蝴蝶效應(yīng)”和“斯梅爾馬蹄”</p><p>　　無規(guī)性的源泉在于初始條件的選擇。一個動力系統(tǒng)的行為或運(yùn)動軌道決定于兩個因素。一個是系統(tǒng)的運(yùn)動演化所遵從的規(guī)律，如牛頓定律；一個是系統(tǒng)的初始狀態(tài)，即初始條件。

76、經(jīng)典力學(xué)指出，一個確定性系統(tǒng)在給定了運(yùn)動方程后，它的軌道就唯一地取決于初始條件，一組初始值只有一條軌道，這就是系統(tǒng)行為對初值的依賴性。</p><p>　　但是，任何測量都是有誤差的，所以任何時候都不可能絕對精確地測定初始值。實(shí)驗(yàn)上給出的初值都只能是近似的。這個誤差對系統(tǒng)的行為會不會有嚴(yán)重影響呢？經(jīng)典力學(xué)斷言，系統(tǒng)的行為或運(yùn)動軌道對初值的依賴是不敏感的，知道了一個系統(tǒng)近似的初始條件，系統(tǒng)的行為就能夠近似地計(jì)算出來

77、。這就是說，從兩組相接近的初值描繪出的兩條軌道，會始終相互接近地在相空間里偕游并行，永遠(yuǎn)不會分道揚(yáng)鑣，泛泛的小影響不會積累起來形成一種大的效應(yīng)。</p><p>　　混沌研究卻粉碎了傳統(tǒng)科學(xué)中這種對近似性和運(yùn)動的收斂性的信仰。處在混沌狀態(tài)的系統(tǒng)，或者更一般地說對于一個非線性系統(tǒng)，運(yùn)動軌道將敏感地依賴于初始條件。洛侖茲已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，從兩組極相鄰近的初始值出發(fā)的兩條軌道，開始時似乎沒有明顯的偏離，但經(jīng)過足夠長的時間后，就

78、會呈現(xiàn)出顯著的差異來（圖5）。這就是說，初值的微小差異，在運(yùn)動過程中會逐漸被放大，終會導(dǎo)致運(yùn)動軌道的巨大偏差，以至于這種偏差要多大就有多大。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，一種變化過程可能有一個臨界點(diǎn)，在這一點(diǎn)上，一個微小的擾動可能被放大成一個重大的變化。而在混沌中，這種點(diǎn)無處不在，確定性系統(tǒng)初值的微小差異導(dǎo)致了系統(tǒng)整體的混沌后果。</p><p>　　小的誤差竟能帶來巨大的災(zāi)難性后果，這一點(diǎn)早在1908年就被目光敏銳的龐加萊洞察

79、到了。他在他的名著《科學(xué)與方法》中寫道：</p><p>　　我們覺察不到的極其輕微的原因決定著我們不能不看到的顯著結(jié)果，于是我們說這個結(jié)果是由于偶然性。如果我們可以正確地了解自然定律以及宇宙在初始時刻的狀態(tài)，那么我們就能夠正確地預(yù)言這個宇宙在后繼時刻的狀態(tài)。不過，即使自然定律對我們已無秘密可言，我們也只能近似地知道初始狀態(tài)。如果情況容許我們以同樣的近似度預(yù)見后繼的狀態(tài)，這就是我們所要求的一切，那我們便說該現(xiàn)象被

80、預(yù)言到了，它受規(guī)律支配。但是，情況并非總是如此；可以發(fā)生這樣的情況：初始條件的微小差別在最后的現(xiàn)象中產(chǎn)生了極大的差別；前者的微小誤差促成了后者的巨大誤差。預(yù)言變得不可能了，我們有的是偶然發(fā)生的現(xiàn)象①。這一段幾乎是百年前的話，不正是我們近幾十年才揭開的混沌來源之謎嗎？</p><p>　　洛侖茲從他關(guān)于長期天氣預(yù)報(bào)的研究中悟出的正是這個道理。對于任何小塊地區(qū)氣候變化的誤測，都會導(dǎo)致全球天氣預(yù)報(bào)的迅速失真。不論氣象觀

81、測站的網(wǎng)點(diǎn)如何密集，都不可能覆蓋整個地球和從地面到高空的每一高度。在一尺之遙的空間范圍內(nèi)的一點(diǎn)氣象漲落，都可能迅速波及到一尺之外、十尺之外、百尺之外的空間，小誤差通過一系列湍流式的鏈鎖反應(yīng)，集結(jié)起來而成十倍、百倍、千倍地膨脹擴(kuò)大，終于使天氣預(yù)報(bào)變成一派胡言，在跨洋隔洲的地區(qū)形成山雨欲來風(fēng)滿樓的景象。洛侖茲非常形象地比喻說：巴西亞馬孫河叢林里一只蝴蝶扇動了幾下翅膀，三個月后在美國的得克薩斯州引起了一場龍卷風(fēng)。人們把洛侖茲的比喻戲稱為“蝴蝶

