量子光學(xué)中算符編序理論進(jìn)展及其應(yīng)用.pdf

1、在量子力學(xué)、量子光學(xué)與量子場(chǎng)論中物理可觀察量用厄米算符來(lái)表示的，它們之間一般來(lái)說(shuō)是不對(duì)易的，人們總是面臨著算符排序問(wèn)題，所以這成了人們感興趣的研究課題之一。算符的排序不同，它們對(duì)應(yīng)的經(jīng)典函數(shù)也不同，這是量子相空間理論基礎(chǔ)。常見(jiàn)的算符排序形式有正規(guī)乘積、反正規(guī)乘積與Weyl編序。當(dāng)一密度算符排成正規(guī)乘積后，它的相干態(tài)矩陣元與Q函數(shù)就立刻得到；而一旦知道它的反正規(guī)乘積，就便知道相應(yīng)P函數(shù)。尤其，算符Weyl編序?qū)β窂椒e分理論和量子統(tǒng)計(jì)特別有

2、用，一旦知道它的Weyl編序形式就知道Weyl經(jīng)典對(duì)應(yīng)。它具有一個(gè)特殊的性質(zhì)，即Weyl編序在相似變換下具有有序不變性，這為實(shí)際的運(yùn)算帶來(lái)很大的方便。目前，在現(xiàn)有文獻(xiàn)中主要有兩種方法解決算符排序問(wèn)題：李代數(shù)方法與相干態(tài)表象微分操作方法。但是這兩種方法不適用于一些復(fù)雜算符排序。本文利用范洪義教授所提出的有序算符內(nèi)的積分技術(shù)(簡(jiǎn)稱為IWOP技術(shù))來(lái)處理算符排序問(wèn)題。IWOP技術(shù)就是將原本只適用于可對(duì)易函數(shù)的牛頓-萊布尼茲積分推廣到對(duì)量子力學(xué)

3、Dirac符號(hào)法ket-bra積分型非對(duì)易量子算符的運(yùn)算，從而建立了聯(lián)系q數(shù)與c數(shù)的一座橋梁。在本文中算符編序理論的發(fā)展主要體現(xiàn)以下四個(gè)方面：1)利用導(dǎo)出的新表象并結(jié)合IWOP技術(shù)導(dǎo)出新的算符恒等式，如糾纏態(tài)表象、坐標(biāo)。動(dòng)量中介表象、糾纏相干態(tài)表象等。2)利用IWOP技術(shù)發(fā)展量子相空間的新積分變換，并用來(lái)導(dǎo)出其它一些復(fù)雜算符函數(shù)的Wleyl編序形式，如坐標(biāo)、動(dòng)量算符函數(shù)、動(dòng)量-坐標(biāo)算符函數(shù)以及多模組合算符函數(shù)等。3)基于算符恒等式與IW

4、OP技術(shù)簡(jiǎn)捷地導(dǎo)出很多新的積分公式，而不需要真正進(jìn)行積分運(yùn)算。另外，不同的算符編序方案對(duì)同一個(gè)積分的結(jié)果表現(xiàn)形式不同，它們之間的相互轉(zhuǎn)換直接導(dǎo)出新的積分公式。4)將IWOP技術(shù)發(fā)展到算符s編序內(nèi)的積分技術(shù)(簡(jiǎn)稱為IWSOP技術(shù))，導(dǎo)出了任意密度算符的s-編序展開(kāi)公式，同時(shí)也導(dǎo)出了帶s-參數(shù)的新算符公式。這些不僅進(jìn)一步發(fā)展與完善了算符編序理論，也豐富了Dirac的符號(hào)法和變換理論，對(duì)量子光學(xué)中非經(jīng)典態(tài)的研究十分有用。其具體內(nèi)容包括：

