多光譜BLT反源問題的一類新型正則化方法.pdf

1、近二十年來，作為應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)展最快的分支之一，反問題的理論與計(jì)算研究具有重要的理論意義和研究?jī)r(jià)值。其在生物分子成像、醫(yī)學(xué)圖像處理、無損傷探測(cè)等領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用。尤其在生物分子成像領(lǐng)域，新興的BLT（生物發(fā)光體內(nèi)成像技術(shù)）問題[1-10]以及分光譜BLT問題[11-17]，可由一個(gè)不適定的反源問題來描述[18，19，11，20-22，13，23，24]。針對(duì)這一不適定的反問題，現(xiàn)已有多種數(shù)值求解方法[19-23，25]。本文

2、的主要工作是:針對(duì)BLT問題，構(gòu)造了一種重構(gòu)源函數(shù)的新方法，并在光源函數(shù)的允許集非離散和離散為分片常數(shù)函數(shù)空間中的有界集這兩種情況下，分別進(jìn)行了收斂性分析和誤差估計(jì);進(jìn)一步，將光源函數(shù)允許集離散為分片線性函數(shù)空間，證明了收斂性和誤差估計(jì)，并提升了收斂精度;針對(duì)分光譜BLT問題，構(gòu)造了一種重構(gòu)多光譜多區(qū)域光源的新方法，在各光源允許集非離散以及離散為分片常數(shù)函數(shù)空間中有界集和分片線性函數(shù)空間這三種情況下，分別驗(yàn)證了收斂性并給出誤差估計(jì)和誤差

3、階;提供數(shù)值實(shí)例說明這些方法的計(jì)算效果。
　　首先，針對(duì)BLT問題，構(gòu)造了一種重構(gòu)源函數(shù)的新方法。區(qū)別于已有方法，新方法的目標(biāo)泛函中測(cè)量數(shù)據(jù)吻合度一項(xiàng)定義在整個(gè)生物體區(qū)域上，從而使其有限元逼近在實(shí)際應(yīng)用中更加精確。該方法的關(guān)鍵是利用Tikhonov正則化方法的思想，將此不適定反源問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)極小化問題，并通過證明目標(biāo)泛函嚴(yán)格凸等性質(zhì)，導(dǎo)出該問題解的存在唯一性。由有限元方法的誤差估計(jì)及細(xì)致分析，證明了極小化問題有限元解的收斂性和誤

4、差估計(jì)，得到相應(yīng)的誤差階為O(h)。進(jìn)一步，將光源函數(shù)的允許集離散為分片常數(shù)函數(shù)空間中的有界集，通過有限元誤差分析及細(xì)致推導(dǎo)，證明了相應(yīng)極小化問題有限元解的收斂性和誤差估計(jì)，得到相應(yīng)誤差階為O（h+（h十H1/2）EH(pε）1/2）。最后提供數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。
　　其次，作為對(duì)第二章中新方法的補(bǔ)充和發(fā)展，我們將光源函數(shù)允許集離散為分片線性空間。通過有限元誤差分析及細(xì)致推導(dǎo)，證明了相應(yīng)極小化問題有限元解的收斂性和誤差估

5、計(jì)，并將誤差階提升為O(h+(h十h1/2H1/2+H)EH(pε)1/2)，并提供數(shù)值實(shí)例說明改進(jìn)后新方法的計(jì)算效果。
　　最后，針對(duì)分光譜BLT問題，構(gòu)造了一種重構(gòu)多光譜多區(qū)域光源的新方法。首先，對(duì)各區(qū)域不同光譜的光源函數(shù)的重構(gòu)，可通過一系列不適定的反源問題來描述。然后，由Tikhonov正則化，將這一系列反源問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)極小化問題，并利用目標(biāo)泛函的嚴(yán)格凸性等性質(zhì)，證明了極小化問題解的存在唯一性。接著，由有限元誤差估計(jì)及相關(guān)

6、分析，證明了極小化問題有限元解的收斂性和誤差估計(jì)，得到相應(yīng)誤差階為O(h)。進(jìn)而將各光源函數(shù)的允許集離散為分片常數(shù)空間中的有界集，利用相應(yīng)誤差分析和推導(dǎo)，證明了離散化后極小化問題解的收斂性和誤差估計(jì)，得到相應(yīng)誤差階為O(h+(h十H1/2)EH1(pεM)1/2)。同時(shí)，當(dāng)各光源允許集離散為分片線性函數(shù)空間時(shí)，由有限元方法及細(xì)致分析，驗(yàn)證了極小化問題有限元解的收斂性和誤差估計(jì)，并將誤差階提升為O(h+(h十h1/2H1/2+ H)EH2