波蘭空間中Markov-Feller算子不變測(cè)度的存在性與唯一性.pdf

1、Markov-Feller算子是在Feller過程(一類Markov過程)的研究中出現(xiàn)的一類算子,起源于離散時(shí)間的時(shí)齊Markov鏈的遍歷性質(zhì)的研究.Markov-Feller算子的遍歷理論已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到很多領(lǐng)域,如動(dòng)力系統(tǒng)、概率迭代函數(shù)系統(tǒng)、隨機(jī)微分方程解的穩(wěn)定性以及測(cè)度卷積的研究等等.
　　 不變測(cè)度的存在性、唯一遍歷性和漸近穩(wěn)定性是遍歷論研究中的重要課題,是Markov-Feller算子研究的主要內(nèi)容.唯一遍歷性強(qiáng)于不

2、變測(cè)度的存在性,而漸近穩(wěn)定性強(qiáng)于唯一遍歷性.漸近穩(wěn)定性是Markov-Feller算子一個(gè)很強(qiáng)的性質(zhì).存在一大類Markov-Feller算子具有唯一的不變測(cè)度,但不是漸近穩(wěn)定的.所以刻畫Markov-Feller算子的唯一遍歷性也是一個(gè)很重要的問題.
　　 本文研究了波蘭空間中Markov-Feller算子不變測(cè)度的存在性和唯一性問題.主要方法是利用測(cè)度序列的胎緊性和等度連續(xù)性來保證不變測(cè)度的存在性和唯一性.本文的主要內(nèi)容如下

3、.
　　 首先在緒論中我們對(duì)本課題的研究背景和意義,文獻(xiàn)綜述及論文的主要內(nèi)容進(jìn)行了比較詳細(xì)的說明.接著第二章研究波蘭空間中Markov-Feller算子不變測(cè)度的存在性,假設(shè)Markov-Feller算子是由轉(zhuǎn)移概率函數(shù)導(dǎo)出的.不變測(cè)度的存在性一直是Markov算子的遍歷理論研究中最重要的問題.Krylov和Bogol ioLibov證明了緊空間中的連續(xù)變換一定存在不變測(cè)度.Lasta和Yorke用轉(zhuǎn)移概率測(cè)度的漸近性給出了局部

4、緊空間中Markov-Feller算子不變測(cè)度的存在性和漸近穩(wěn)定性的充分條件.S.Meyn和R.Tweedi e用Foster-Lyapunov條件證明了局部緊空間中Markov算子的存在性,比較容易驗(yàn)證.在波蘭空間中,不變概率測(cè)度的存在性條件主要是通過達(dá)代測(cè)度序列的胎緊性來尋找的.T.Szarek研究了波蘭空間中Markov算子不變測(cè)度的存在性和漸近穩(wěn)定性問題,給出了各種保證不變測(cè)度存在的條件.本文第二章給出了波蘭空間中Markov-

5、Feller算子存在不變測(cè)度的一個(gè)充分條件,即如果Markov-Feller算子的對(duì)偶算子在一點(diǎn)等度連續(xù),則存在不變測(cè)度.并且將此條件減弱,得到另一個(gè)充分條件.本章中給出的條件比其他刻畫不變測(cè)度存在性的條件更容易驗(yàn)證.
　　 唯一遍歷性是指Markov算子有且只有一個(gè)不變測(cè)度,強(qiáng)于不變測(cè)度的存在性.刻畫唯一遍歷性對(duì)于Markov算子遍歷論的研究具有很重要的意義.RaduZaharopol證明了局部緊可分度量空間中Markov-F

6、eller算子唯一遍歷的充要條件是存在控制生成點(diǎn).并且在假設(shè)存在不變測(cè)度的前提下利用等度連續(xù)性給出了Markov-Feller算子唯一遍歷的一個(gè)充分性條件.2008年T.Szarek給出了波蘭空間中Markov-Feller算子至多有一個(gè)不變測(cè)度的一個(gè)充分條件,即對(duì)偶算子等度連續(xù)并且交疊支集.本文第三章繼續(xù)這方面的工作,討論了唯一遍歷與交疊支集之間的關(guān)系,在Markov-Feller算子存在等度連續(xù)對(duì)偶算子的前提下,給出了其唯一遍歷的一

7、個(gè)充要條件,即Markov-Feller算子若存在等度連續(xù)對(duì)偶算子,則其唯一遍歷的充要條件是交疊支集.
　　 第四章研究波蘭空間中的遍歷定理.P.Walters給出了緊空間中的遍歷定理,即緊空間中連續(xù)變換唯一遍歷的三個(gè)等價(jià)條件.本章本試圖將其推廣到波蘭空間中,但是研究證明,對(duì)于波蘭空間中的Markov-Feller算子,這三個(gè)條件并不等價(jià)于唯一遍歷性,因此我們只給出了Markov-Feller算子唯一遍歷的一個(gè)充分條件,并通過舉