非線性演化方程精確解構(gòu)造性理論與算法研究.pdf

1、非線性動(dòng)力學(xué)是非線性科學(xué)的一個(gè)重要分支，非線性動(dòng)力學(xué)研究對(duì)象主要包括分叉、混沌、分形、孤立子等新的現(xiàn)象。非線性演化方程精確解的求解方法是孤立子理論的一個(gè)主要內(nèi)容。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，特別是計(jì)算機(jī)符號(hào)計(jì)算軟件的出現(xiàn)，非線性演化方程精確解構(gòu)造性理論及算法研究已成為非線性科學(xué)中的前沿研究課題和新的熱點(diǎn)。雖然目前已經(jīng)提出和發(fā)展了許多構(gòu)造非線性演化方程精確解的理論和算法，但是由于構(gòu)造非線性演化方程精確解沒(méi)有也不可能有統(tǒng)一而普適的方法，因此繼續(xù)尋

2、找一些行之有效的求解方法依然是一項(xiàng)十分重要和極有價(jià)值的工作。本文在歸納和總結(jié)現(xiàn)有各種構(gòu)造非線性演化方程精確解的主要方法的基礎(chǔ)上，對(duì)非線性演化方程精確解的構(gòu)造理論及算法進(jìn)行了較為系統(tǒng)和深入的研究，提出和拓展了幾種構(gòu)造非線性演化方程精確解的新方法，并將這些方法應(yīng)用到了許多力學(xué)和物理學(xué)中非常重要的非線性演化方程，結(jié)果不僅獲得了這些方程已有的精確解，而且得到了許多新解。因此本文的工作豐富和發(fā)展了非線性演化方程精確解的構(gòu)造理論及算法，具有較大的理

3、論意義和應(yīng)用價(jià)值。 全文共分七章。第一章為緒論，對(duì)非線性演化方程精確解的構(gòu)造理論和算法進(jìn)行綜述，說(shuō)明課題的來(lái)源，介紹本文的研究目的、主要內(nèi)容和創(chuàng)新點(diǎn)。第二章用力學(xué)的方法簡(jiǎn)單地導(dǎo)出了幾個(gè)重要的非線性演化方程，說(shuō)明本文研究中所涉及到的非線性演化方程是有力學(xué)或物理學(xué)背景的。第三章利用多項(xiàng)式判別系統(tǒng)把范式代數(shù)方法擴(kuò)展到其引入的常微分方程的未知函數(shù)的最高次冪大于4的情形，并用該方法構(gòu)造了KdV方程和變形Boussinesq方程的一系列精確

4、行波解，包括有理函數(shù)解，孤波解，三角函數(shù)周期解，Jacobi周期函數(shù)解和隱函數(shù)解。第四章引入了一個(gè)低階輔助常微分方程，并獲得該方程的一些新解．基于該輔助方程建立了一個(gè)輔助方程法的算法和直接求解的算法。利用輔助方程法構(gòu)造了組合Kdv-mKdV方程，(2+1)維Broer-Kaup-Kupershmidt方程，和兩類(lèi)變系數(shù)KdV方程的孤波解和三角函數(shù)解。使用直接解法構(gòu)造了兩個(gè)非線性演化方程：(1+1)維Klein-Gordon方程，(3+1

5、)維Kadomtsev-Petviashvili方程，和兩個(gè)非線性耦合演化方程組：(2+1)維耦合色散長(zhǎng)波方程，耦合Klein-Gordon-Zakharov方程的孤波解和三角函數(shù)解。第五章獲得了廣義Lienard方程的一些新解，并利用它構(gòu)造了一維廣義Klein-Gordon方程，廣義Ablowitz方程和廣義Gerdjikov-Ivanov方程的精確解。然后引入一個(gè)帶任意次冪非線性項(xiàng)的輔助常微分方程，利用任意次冪輔助方程法構(gòu)造了廣義Z

6、akharov方程和廣義Benjamin-Bona-Mahony方程的精確解。第六章通過(guò)一般化sinh-Gordon方程和構(gòu)造所研究的方程新的試探解來(lái)擴(kuò)展sinh—Gordon方程展開(kāi)法。并用它構(gòu)造了(2+1)維Konopelchenko—Dubrovsky方程，KdV—mKdV方程，雙sine—Gordon方程和BBM方程的行波解，包括Jacobi橢圓函數(shù)雙周期解，孤波解，三角函數(shù)解。第七章提出了利用耦合的Riccati方程組構(gòu)造非線