Gorestein投射維數(shù)與凝聚環(huán)的推廣.pdf

1、凝聚環(huán)是比Notherian環(huán)更廣泛的一類環(huán).1960年，Chase【11】首先研究了凝聚環(huán)，直到1964年Bourbaki才正式提出凝聚環(huán)的概念.由于在凝聚環(huán)上有許多很好的性質(zhì)，所以一直以來(lái)是許多學(xué)者的研究對(duì)象.尤其是對(duì)凝聚環(huán)的推廣工作近年來(lái)得到了廣泛的研究，如【5，16，20】等.而凝聚環(huán)通常是由模來(lái)刻畫(huà)的.因此通常在引進(jìn)一種新的凝聚環(huán)的同時(shí)引進(jìn)新的模類.在本文中，我們應(yīng)用【16】的思想，然后和Gorenstein投射維數(shù)相結(jié)合，引

2、進(jìn)了一種新的凝聚環(huán).同時(shí)我們還引進(jìn)了新的模類，我們不僅將這些模類的性質(zhì)得到了推廣，還應(yīng)用它們很好的刻畫(huà)了凝聚環(huán).最后我們根據(jù)引進(jìn)的模類定義了新的維數(shù)，并且用它們來(lái)刻畫(huà)了新的凝聚環(huán). 2002年Lee【16】引入了n-凝聚環(huán)：一個(gè)環(huán)被稱為左n-凝聚的，如果R上每個(gè)有限生產(chǎn)自由左R模的投射維數(shù)小于n-1的有限生成子模是有限表現(xiàn)的.從這個(gè)概念來(lái)看，所有的環(huán)都是左1-凝聚的，左∞一凝聚環(huán)恰好是左凝聚環(huán).在Lee【16】中，左凝聚環(huán)的許多

3、好的性質(zhì)也被成功的推廣到了左n-凝聚環(huán)上. 另一方面，Gorenstein投射維數(shù)作為投射維數(shù)的自然刻劃，最早來(lái)自于Auslander和Bridger【2】研究的G-維數(shù).目前，它也得到了廣泛地研究，尤其是在交換環(huán)代數(shù)上和n-Gorenstein環(huán)上(可以參考【9，12】).在【12】中，一個(gè)左R模M叫做Gorenstein.投射的，如果M是一個(gè)完全投射分解的同態(tài)像，也就是說(shuō)，存在一個(gè)無(wú)限正合列…→P-1→f-1P0→f0 P1

4、→f1…(﹡)，其中每個(gè)Pi都是投射的.這個(gè)正合列使得對(duì)于所有的投射模P，HomR(﹡，P)都是正合的;并且對(duì)于某個(gè)i，有M≌Im(fi).一個(gè)左R模M稱為Gorenstein投射維數(shù)≤n(用Gpd(M)≤n表示)，如果存在正合列0→Gn→…→Go→M→0其中每個(gè)G都是Gorenstein投射的.如果沒(méi)有這樣的正合列存在，我們就表示為Gpd(M)=∞我們很容易看出，所有的投射模都是Gorenstein投射的.因?yàn)樗械哪６即嬖谕渡浞纸猓?/p>

5、因此也存在Gorenstein投射分解.所以，我們可以得到這樣的結(jié)論：如果pd(M)≤n則Gpd(M)≤n.但是，在一般情況下反之則不成立.例如：在非半單的QF環(huán)上，所有的模都是Gorenstein投射的.但是，所有非投射模的Gorenstein投射維數(shù)都是∞. 根據(jù)我們以上的觀點(diǎn)，就產(chǎn)生這樣一個(gè)問(wèn)題：我們是否能夠以定義n-凝聚環(huán)【16】的思想，用Gorenstein投射維數(shù)來(lái)推廣凝聚環(huán).我們?cè)谶@里引入左Gn-凝聚環(huán)的概念：一個(gè)

6、環(huán)R稱為左Gn-凝聚的，如果環(huán)上每個(gè)有限生成自由左R-模的Gorenstein投射維數(shù)≤n-1的有限生成子模是有限表現(xiàn)的.由這個(gè)定義我們可以看到：左凝聚環(huán)恰好是G∞凝聚環(huán)，左Gn-凝聚環(huán)是【16】中的左n-凝聚環(huán).但是，我們不知道是否所有的環(huán)都是左G1-凝聚環(huán).因?yàn)橐粋€(gè)有限生成Gorenstein投射模是否是有限表現(xiàn)的還是一個(gè)沒(méi)有解決的問(wèn)題(可以參考【181).然而，任意一個(gè)有限生成投射模都是有限表現(xiàn)的.所以所有的環(huán)都是左【16】中的1

7、-凝聚環(huán).因?yàn)镚orenstein投射維數(shù)與投射維數(shù)之間的不同性，所以并不是所有的左n-凝聚環(huán)都是左Gn-凝聚環(huán).因此，我們可以看出左Gn-凝聚環(huán)是介于左凝聚環(huán)與左n-凝聚環(huán)之間的. 引入Gn-凝聚環(huán)后，我們相應(yīng)地引入了Gn-內(nèi)射模，Gn-投射模以及Gn-平坦模.在第二章中，我們將內(nèi)射模，投射模以及平坦模進(jìn)行了推廣： (1)Zn與Fn在純子模下是閉的，Pn在純子模的商模下是閉的. (2)Zn與Pn在直積下是閉的，

8、Fn在直和下是閉的. (3)Zn在直和下是閉的. (4)Zn和Pn在擴(kuò)張下是閉的. 我們?cè)诘谌轮校靡M(jìn)的三種模類對(duì)Gn-凝聚環(huán)進(jìn)行了刻畫(huà)，得到了Gn-凝聚環(huán)的許多等價(jià)條件： (1)R是Gn-凝聚環(huán). (2)任意的右R-模都有一個(gè)Fn預(yù)包絡(luò). (3)對(duì)于Gpd(N)≤n的有限表現(xiàn)左R-模N以及A∈Zn，ExtkR(N，A)=0成立.(k是正整數(shù).)(4)Zn是余可解子群. (5

9、)(Zn，Zn)是遺傳cotorsion定理. (6)Gn-內(nèi)射左R-模的商模模去它的純子模是Gn-內(nèi)射的. (7)內(nèi)射左R-模的商模模去它的純子模是Gn-內(nèi)射的. (8)一個(gè)左R-模A是Gn-內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)它的特征模A+是Gn-平坦右R-模. (9)一個(gè)左R-模A是Gn-內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)它的雙特征模A++是Gn-內(nèi)射左R-模. (10)對(duì)于任意的左R-模E1它的特征模E+是Gn-平坦右R-模.