82、效應(yīng)”。這個看法當(dāng)時并不為氣象學(xué)家們所接受。據(jù)說洛侖茲把“蝴蝶效應(yīng)”說給他的一個朋友以說明長期天氣預(yù)報(bào)不可能時，他的朋友回答說“預(yù)報(bào)不會成為問題”，“現(xiàn)在是要搞氣象控制”。洛侖茲卻不這樣看，他認(rèn)為，人工改變氣候當(dāng)然是可能的；但是當(dāng)你這樣做時，你就無法預(yù)測它會產(chǎn)生什么后果。簡單的確定性系統(tǒng)如何會導(dǎo)致長期行為對初值的敏感依賴性呢？理解這一點(diǎn)的關(guān)鍵是要理解混沌的幾何特性，即由系統(tǒng)內(nèi)在的非線性相互作用在系統(tǒng)演化過程中所造成的“伸縮”與“<

83、/p><p>　　斯梅爾是一個杰出的拓?fù)鋵W(xué)家，本來在多維拓?fù)鋵W(xué)的一些最奇特的問題上已經(jīng)卓有成就。1958年，他開始對動力系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行深入研究，并發(fā)表了一篇過于樂觀的論文。他在這篇論文里提出了一個錯誤的猜想。他用極為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言論證說，一切動力系統(tǒng)最終都將進(jìn)入一個并不十分奇異的行為；或者說，典型的動力學(xué)行為是定態(tài)的或周期的。雖然，一個動力系統(tǒng)可能會出現(xiàn)離奇古怪的性態(tài)，但斯梅爾認(rèn)為這種性態(tài)不會是穩(wěn)定的。后來斯梅爾

84、曾回憶說：“我的過分樂觀引導(dǎo)我在那篇論文里認(rèn)為，幾乎所有常微分方程系統(tǒng)都是這樣一些（結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的）系統(tǒng)！”①他說如果他多少了解些龐加萊、伯克霍夫等人的文獻(xiàn)，他就不會有那種愚蠢的思想。</p><p>　　1959年圣誕節(jié)后，斯梅爾一家正在巴西首都里約熱內(nèi)盧暫住，他接到了他的朋友萊文松（Levinson，N.）的一封信，指出他的猜想是錯誤的，并告訴他自己關(guān)于受迫范德坡方程的研究已經(jīng)提供了一個反例。早在本世紀(jì)20年代，

85、德國物理學(xué)家范德坡（Van der Pol，B.）就已開始研究非線性電路的弛豫振蕩問題，并得出了以他的名字命名的范德坡方程和受迫范德坡方程。1927年，范德坡又和范德馬克（Van der Mark，J.）發(fā)現(xiàn)了著名的“分頻”現(xiàn)象。萊文松用這個反例說明，一個系統(tǒng)既有混沌又有穩(wěn)定性，混沌與穩(wěn)定性共存；系統(tǒng)的這種奇特性質(zhì)并不為小的擾動所破壞。</p><p>　　當(dāng)斯梅爾仔細(xì)研究了萊文松的文章，最后確信萊文松是對的時，

86、他就把自己的猜想換成了另一個問題：典型的動力行為是什么？斯梅爾多年來是在拓?fù)鋵W(xué)中進(jìn)行探索的，他利用相空間對范德坡振子的全程可能性進(jìn)行探索。他注意的并不只是單條的軌線，而是全空間的性態(tài)；他的直覺由這系統(tǒng)的物理本質(zhì)躍進(jìn)到一種新型的幾何本質(zhì)。他思考的是形狀在相空間中的拓?fù)渥儞Q，例如拉伸或壓縮變換。這些變換有明確的物理意義。如系統(tǒng)中的耗散，由于摩擦而喪失能量，意味著系統(tǒng)在相空間中的形狀將會收縮，甚至可能最終完全靜止下來收縮到一點(diǎn)。為了反映范德坡

