非均質(zhì)材料動力及非線性分析的多尺度有限元方法研究.pdf

1、眾所周知，自然界中的很多材料都具有多尺度特征，如多孔介質(zhì)、動物的骨骼、超大型機(jī)械中的復(fù)合材料等，這些材料的最大特征尺寸與最小特征尺寸相差甚大。對于這類非均質(zhì)材料的力學(xué)行為，如果用傳統(tǒng)計(jì)算方法（有限單元法、有限差分法等）來進(jìn)行分析，則要求網(wǎng)格的尺寸必須要小于材料的最小特征尺寸，這就使得計(jì)算量巨大，甚至不可行。針對這一實(shí)際問題，研究學(xué)者們發(fā)展了很多種多尺度方法，如均勻化方法、代表體元法等，然而這些方法通常具有周期性假設(shè)，而且很難得到細(xì)尺度上

2、的解。因此，尋求一種高效的多尺度計(jì)算方法已經(jīng)成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。
　　本文首先介紹了一種針對非均質(zhì)材料的線彈性靜力學(xué)分析的擴(kuò)展多尺度有限元方法(EMsFEM)。該方法的主要思想是通過數(shù)值構(gòu)造粗單元的基函數(shù)，將子網(wǎng)格上的微觀非均質(zhì)性質(zhì)帶到宏觀尺度上來，這樣原問題就可以直接在宏觀尺度上進(jìn)行求解，節(jié)省了大量的計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間。對于固體力學(xué)問題，考慮了粗單元內(nèi)部不同方向之間的泊松效應(yīng)，在數(shù)值基函數(shù)中添加了附加耦合項(xiàng)，明顯提高了計(jì)算精度。本

3、文簡要介紹了擴(kuò)展多尺度有限元方法的基本計(jì)算思想、四種常用的構(gòu)造數(shù)值基函數(shù)的方法、宏觀分析和降尺度計(jì)算等。
　　受數(shù)值基函數(shù)中附加耦合項(xiàng)的啟發(fā)，本文基于傳統(tǒng)平面四節(jié)點(diǎn)四邊形(Q4)單元，提出了一種新的平面四節(jié)點(diǎn)廣義等參單元，在位移插值函數(shù)中添加了附加耦合項(xiàng)，考慮了單元內(nèi)部不同方向之間的泊松效應(yīng)的影響。與傳統(tǒng)Q4單元相比，該單元沒有額外增加自由度，明顯提高了計(jì)算精度。相鄰的新單元之間是完全協(xié)調(diào)的，因此該單元屬于協(xié)調(diào)單元。本文詳細(xì)驗(yàn)證了

4、該新單元可以滿足分片試驗(yàn)的要求，并考察了不同形式的附加耦合項(xiàng)對計(jì)算結(jié)果的影響。
　　幾何非線性是固體力學(xué)中最常見的問題之一，本文將擴(kuò)展多尺度有限元方法與共旋坐標(biāo)法相結(jié)合，針對非均質(zhì)材料的大位移小應(yīng)變問題，發(fā)展了一種多尺度分析列式，使得擴(kuò)展多尺度有限元方法可以有效地應(yīng)用到幾何非線性問題中。主要步驟如下:首先，利用數(shù)值基函數(shù)將一個(gè)非均質(zhì)單胞等效為一個(gè)粗單元（宏觀單元）;然后，在宏觀單元上運(yùn)用共旋坐標(biāo)列式來計(jì)算宏觀單元的等效切線剛度矩陣

5、，進(jìn)而形成整個(gè)結(jié)構(gòu)的等效切線剛度矩陣，并得到宏觀網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的位移;最后，再次利用數(shù)值基函數(shù)得到微觀的位移結(jié)果，進(jìn)一步可以得到微觀的應(yīng)力結(jié)果。
　　另外，本文針對非均質(zhì)材料的線彈性動力問題，還提出了一種高效的多尺度計(jì)算方法。對于靜力問題，結(jié)構(gòu)的位移只與結(jié)構(gòu)的剛度和外力載荷直接相關(guān);而對于動力問題，還需考慮結(jié)構(gòu)的慣性力。而原始的擴(kuò)展多尺度有限元法中的數(shù)值基函數(shù)是在子網(wǎng)格域上通過求解靜力平衡方程得到的。然而，對于動力問題，結(jié)構(gòu)的位移還與慣

6、性力相關(guān)。原始的擴(kuò)展多尺度有限元法中的數(shù)值基函數(shù)中沒有考慮單胞的動態(tài)效應(yīng)。對于動力問題，這不可避免地將產(chǎn)生較大的誤差。因此，為了減小誤差提高原始的擴(kuò)展多尺度有限元法的計(jì)算精度，需要考慮單胞的慣性效應(yīng)。正因?yàn)槿绱耍疚脑谠嫉亩喑叨然瘮?shù)中引入了模態(tài)基函數(shù)。另外，對二維問題，在擴(kuò)展多尺度有限元法中用的都是四節(jié)點(diǎn)宏觀單元，該單元的變形模式相對簡單，這種單元只能描述相對簡單的低階變形，對于更為復(fù)雜的變形則顯得無能為力。如果用這種四節(jié)點(diǎn)的宏觀單

7、元來描述較為復(fù)雜的變形，則必須要將粗網(wǎng)格加密，但是這樣擴(kuò)展多尺度有限元法的計(jì)算效率就會大大降低。因此，為了在不增加太多計(jì)算量的同時(shí)又確保計(jì)算精度，本文提出了一種多節(jié)點(diǎn)宏觀單元。
　　然后，基于所提出的多節(jié)點(diǎn)宏觀單元，進(jìn)一步研究了非均質(zhì)材料多尺度彈塑性動力問題，提出了一種新的局部位移修正技術(shù)。當(dāng)材料發(fā)生塑性變形時(shí)，單胞內(nèi)部將產(chǎn)生不平衡力。這些不平衡力一部分被多尺度基函數(shù)帶到宏觀方程中參與平衡迭代，而另一部分則被忽略。如果不采取措施，