5、>　　 一、分別介紹了正規(guī)乘積內(nèi)積分技術(shù)與反正規(guī)乘積內(nèi)積分技術(shù)，并用IWOP技術(shù)重新審視量子力學(xué)基本表象，從數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的正態(tài)分布可以更加直捷地導(dǎo)出原有的表象以及給出了一些多模指數(shù)算符的正規(guī)乘積與反正規(guī)乘積展開(kāi)形式。這些都展示了IWOP技術(shù)給出經(jīng)典變換過(guò)渡到量子幺正變換算符的捷徑，可以發(fā)現(xiàn)很多新的幺正算符，找到很多新的有用的量子力學(xué)表象。也介紹了Weyl編序內(nèi)的積分技術(shù)、任意算符的Weyl編序展開(kāi)公式以及Weyl編序在相似變換下的有序不

6、變性。
　　 二、根據(jù)量子相空間的積分變換(范氏變換)，推廣到糾纏Wigner算符的新積分變換。它有良好的變換特性，具有可逆保跡性。利用該積分變換導(dǎo)出了一些復(fù)雜算符的Weyl編序形式。這不僅發(fā)展了變換理論，而且豐富了量子相空間理論。
　　 三、基于Hermite多項(xiàng)式(單變量與雙變量)的產(chǎn)生函數(shù)直接導(dǎo)出算符恒等式，并根據(jù)這些算符等式易導(dǎo)出有關(guān)Hermite多項(xiàng)式的遞推公式與一些復(fù)雜的算符等式。結(jié)合IWOP技術(shù)與量子力學(xué)表

7、象的完備性導(dǎo)出若干新的數(shù)學(xué)積分公式，而不需要真正進(jìn)行積分運(yùn)算。另外，交替使用正規(guī)乘積、反正規(guī)乘積與Weyl編序的積分技術(shù)導(dǎo)出若干新的算符公式。這開(kāi)辟了一條新的途徑直接通過(guò)量子力學(xué)的排序算符導(dǎo)出一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)積分公式。
　　 四、把IWOP技術(shù)發(fā)展到IWSOP技術(shù)(玻色情況與費(fèi)米情況)。它統(tǒng)一了正規(guī)乘積積分技術(shù)(s=1)、反正規(guī)乘積積分技術(shù)(s=-1)以及Weyl編序內(nèi)積分技術(shù)(s=0)，進(jìn)而導(dǎo)出了任意密度算符的s-編序展開(kāi)公式，

8、完善了帶s-參數(shù)的量子化方案與算符編序理論。并結(jié)合IWSOP技術(shù)導(dǎo)出了s-編序算符的恒等式、量子力學(xué)基本表象的s-編序展開(kāi)式以及Wigner算符的s-編序展開(kāi)形式。
　　 五、導(dǎo)出了量子光學(xué)中光子計(jì)數(shù)新公式，一方面根據(jù)原有量子光學(xué)中光子計(jì)數(shù)公式，導(dǎo)出了密度算符P表示的光子計(jì)數(shù)公式并利用該公式計(jì)算出相干態(tài)、混沌光場(chǎng)、平移混沌光場(chǎng)等光場(chǎng)的光子計(jì)數(shù)分布；另一方面基于IWSOP技術(shù)導(dǎo)出帶s參數(shù)的光子計(jì)數(shù)公式，當(dāng)s取不同值時(shí)，就有不同形式

9、的光子計(jì)數(shù)公式。根據(jù)雙變量Hermite多項(xiàng)式的遞推公式直捷地導(dǎo)出最小不確定熱態(tài)，還利用Weyl編序在相似變換下具有有序不變性導(dǎo)出了最小不確定熱態(tài)的Wigner函數(shù)解析表達(dá)式。
　　 六、利用前面導(dǎo)出的算符恒等式很容易導(dǎo)出了Agarwal等人所提出的激發(fā)相干態(tài)(光子增加相干態(tài))的歸一化系數(shù)。在此基礎(chǔ)上，擴(kuò)展到廣義激發(fā)相干態(tài)、激發(fā)Bell型糾纏相干態(tài)與單模激發(fā)GHZ型糾纏相干態(tài)，并導(dǎo)出了相應(yīng)的歸一化系數(shù)。此外，分別研究了它們的光子