87、振子的全部復(fù)雜運(yùn)動性態(tài)，他想到相空間必須經(jīng)歷一種新的變換組合。這使他從觀察振子的總體行為提出了一種幾何模型——“斯梅爾馬蹄”。</p><p>　　斯梅爾馬蹄的道理很簡單。取一個正方形，把它拉伸為瘦長的矩形，再把它對折彎疊成馬蹄形（圖7）。然后想象把這馬蹄嵌入一個新的矩形中，再重復(fù)相同的變換：擠壓、折曲、拉伸……</p><p>　　這實(shí)際上就像廚師揉面團(tuán)的操作過程：首先是伸縮變換，使面團(tuán)

88、在一個方向搟平壓薄，同時在另一個方向上伸長；然后是折疊變換，將拉長的兩塊面對折疊置。這種操作反復(fù)進(jìn)行下去?？梢栽O(shè)想，開始時先在面團(tuán)上擦一層紅顏色，那么在廚師揉面過程中，紅色層將被拉長、變薄、交疊起來。經(jīng)過多次反復(fù)操作后，原來相鄰近的兩個紅色粒子會越來越遠(yuǎn)地分離開去，原來不相鄰近的兩個紅色粒子卻可能越來越靠近了。</p><p>　　動力系統(tǒng)正是通過這兩種變換而形成渾沌軌道幾何圖象的復(fù)雜性的。伸縮變換使相鄰狀態(tài)不斷

89、分離而造成軌道發(fā)散。但僅有伸縮變換還不足以擾亂相空間造成復(fù)雜性，還必須通過折疊變換。折疊是一種最強(qiáng)烈的非線性作用。伸縮和折疊的混合并不斷反復(fù)，才可能產(chǎn)生動力系統(tǒng)相軌道的分離、匯合，產(chǎn)生無可預(yù)見的不規(guī)則運(yùn)動。在混沌區(qū)內(nèi)，相空間中的伸縮與折疊變換以不同的方式永不停息又永不重復(fù)地進(jìn)行，從而造成了相軌道永不自交又永不相交的穿插盤繞、分離匯聚，完全“忘掉了”初始狀態(tài)的一切信息，“丟棄了”未來與過去之間的一切聯(lián)系，呈現(xiàn)出混沌運(yùn)動。這就是系統(tǒng)長期行為

90、對初值的敏感依賴性的源由。</p><p>　　本來，斯梅爾企圖只用拉伸與擠壓去解釋一切動力系統(tǒng)的行為，而不用會大大損害系統(tǒng)穩(wěn)定性的折疊變換。但是折疊是必要的，因?yàn)檎郫B使動力系統(tǒng)的行為有動力性態(tài)上的根本變化，是導(dǎo)致混沌的一種重要作用。斯梅爾馬蹄給數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家提供了一個對動力系統(tǒng)運(yùn)動的可能性的直觀理解的幾何圖象。</p><p>　　6．“周期倍化分叉”的發(fā)現(xiàn)</p>&l

91、t;p>　　在動力系統(tǒng)演化過程中的某些關(guān)節(jié)點(diǎn)上，系統(tǒng)的定態(tài)行為可能發(fā)生性質(zhì)的改變，原來的穩(wěn)定定態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定定態(tài)，同時出現(xiàn)新的更多的定態(tài)，這種現(xiàn)象叫作“分叉”（bifurcation）。分叉是由運(yùn)動方程中參數(shù)的變化引起的，所以往往要用“參數(shù)空間”來描繪分叉現(xiàn)象。隨著參數(shù)的變化，分叉可以一次接一次地相繼出現(xiàn)，而這種分叉序列又往往是出現(xiàn)混沌的先兆，最終會導(dǎo)致混沌。</p><p>　　生物群體數(shù)量（“蟲口”）變化

92、的研究以及涉及到的一類典型一維映射的分叉現(xiàn)象的研究，在20世紀(jì)70年代混沌學(xué)的創(chuàng)立和發(fā)展中曾經(jīng)起到過特殊的作用。</p><p>　　澳大利亞昆蟲學(xué)家尼科爾森（Nicholson，A.J.）曾經(jīng)在一個大瓶子里用有限的蛋白質(zhì)食物喂養(yǎng)了一瓶子綠頭蒼蠅，研究受到空間和食物限制的蒼蠅群體數(shù)目（“蠅口”）的變化。他觀察到有時綠頭蒼蠅可繁殖到將近一萬只；過些時候又會降至幾百只。蠅口繁殖過快超過容器的空間限制后數(shù)目就急劇減少，

