面波和地球自由振蕩的本征模理論.pdf

1、本征模因為涉及到一個物理系統(tǒng)的固有性質(zhì)，所以對于我們認(rèn)識和反演振蕩系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)具有獨特的意義。研究一個本征系統(tǒng)首先就需要求解其本征頻率和本征函數(shù)。然而，即便是對一維的介質(zhì)模型，通常因其所具有的特殊性質(zhì)（如含有低速層、水層，或者層速遞減），使得某些本征模的計算精度很低甚至?xí)┦У?。面波和地球自由振蕩因為研究的尺度不同，?dǎo)致需要考慮的物理條件有些差異，進(jìn)而導(dǎo)致數(shù)學(xué)描述和控制方程的不同，但二者在所面對的問題和處理手段上仍有很多的共性。高頻情

2、況下的計算不穩(wěn)定所帶來的數(shù)值精度丟失和某些能量集中在模型內(nèi)部的某些區(qū)域的振型計算不準(zhǔn)，便是二者會遇到的問題。對于面波來說，人們已經(jīng)基于最初的Thomson-Haskell矩陣方法作了種種改進(jìn)來解決計算不穩(wěn)定問題，而用數(shù)值積分法來求解本征值問題，無論是面波還是自由振蕩，都轉(zhuǎn)而用“minors”來將原始的常微分方程組化為一個更高階的形式，但也只是從數(shù)學(xué)的角度減輕這個問題。最關(guān)鍵的是，常規(guī)的求解方式并沒有考慮不同本征模的振蕩特點，而是一律地使

3、用在自由表面的久期方程來搜索所有的振型。
　　若已知一個均勻?qū)又械慕馕鼋饣蚍蔷鶆驅(qū)又性诟哳l情況下的漸近解，就可借助廣義反透射系數(shù)，靈活地構(gòu)造久期方程，來適應(yīng)不同振型的傳播特點，從而可以高精度、快速、穩(wěn)定地求解所提出的本征值問題。對于面波來說，根據(jù)已有的久期函數(shù)族的概念，我們用數(shù)值實驗證明，只需在通常使用的地表久期方程的基礎(chǔ)上，加上所有對應(yīng)于模型低速層、固液邊界處的久期方程，便能夠搜出給定頻率下的所有物理上存在的振型。這樣，就能保證

4、在任意深度下借助振型疊加法合成的面波地震圖是精確的，這一點對于表達(dá)深處激發(fā)的地震響應(yīng)尤為重要。我們還將簡正振型的計算拓展到漏能振型，這樣在用面波的頻散曲線來反演速度結(jié)構(gòu)時，就可以避免因?qū)⒙┠苷裥妥R別為簡正振型帶來反演的誤差;又可將簡正振型的頻散曲線進(jìn)行自然延伸，以解決層速遞減情況下某些頻率段頻散曲線缺失的情況。我們還研究了與模型的特殊性相聯(lián)系的特殊振型，如fundamental modes、trapped modes、Stoneley

5、modes，同時還無意中發(fā)現(xiàn)了不完全滿足輻射邊界條件的輻射振型(radiation modes)。我們對模型存在低速層時如何定義具有物理意義的fundamental mode作出了討論，指出trapped modes與其同一頻率下的鄰近振型無論相速度多么靠近，也不會重合成一個振型，這一點可由二者的本征函數(shù)看出，證明了頻散曲線的不可交叉性。最后還指出，在廣義反透射系數(shù)和久期函數(shù)族的理論框架之下，通過簡正振型疊加和對輻射振型的積分，便可合成

6、包含體波震相的完整理論地震圖，這是合成完整理論地震圖的另一種方法。精確計算一維情況下的本征模也就構(gòu)成了根據(jù)現(xiàn)存的mode-coupling的方法來研究橫向非均勻性的基礎(chǔ)。
　　我們進(jìn)一步將廣義反透射系數(shù)和久期函數(shù)族的思想推廣到解決高頻情況下的自由振蕩本征值問題中。在推導(dǎo)出了用Langer近似表達(dá)的應(yīng)用于非均勻球殼的零階漸近解之后，我們便將面波理論的公式體系移植過來，給出了求解環(huán)型振蕩和球型振蕩的數(shù)值算法。通過選擇合適的艾里函數(shù)的組

7、合來調(diào)整解的行為，我們成功地求解了環(huán)型振蕩的漸近本征解。通過比較，所得的結(jié)果不光不存在WKBJ方法因其固有的局限性所導(dǎo)致的頻散曲線的不連續(xù)跳躍，而且在求解的精度上也有明顯的提升;與Mineos精確解相比，則吻合得很好，且在高頻情況下，二者的差異更小。這樣，就有可能高精度地計算諸如斯通利振型等能量達(dá)到地表已經(jīng)很弱的振型，而且不必像Mineos數(shù)值求解那樣需要對模型的徑向節(jié)點加密來提高這些振型的計算精度。這也為一維地球模型自由振蕩本征解的計

8、算提供了另一種方法。
　　有了一維情況下的本征函數(shù)，我們就可將其作為基函數(shù)，通過瑞利-里茨方法來表達(dá)三維地球模型的本征解。從不包含自轉(zhuǎn)且為彈性的地球模型出發(fā)過渡到包含自轉(zhuǎn)和非彈性的一般地球模型，我們將相關(guān)理論進(jìn)行了逐步展開，整個表述中一致地采用復(fù)球諧函數(shù)（complex surface spherical harmonics），簡潔又不失完整地概述了處理這種偏離球?qū)ΨQ因素(aspherities)的微擾理論。通過對某些低階振型的自