保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論中的破產(chǎn)和分紅問題.pdf

1、計(jì)算破產(chǎn)概率等相關(guān)的精算量是經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)理論中最為關(guān)心的問題之一。從Lundberg時期至今，它一直都是一個很活躍的研究領(lǐng)域。此外，破產(chǎn)理論在其他應(yīng)用概率領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，例如排隊(duì)論和數(shù)理金融（障礙期權(quán)、信用產(chǎn)品的定價等）。因此，破產(chǎn)理論在現(xiàn)代風(fēng)險(xiǎn)理論中仍然具有非常重要的作用。分紅作為另一個重要的準(zhǔn)則首先由DeFinetti[19]提出。在該文中，他主要考慮一個簡單離散模型下的直到破產(chǎn)前的期望折現(xiàn)累計(jì)分紅量，并發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的分紅策略是一個邊界

2、策略。從此，一大批學(xué)者開始研究各種更加一般和更加實(shí)際的模型下的（帶有一個常數(shù)邊界的）分紅問題。我的博士論文也致力于研究某些風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)和分紅問題。它主要包含兩類問題:一類是連續(xù)時間模型下的某些與破產(chǎn)和分紅相關(guān)的最優(yōu)隨機(jī)控制問題（見第2和3章），另一類是某些離散時間模型下的破產(chǎn)和分紅問題（見第4-6章）。
　　動態(tài)隨機(jī)優(yōu)化起源于具有不確定性的決策問題，它在保險(xiǎn)、金融、經(jīng)濟(jì)和管理領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。隨機(jī)優(yōu)化問題的目標(biāo)一般是為了尋找

3、最優(yōu)的控制（決策）過程和相應(yīng)的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)。保險(xiǎn)學(xué)和隨機(jī)控制理論相結(jié)合的文獻(xiàn)經(jīng)歷了很長一段時間才得以出現(xiàn)，最初的文獻(xiàn)為AsmussenandTaksar[5]和Browne[8]。從此以后，有一系列的文獻(xiàn)利用動態(tài)規(guī)劃原理和HJB方程的方法來解決保險(xiǎn)中的最優(yōu)控制問題。這個領(lǐng)域的核心問題包括保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)、最優(yōu)投資和最優(yōu)分紅問題。其中，大部分都是考慮擴(kuò)散模型和經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型。
　　為了降低自身的風(fēng)險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司通常會購買適量的再保險(xiǎn)

4、。為了數(shù)學(xué)上的方便，大多數(shù)文獻(xiàn)都假定保費(fèi)是按照期望值原理來收取的。但是，均值相同的兩個風(fēng)險(xiǎn)之間的差異可能很大，那么對它們所收取的保費(fèi)也應(yīng)該不同。因此，期望值原理有時未必合理。另一方面，被稱為零效用準(zhǔn)則的指數(shù)保費(fèi)原理在保險(xiǎn)數(shù)學(xué)和精算實(shí)務(wù)中都發(fā)揮著重要作用。它具有很多好的性質(zhì)并且被廣泛應(yīng)用于數(shù)理金融中的保險(xiǎn)產(chǎn)品定價，見MusielaandZariphopoulou[62],YoungandZariphopoulou[85],Young[84

5、]和MooreandYoung[61]。因此，我們也對指數(shù)保費(fèi)原理下的某些最優(yōu)控制問題感興趣，見第2和3章。在指數(shù)保費(fèi)原理下，保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)控制是非線性的，它使得所考慮的問題比期望值原理下的相應(yīng)問題更復(fù)雜。為了簡單起見，本文假設(shè)保險(xiǎn)公司購買的是比例再保險(xiǎn)。
　　在第2章中，我們考慮一個擴(kuò)散模型下的最優(yōu)分紅問題。該控制的擴(kuò)散模型是通過對具有比例再保險(xiǎn)的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型擴(kuò)散逼近得到的，其中再保險(xiǎn)的保費(fèi)是按照指數(shù)保費(fèi)原理來計(jì)算的。Zhoua

