高維廣義復(fù)空間中M-J混沌分形圖譜的構(gòu)造與研究.pdf

1、混沌分形理論被認為是繼相對論、量子力學之后，人類認識世界和改造世界的最富有創(chuàng)造性的第三次革命．混沌分形理論的基本思想起源于20世紀初，是一門正在蓬勃發(fā)展的新學科．它描述的是一個充滿創(chuàng)新的、開放性的世界，是一個極其復(fù)雜的世界．其研究對象也不再是有著確定性規(guī)律的單一事件，而是伴隨著大量的不確定性和隨機性的動力系統(tǒng)，甚至是人類社會以至宇宙這樣的超級系統(tǒng)．混沌分形理論以全新的自然觀和方法論，為我們描述了一個有序與無序統(tǒng)一的、確定性與隨機性統(tǒng)一的

2、、即自相似又非自相似的、即完全又不完全的、即穩(wěn)定又不穩(wěn)定的世界．這是一個遵循辯證法規(guī)律的和諧統(tǒng)一的世界．今天，混沌分形理論、計算機科學理論的結(jié)合，在探索、描述及研究客觀世界的復(fù)雜性方面發(fā)揮了巨大作用．其作用涉及到幾乎整個自然科學和社會科學．混沌分形已被認為是研究非線性復(fù)雜問題最好的一種語言和工具．并受到各國政府及學者的重視和公認，成為舉世矚目的學術(shù)熱點． 在混沌分形理論的形成與發(fā)展過程中，針對具體的問題人們提出了許多特殊的解決辦

3、法．如：幾何化的龐加萊的拓撲動力學、柯爾莫哥洛夫的統(tǒng)計方法、費根鮑姆的重整化群以及數(shù)值化的泛函分析等．這些方法在混沌分形理論的研究中起到了重要作用．隨著人們認識的深入以及理論研究的進展，這些方法也在逐步地完善，并形成一些新的更為有效的方法和手段． 本文在研究過程中所采用的指導(dǎo)思想和方法是導(dǎo)師朱偉勇教授所大力提倡的計算機數(shù)學實驗．這是一個利用數(shù)理統(tǒng)計、拓撲、泛函分析、重正化群、頻譜分析、復(fù)數(shù)與超復(fù)數(shù)理論(Hamilton四元數(shù))等

4、諸多數(shù)學原理與計算機技術(shù)相結(jié)合的新方法．利用這一研究方法，在基于復(fù)空間中M-J混沌分形圖譜研究的基礎(chǔ)之上，研究高維廣義復(fù)空間中的M-J混沌分形圖譜，力求使大量的數(shù)值化的數(shù)學計算與圖形化幾何化的結(jié)構(gòu)分析完美地結(jié)合，展現(xiàn)出M-J混沌分形圖在高維廣義復(fù)空間中的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)．為更進一步揭示混沌分形的內(nèi)在本質(zhì)，以及混沌分形理論在科學領(lǐng)域中的更進一步應(yīng)用提供研究基礎(chǔ)． 本文的主要工作和創(chuàng)新點包括如下內(nèi)容： (1)在對復(fù)空間以及廣義復(fù)空

5、間中Mandelbrot集和Julia集的研究基礎(chǔ)之上，利用四元數(shù)及其性質(zhì)，將基于參數(shù)平面的Mandelbrot集和基于動力平面Julia集的可構(gòu)造性推廣到一個高維廣義復(fù)空間中，構(gòu)造了一系列高維空間中Mandelbrot集和Julia集圖像． (2)根據(jù)現(xiàn)有的空間理論以及研究成果，在度量空間和范數(shù)的基礎(chǔ)上建立了基于Hamilton四元數(shù)運算體系上的廣義復(fù)數(shù)巴拿赫空間．并在這一空間上，定義了四元數(shù)的M集和J集，為在高維空間中對廣

6、義M集和J集的進一步研究提供了一個初步的研究結(jié)果． (3)針對高維空間中的M集，利用四元數(shù)的性質(zhì)，對四元數(shù)構(gòu)造的M集的界作出了估計，得到了高維空間中四元數(shù)M集的界，即對于四元數(shù)的f<(m,w)>(q)=q<'m>+w的M集M<,m>有界，其界為四元數(shù)的模不大于m-1平方根2．對于四元數(shù)M集的界進行估計，可以提高計算機程序的效率，特別是在利用逃逸時間算法繪制四元數(shù)M集和四元數(shù)J集的時候，一個有效的界的估計可以大大提高搜索范圍的有效

7、性，從而可以節(jié)省大量的運算時間和存貯空間來得到更為細致的四元數(shù)混沌分形圖譜． (4)基于空間變換的思想，利用單純形坐標體系下的投影變換得到了四維Bannach空間與三維Euclid空間的對應(yīng)關(guān)系，并應(yīng)用這一對應(yīng)關(guān)系，在國內(nèi)首次獨立構(gòu)造了基于單純形投影變換的高維廣義M集和J集，得到了四維空間中四元數(shù)M集與J集在三維空間中的映像．為分形理論在多維動力系統(tǒng)的研究與發(fā)展，提供了一個有益的探討和嘗試． (5)對復(fù)空間中的準周期點(

8、Misiurewiz點)和準周期軌道作了深入研究，并將這一研究推廣到了高維空間中．在高維空間中四元數(shù)M集中發(fā)現(xiàn)了周期點、Misiurewiz點的存在，為在高維空間中進一步研究M集的周期點、Misiurewiz點性質(zhì)作了有益的嘗試． (6)綜述了Fibonacci序列是通向混沌的又一途徑．Fibonacci序列是構(gòu)成混沌分形圖譜的本質(zhì)，同時也揭示了混沌分形圖譜拓撲不變性的規(guī)律．隨著Fibonacci序列的增加，周期數(shù)也由有理數(shù)向無