19世紀以前的變分法.pdf

1、變分法是研究泛函極值的數(shù)學分支，它不僅與數(shù)學中眾多分支聯(lián)系緊密，而且也為物理學提供了重要的原理，同時又有著十分廣泛的應(yīng)用，因此，對其歷史進行研究，具有極為重要的理論價值和現(xiàn)實意義。本文在查閱人量原始文獻和相關(guān)研究文獻的基礎(chǔ)上，利用文獻分析和比較研究辦法，以“為什么數(shù)學”為切入點，結(jié)合微積分學、物理學(特別是變分原理)以及幾何學等背景，對變分法的起源和創(chuàng)立進行了系統(tǒng)分析和研究。主要成果如下： 1.圍繞古典等周問題和早期“最小”觀念

2、兩條線索，首次在較寬視野下對變分法前史進行了系統(tǒng)的考察和梳理，并從問題表述和比較類選取的角度，探討了早期幾何方法的局限性。 2.通過考察牛頓最小陰力體問題、約翰·伯努利最迷降線問題和雅可布·仙努利等周問題等問題的提出過程及解決辦法，深入探究了變分法誕牛的深刻背景，提煉和概括出了伯努利兄弟和泰勒等先驅(qū)者解決變分問題的基本思想和求解模式，追溯了其微積分淵源，并分析了三位先驅(qū)者之間的變分法思想傳承及相互影響。 3.對歐拉早期受

3、到忽視的三篇論文進行了詳細的考察，探討了歐拉對變分法所做的核心貢獻一基本方程和等周法則的提煉和形成過程。通過對歐拉與伯努利兄弟和泰勒等人的解法進行比較和分析，揭示了歐拉對變分法一般性研究的背景、切入點、思想來源和演變；通過對歐拉所犯錯誤的原因及其影響進行深入分析，指出《技巧》一書并不僅僅是歐拉對早期研究的系統(tǒng)總結(jié)和改進，還包含著某種突破和變革。 4.對歐拉變分法的一般理論進行了細斂的考察。探討了歐拉的基本方程不變性思想，認為這一

4、思想是當時分析學研究對象變革的集中體現(xiàn)；對兩個具有爭議的問題進行了澄清；對歐拉變分法的局限性進行了分析和總結(jié)，由此揭示了拉格朗日變分法研究的數(shù)學背景。 考考察了歐拉變分法的力學應(yīng)用，特別是他在最小作用原理方面的工作，揭示了其變分法研究的力學背景以及對后來拉格朗日力學和變分法研究的影響。 6.深入細致地分析了拉格朗日對變分法所做的變革和發(fā)展：(1)通過比較歐拉方法和拉格朗日辦法，探討了拉格朗日變分辦法---薩市辦法提出的動

5、因；(2)詳細論述了拉格朗日早期對變分法發(fā)展所作的生要貢獻；(3)探究了拉格朗日方法由非參數(shù)形式向參數(shù)形式轉(zhuǎn)變的原因。 7.從變分法的角度出發(fā)，探討了拉格朗日關(guān)于力學基礎(chǔ)和力學分析化的研究，由此揭示了拉格朗日變分法研究的力學動機以及力學(特別是變分原理)對變分法發(fā)展的推動作用。 8.結(jié)合拉格朗日微積分代數(shù)化方案和18世紀可積性條什的研究，探討了拉格朗日關(guān)于變分法基礎(chǔ)研究的數(shù)學背景及相關(guān)工作；通過對《分析力學》中靜力學約束