6、ndYuen[90]在方差保費(fèi)原理下考慮了類似的最優(yōu)分紅問題。他們得到了一些與L(o)kkaandZervos[55]（其中再保險(xiǎn)保費(fèi)按照期望值原理來計(jì)算）中不一樣的結(jié)果。我們所考慮的問題是比ZhouandYuen[90]中更復(fù)雜的非線性隨機(jī)控制問題。此外，ZhouandYuen[90]中只考慮了便宜再保險(xiǎn)，而我們同時考慮了非便宜再保險(xiǎn)和便宜再保險(xiǎn)兩種情形。本章的目標(biāo)是最大化直到破產(chǎn)前的期望折現(xiàn)分紅量。對分紅率有界和無界兩種情形，我們都

7、得到了值函數(shù)和相應(yīng)的最優(yōu)策略的解析表達(dá)式。對無界分紅率情形（非便宜再保險(xiǎn)和便宜再保險(xiǎn)），最優(yōu)分紅策略是一個邊界策略，并且最優(yōu)再保險(xiǎn)和最優(yōu)分紅策略具有相同的閥值。這些結(jié)果與ZhouandYuen[90]中的類似。但是，對分紅率為有界（界為M）的情形，本文中非便宜再保險(xiǎn)情形下的結(jié)果與ZhouandYuen[90]中有所不同。ZhouandYuen[90]指出最優(yōu)分紅策略總是門檻分紅策略，且當(dāng)盈余達(dá)到該門檻之后保險(xiǎn)公司的自留水平保持不變（即使

8、盈余不斷增加）。但是在本文中，該情況只對充分大的M才成立，具體的見2.4.1小節(jié)。而對比較小的M，本文的結(jié)果表明，最優(yōu)的分紅策略是始終按最大分紅率進(jìn)行分紅，且最優(yōu)的再保險(xiǎn)比例始終是一個常數(shù)。最后，我們在第2.5節(jié)給出了一個數(shù)值例子，它闡釋了a（再保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)厭惡）對最優(yōu)值函數(shù)和保險(xiǎn)公司自留水平的影響。我們從中發(fā)現(xiàn)，隨著a的增大，它對值函數(shù)的影響越來越小;當(dāng)盈余較小時，自留水平隨a的增大而增大，然而當(dāng)盈余較大時情況卻比較復(fù)雜。
　

9、　在第3章中，我們考慮保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資和比例再保險(xiǎn)問題，其中保險(xiǎn)公司的業(yè)務(wù)由一帶擴(kuò)散擾動的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)過程來刻畫。對經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型，破產(chǎn)概率的解析表達(dá)式通常無法得到。然而，由Cramér-Lundberg漸進(jìn)公式和Lundberg不等式知道，破產(chǎn)概率與調(diào)節(jié)系數(shù)密切相關(guān)。因此，在帶擴(kuò)散擾動的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型下，我們也著重考慮再保險(xiǎn)對調(diào)節(jié)系數(shù)的影響。我們假設(shè)資產(chǎn)可以被投資于一個風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個無風(fēng)險(xiǎn)瓷產(chǎn)。除了投資，我們允許保險(xiǎn)公司購買適當(dāng)?shù)脑俦ｋU(xiǎn)以減

10、少自身的風(fēng)險(xiǎn)。值得一提的是，對于最大化調(diào)節(jié)系數(shù)，我們并沒有將策略集限制于常數(shù)策略類，這與絕大多數(shù)文獻(xiàn)都不同，例如LiangandGuo[51],Centeno[10],HaldandSchmidli[32],CentenoandGuerra[11]和GuerraandCenteno[30]。我們首先研究最大化終端財(cái)富指數(shù)效用的問題，然后將所得的結(jié)果應(yīng)用于最大化調(diào)節(jié)系數(shù)的問題中。對上述的兩個問題，通過解相應(yīng)的HJB方程，我們都得到了最優(yōu)值