93、而活動空間的擴(kuò)大又使蠅口快速增長；蠅口決不會單調(diào)增大或單調(diào)減少，呈現(xiàn)一種周期性的漲落。尼科爾森發(fā)現(xiàn)，這個循環(huán)周期大約是38天。但每個周期內(nèi)蠅口數(shù)卻可能出現(xiàn)兩個峰值，而且到約450天后，蠅口的變化（振蕩）變得極不規(guī)則。在這個實(shí)驗(yàn)中，蠅口數(shù)的變化包括了周期性、擬周期性和混沌。</p><p>　　看來，生物群體應(yīng)被看做是一個動力系統(tǒng)，是受著某種動力驅(qū)使的。在食物受限制的地域單種生物在起起落落地繁殖著；幾種生物共存的區(qū)

94、域，各種生物在生存競爭中此長彼消；在捕食者與被食者之間，存在著雙向抑制作用；在宿主群體內(nèi)部，流行病在傳播?！@一切因素，都對生物群體起到約束作用，把群體限制在更合理的數(shù)目上。</p><p>　　生態(tài)學(xué)家們一直試圖為生物群體增減尋找一個數(shù)學(xué)模型。一個合理的簡化就是用離散的時間間隔去模擬蟲口的變化。因?yàn)樵S多生物群體的數(shù)目基本上都是按照一年的時間間隔變化的，而不是連續(xù)時間的變化。更有一些昆蟲，它們只在一年中的特定季

95、節(jié)里繁殖，所以它們的一代一代之間決不會重疊。一年一年的變化，正是生態(tài)學(xué)家所要了解的全部信息。因此，描寫生物群體的方程不是連續(xù)的微分方程，而是比較簡單的差分方程，這是一種迭代模型，即逐年逐年地反復(fù)用同一個函數(shù)進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，它可以反映由一個狀態(tài)（數(shù)目）到另一個狀態(tài)（數(shù)目）的跳躍變化。</p><p>　　這個差分方程應(yīng)該反映出以下影響蟲口增減的因素：第一，蟲口的增長必定與前一年的蟲口數(shù)目成正比，這是一個線性關(guān)系，比例

96、系數(shù)k即群體的增長率；第二，蟲口的增長又受到空間、食物、流行病等許多因素的限制，不可能無限增長。實(shí)際情況是，群體小時穩(wěn)定增長，群體適中時增殖量近于零，群體暴漲時急劇下降。</p><p>　　一個較好的方程是由迭代邏輯斯蒂映射所得到的非線性邏輯斯蒂（Logistic）差分方程</p><p>　　xt+1=kxt(1-xt)</p><p>　　x表示蟲口的相對數(shù)，

97、它被定義為介于0和1之間的數(shù)，0代表滅絕，1代表群體的最大蟲口數(shù)；t表示時間，它只能以整數(shù)0，1，2，3……跳躍；生殖增長率k代表了這一模型的一個十分重要的特征，表示拉伸或壓縮的程度，也即非線性程度。從幾何學(xué)上講，邏輯斯蒂映射表示以不均勻的方式拉伸或壓縮一個線段，然后再加以折疊。對于一個生物群體來說，參數(shù)k越低，意味著群體最終將在較低的數(shù)量水平上滅絕；參數(shù)k的值提高以后，群體的數(shù)量也不會無限增長，這是可以理解的。但是計(jì)算表明，在k值提高

98、后，群體卻不可能收斂于一個定態(tài)水平，這是令人費(fèi)解的。</p><p>　　20世紀(jì)70年代，美國普林斯頓大學(xué)的生態(tài)學(xué)家羅伯特·梅（Robert May）開始利用計(jì)算機(jī)對這種單一群體生物隨時間而變化的最簡單的生態(tài)學(xué)方程進(jìn)行系統(tǒng)的研究。他對這一非線性參數(shù)試用不同的值進(jìn)行迭代計(jì)算。他發(fā)現(xiàn)，改變的不僅僅是輸出的數(shù)量，而且也改變了輸出的性質(zhì)；因?yàn)樗粌H影響著平衡時群體的數(shù)值，而且還影響群體是否能夠?qū)崿F(xiàn)平衡。<

99、;/p><p>　　梅編制了計(jì)算機(jī)程序，慢慢增加k值，對方程進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算。他發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k值小于1時，在0到1之間任意取初值x0，經(jīng)過若干次迭代，蟲口數(shù)趨于終態(tài)x*=0，表示生物群體將滅絕，這是可以預(yù)料的。當(dāng)1＜k＜3時，任取初值x0，經(jīng)過一系列迭代（演化過程）后，蟲口數(shù)越來越趨于一個穩(wěn)定態(tài)x*=1-1/k；如取k=2，則蟲口數(shù)將最終穩(wěn)定在x*=0.5；若取k=2.4，則x*=0.5833；若取k=2.7，則x*=0.6