11、函數(shù)和相應(yīng)最優(yōu)策略的解析表達(dá)式。此外，我們證明了最大的調(diào)節(jié)系數(shù)及其相應(yīng)的最優(yōu)策略都是α（再保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)厭惡）和β（保險(xiǎn)公司的不確定因素）的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。在第3.4節(jié)中，我們還給出了破產(chǎn)概率的一個上界。此外，我們應(yīng)該注意的是，HaldandSchmidli[32]中的方法對本文不適用。然而，用我們的方法卻可以得到HaldandSchmidli[32]中的定理1。
　　馬氏調(diào)節(jié)風(fēng)險(xiǎn)模型，由于其盈余過程受一環(huán)境馬氏鏈的影響，它能更好的

12、捕捉保單依賴于環(huán)境的特征，例如受天氣、經(jīng)濟(jì)和政治等環(huán)境的影響。因?yàn)樗冉?jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型更加貼近現(xiàn)實(shí)，近年來受到越來越多的關(guān)注。
　　在馬氏調(diào)節(jié)風(fēng)險(xiǎn)模型中，保費(fèi)、索賠額大小和索賠數(shù)過程在給定環(huán)境馬氏鏈下通常都假定是（條件）獨(dú)立的，即它們都只依賴于馬氏鏈的當(dāng)前狀態(tài)。然而，在某些應(yīng)用中這種（條件）獨(dú)立的假設(shè)有點(diǎn)太強(qiáng)了。JanssenandReinhard[41]首先提出了一種半馬氏相依結(jié)構(gòu)，其中索賠額大小和索賠時間間隔不僅依賴于環(huán)境馬氏鏈的

13、當(dāng)前狀態(tài)還依賴于下一步要轉(zhuǎn)移到的狀態(tài)。接著，ReinhardandSnoussi[65，66]研究了一個離散時間的半馬氏風(fēng)險(xiǎn)模型，其中假定索賠額大小之間是自相關(guān)的且受一有限狀態(tài)馬氏鏈的影響。在該文中，他們對索賠額的分布做了一個嚴(yán)格限制，并在此情形下得到了破產(chǎn)前盈余和破產(chǎn)赤字的聯(lián)合分布的遞推公式。然而，如果我們把這個嚴(yán)格限制去掉的話將會出現(xiàn)怎樣的情況呢？我們發(fā)現(xiàn)，如果對索賠額的分布不加限制，所研究的離散時間半馬氏模型包含了多個已有的風(fēng)險(xiǎn)模

14、型，如（帶時間相依索賠的）復(fù)合二項(xiàng)模型和（帶時間相依索賠的）復(fù)合馬氏二項(xiàng)模型。
　　在第4章中，我們研究了離散時間半馬氏風(fēng)險(xiǎn)模型下的期望折現(xiàn)分紅問題。在第4.3節(jié)中，我們首先考慮了ReinhardandSnoussi[65，66]中所描述的那種特殊情況。借助ReinhardandSnoussi[65，66]的方法，并充分利用邊界分紅策略的邊界條件，我們得到了m個狀態(tài)模型下的直到破產(chǎn)前期望折現(xiàn)分紅的矩陣形式的表達(dá)式。接著，在第4.4

15、節(jié)中，我們在一般模型（即索賠額分布不加任何假設(shè)）下考慮了同樣的問題。由于4.3節(jié)中所用的方法不適用于一般情形，我們在第4.4節(jié)中采用了一個新的方法。利用生成函數(shù)的方法，并結(jié)合差分方程理論以及邊界分紅策略的邊界條件，我們在2個和3個狀態(tài)模型下也都給出了直到破產(chǎn)前期望折現(xiàn)分紅的矩陣形式的表達(dá)式。我們的方法可以適用于包含任意個狀態(tài)的模型，然而，這樣的推廣將會使得推導(dǎo)過程變得極其復(fù)雜和冗長。在本章的結(jié)尾，我們給出了一個數(shù)值例子（滿足4.3節(jié)中的

16、限制條件），從中證實(shí)了利用兩種不同方法所得的結(jié)果是一致的。通過這個例子，我們也注意到使得期望折現(xiàn)分紅量Vi（u,b），i=1，2，達(dá)到最大的最優(yōu)分紅邊界b*不僅依賴于初始狀態(tài)i，還依賴于初始盈余u和折現(xiàn)因子v。
　　在第5章中，我們在第4章所敘述的模型下考慮了保險(xiǎn)公司的生存概率。為了保證保險(xiǎn)公司不會必然破產(chǎn)，在這一章里我們假設(shè)正安全負(fù)荷條件成立。即使對m=2的情形，ReinhardandSnoussi[65，66]中所采用的方法對

17、本文也無法適用，所以我們也必須采用一個新的方法。利用生成函數(shù)的方法，我們得到了兩狀態(tài)模型下生存概率φi(u)的遞推公式，它根據(jù)索賠額分布的情況分為兩種情形。得到φi(u)的遞推公式后，我們還必須確定兩個初始值φi(0)，i=1，2。只有這樣，我們才能利用之前所得到的遞推公式進(jìn)行計(jì)算。在第4章中，我們充分利用了邊界策略的邊界條件得到了期望折現(xiàn)分紅的初始值。然而，這個方法在本章已不再適用。為了得到φ1(0)和φ2(0)，我們必須想方設(shè)法找到

18、兩個與他們相關(guān)的方程，見第5.3節(jié)。另一方面，由于我們所考慮的模型包含了多個已有的離散時間模型，如（帶時間相依索賠的）復(fù)合二項(xiàng)模型和（帶時間相依索賠的）復(fù)合馬氏二項(xiàng)模型，本章的結(jié)果推廣了這些模型下破產(chǎn)概率的研究，具體的見第5.4節(jié)。最后，我們給出了幾個數(shù)值例子來說明我們的結(jié)果。
　　在第6章中，我們研究了一個離散時間的NCD風(fēng)險(xiǎn)模型，它包含了汽車保險(xiǎn)業(yè)中著名的無賠款優(yōu)待折扣系統(tǒng)（或獎懲系統(tǒng)）。該系統(tǒng)通過收取附加費(fèi)懲罰出事故的投保人

19、，而對無索賠的投保人給予優(yōu)待折扣。為了簡單起見，我們假設(shè)保費(fèi)只按兩個層次收取，并得到了最終破產(chǎn)概率的遞推公式。然后通過幾個數(shù)值例子來考察NCD系統(tǒng)對破產(chǎn)概率的影響。最后，我們還考慮了最終破產(chǎn)和破產(chǎn)赤字的聯(lián)合分布。對于具有非整數(shù)且不規(guī)則保費(fèi)（或盈余）的離散風(fēng)險(xiǎn)模型，如何建立一個有效的遞推公式仍然是尚待解決的問題。本文雖然不是對一般情形進(jìn)行的嘗試，但部分解決了該問題并對一般情形下問題的解決具有啟發(fā)作用。
　　作為這部分的結(jié)尾，我們介紹

20、一下這篇博士論文的主要貢獻(xiàn)，具體如下。
　　第2章研究了具有非線性正則-奇異隨機(jī)控制的最優(yōu)分紅問題。我們假定保費(fèi)按指數(shù)保費(fèi)原理計(jì)算，從而風(fēng)險(xiǎn)控制是非線性的，它比期望值（或方差）保費(fèi)原理下的相應(yīng)問題更難以解決。我們的結(jié)果展示了一些與期望值保費(fèi)原理和方差保費(fèi)原理都不一樣的方面。此外，我們同時考慮了便宜和非便宜再保險(xiǎn)，而大多數(shù)文獻(xiàn)都只考慮了其中一種。
　　第3章考慮了跳擴(kuò)散模型下的最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)問題。在研究最大化調(diào)節(jié)系數(shù)時，我們

21、并沒有將策略集限制于常數(shù)策略類，這與絕大多數(shù)文獻(xiàn)都不同。此外，用我們的方法可以得到HaldandSchmidli[32]中的定理1。然而，HaldandSchmidli[32]中的方法對本文卻不適用，因?yàn)槲覀兯紤]的問題是非線性的。
　　第4和5章考慮了離散半馬氏風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)和分紅問題。該模型的古典精算量的計(jì)算問題僅在較強(qiáng)的條件下得到部分解決，見文獻(xiàn)ReinhardandSnoussi[65，66]。本文去掉了強(qiáng)加在模型上的限